الهرم (الهندسة)

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة

الهرم هو مجسم متعدد الأوجه يتكون من قاعدة مضلعة متصلة برأس . يشكل كل ضلع من أضلاع القاعدة مع الرأس مثلثًا يُسمى وجهًا جانبيًا. الهرم مجسم مخروطي ذو قاعدة مضلعة. يمكن إيجاد أنواع عديدة من الأهرامات بتحديد شكل القواعد، إما بالاعتماد على مضلع منتظم (أهرامات منتظمة) أو بقطع الرأس (هرم مقطوع).

يمكن تعميم الهرم إلى أبعاد أعلى، وهو ما يُعرف بالهرم الفائق . جميع الأهرامات ذاتية التناظر .

تعريف

أجزاء من الهرم

الهرم هو مجسم متعدد الأوجه يتكون من خلال توصيل كل رأس في مضلع مستوٍ بنقطة تقع خارج ذلك المستوى. تُسمى هذه النقطة رأس الهرم ، والمضلع المستوي هو قاعدة الهرم. كل وجه آخر من أوجه الهرم عبارة عن مثلث [ 1 ] يتكون من أحد أضلاع القاعدة، والضلعين اللذين يصلان طرفي ذلك الضلع برأس الهرم. تُسمى هذه الأوجه بالأوجه الجانبية للهرم ، ويُسمى كل ضلع متصل برأس الهرم ضلعًا جانبيًا. [ 2 ] تاريخيًا، وصف العديد من علماء الرياضيات في العصور القديمة تعريف الهرم. عرّف إقليدس في كتابه "الأصول" الهرم بأنه شكل صلب، مُنشأ من مستوى إلى نقطة. كان سياق تعريفه غامضًا حتى عرّفه هيرون الإسكندري بأنه الشكل الذي يجمع النقطة مع قاعدة مضلعة. [ 3 ]

يُعرَّف الشكل المنشوري بأنه متعدد السطوح تقع رؤوسه على مستويين متوازيين، وتكون أوجهه الجانبية مثلثات وأشباه منحرفات ومتوازيات أضلاع . [ 4 ] تُصنَّف الأهرامات ضمن الأشكال المنشورية. [ 5 ]

التصنيف والأنواع

عائلة الهرم ذي القاعدة المضلعة المنتظمة: الهرم الرباعي، والهرم المربع، والهرم الخماسي، والهرم السداسي.

يُستخدم مصطلحا "الهرم القائم" و"الهرم المنتظم" لوصف حالات خاصة من الأهرامات. وتتلخص مفاهيمهما الشائعة فيما يلي: الهرم المنتظم هو هرم قاعدته مضلع منتظم . أما الهرم القائم فهو هرم يكون محوره (الخط الواصل بين مركز القاعدة والقمة) عموديًا على القاعدة. [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] بينما الهرم المائل هو هرم لا يكون محوره عموديًا على القاعدة. [ 9 ] ومع ذلك، لا توجد تعريفات موحدة لهذه المصطلحات، وتستخدمها المصادر المختلفة بشكل متباين نوعًا ما.

تُعرّف بعض المصادر مصطلح "الهرم القائم" كحالة خاصة للأهرامات المنتظمة فقط، [ 10 ] بينما تُعرّفه مصادر أخرى للحالة العامة لأي شكل من أشكال القاعدة. وتُعرّف مصادر أخرى مصطلح "الهرم القائم" ليشمل القاعدة المنتظمة ضمن تعريفه. [ 11 ] ونادرًا ما يُعرّف "الهرم القائم" بأنه هرم قاعدته محيطة بدائرة، ويلتقي ارتفاعه بقاعدته عند مركز الدائرة. [ 12 ]

بالنسبة للهرم ذي القاعدة المنتظمة ذات n ضلعًا ، فإنه يحتوي على n + 1 رأسًا، و n + 1 وجهًا، و 2n ضلعًا . [ 13 ] يحتوي هذا الهرم على مثلثات متساوية الساقين كأوجه، وتناظره من النوع Cₙv ، وهو تناظر من الرتبة 2ⁿ : تكون الأهرامات متناظرة عند دورانها حول محور التناظر (خط يمر عبر قمة الهرم ومركز القاعدة)، وهي متناظرة انعكاسيًا بالنسبة لأي مستوى عمودي يمر بمنصف القاعدة. [ 14 ] [ 15 ] من الأمثلة على ذلك الهرم المربع والهرم الخماسي ، وهما هرمان لهما أربعة وخمسة أوجه مثلثية، وقاعدتهما مربعة وخماسية على التوالي؛ ويُصنفان على أنهما أول وثاني مجسم جونسون إذا كانت أوجههما المنتظمة وأضلاعهما متساوية في الطول، وتناظرهما من النوع C₄v من الرتبة 8 و C₅v من الرتبة 10 على التوالي. [ 16 ] [ 17 ] الهرم الرباعي الأوجه أو الهرم المثلثي مثال على شكل رباعي الأوجه يتكون من أربعة مثلثات. إذا كانت جميع أضلاعه متساوية في الطول، بحيث تكون أوجهه متساوية الأضلاع، واعتُبر أحدها قاعدة، يُعرف باسم الهرم الرباعي الأوجه المنتظم ، وهو مثال على المجسمات الأفلاطونية والدلتاهدرا ، وله تناظر رباعي الأوجه . [ 18 ] [ 19 ] يُعرف الهرم الذي تكون قاعدته دائرة باسم المخروط . [ 20 ]

تتمتع الأهرامات بخاصية التناظر الذاتي ، أي أن عناصرها الثنائية هي نفسها الرؤوس المقابلة للحواف والعكس صحيح. [ 21 ] يمكن تمثيل هيكلها بمخطط العجلة ، أي يمكن تصويرها كمضلع تتصل رؤوسه برأس في المركز يُسمى الرأس الشامل . [ 22 ]

أهرامات ذات قواعد مستطيلة ومعينية

قد يكون للهرم القائم قاعدة ذات شكل مضلع غير منتظم. ومن أمثلة الأهرامات غير المنتظمة تلك التي تكون قواعدها مستطيلة أو معينية . يتمتع هذان الهرمان بتناظر من الرتبة الرابعة C 2v .

هرم مقطوع بمستوى مائل
هرم قاعدته خماسية .

يمكن تحديد أنواع الأهرامات بعدة طرق. يمكن تصنيف انتظام قاعدة الهرم بناءً على نوع المضلع: أحد الأمثلة على ذلك هوالهرم النجمي ، الذي تكون قاعدته عبارة عن مضلع نجمي منتظم . [ 23 ]

الهرم المقطوع هو هرم مقطوع بمستوى؛ إذا كان مستوى القطع موازياً لقاعدة الهرم، فإنه يسمى مخروط ناقص .

قياس

مساحة سطح المجسم متعدد الأوجه هي مجموع مساحات أوجهه. أما مساحة سطح الهرم فهي مجموع مساحات المثلثات ومساحة قاعدته المضلعة.

حجم الهرم يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته في ارتفاعه. ويُعرَّف ارتفاع الهرم بأنه طول القطعة المستقيمة الواصلة بين قمته ومسقطها العمودي على قاعدته.ب{\displaystyle B}هي منطقة القاعدة وح{\displaystyle h}ارتفاع الهرم هو: [ 24 ]، وحجم الهرم هو: [24 ]V=13بح.{\displaystyle V={\frac {1}{3}}Bh.} تم تسجيل حجم الهرم في مصر القديمة، حيث قاموا بحساب حجم المخروط الناقص المربع ، مما يشير إلى أنهم كانوا على دراية بحجم الهرم المربع. [ 25 ]

تعميم

هرم فائق رباعي الأبعاد بقاعدة مكعبة

الهرم الفائق هو تعميم للهرم في فضاء ذي n بُعد. في حالة الهرم، تُوصَّل جميع رؤوس القاعدة، وهي مضلع في مستوى، بنقطة خارج المستوى، تُسمى القمة . ارتفاع الهرم هو المسافة بين القمة والمستوى. يُعمَّم هذا البناء إلى n بُعد. تصبح القاعدة متعدد السطوح ( n -1) في مستوى فائق ذي ( n - 1) بُعد. تقع نقطة تُسمى القمة خارج المستوى الفائق، وتُوصَّل بجميع رؤوس متعدد السطوح، وتُسمى المسافة بين القمة والمستوى الفائق بالارتفاع. [ 26 ]

يمكن حساب حجم الهرم الفائق ذي الأبعاد n على النحو التالي :Vن=أ⋅حن.{\displaystyle V_{n}={\frac {A\cdot h}{n}}.} هنا، يرمز V n إلى حجم الهرم الفائق ذي الأبعاد n. ويرمز A إلى حجم القاعدة ذي الأبعاد (n − 1)، و h إلى الارتفاع  ،  أي المسافة بين القمة والمستوى الفائق ذي الأبعاد ( n  −  1) الذي يحتوي على القاعدة A. [ 26 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كرومويل، بيتر ر. (1997)، متعددات السطوح ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص  13.
  2. ↑ سميث، جيمس ت. (2000)، أساليب الهندسة ، جون وايلي وأولاده، ص 98، ISBN  0-471-25183-6.
  3. ↑ هيث، توماس (1908)، إقليدس: الكتب الثلاثة عشر للعناصر ، المجلد 3، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 268  .
  4. ↑ ألسينا، كلاودي؛ نيلسن، روجر ب. (2015)، رحلة فضائية رياضية: الهندسة الفراغية في القرن الحادي والعشرين ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، ص 85، ISBN  978-0-88385-358-0.
  5. ^ غرونباوم ، برانكو (1997)، “المنشورات المتساوية”، الهندسة المنفصلة والحسابية ، 18 : 13–52 ، دوى : 10.1007 / PL00009307.
  6. ↑ أوليري، مايكل (2010)، ثورات الهندسة ، جون وايلي وأولاده، ص 10، ISBN  978-0-470-59179-6.
  7. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو، الهرم ، ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام
  8. ↑ بارتول، ويليام سي. (1893)، عناصر الهندسة الفراغية ، ليتش شيول وسانبورن، ص 32 
  9. ↑ الأهرامات المائلة مقابل الأهرامات القائمة ، مرجع الرياضيات المفتوح
  10. ^ جيليرت، جوتوالد، هيلويتش، كاستنر، كوستنر (1989)، موسوعة VNR المختصرة للرياضيات ، فان نوستراند رينهولد، ISBN 978-94-011-69844{{citation}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  11. ↑ ديفيز، تشارلز (1852)، عناصر الهندسة وعلم المثلثات ، إيه إس بارنز وشركاه، ص 175 
  12. ↑ بوليا، ج. (1954)، الرياضيات والاستدلال المعقول: الاستقراء والقياس في الرياضيات ، مطبعة جامعة برينستون، ص 138، ISBN  0-691-02509-6{{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
  13. ↑ همبل، ستيف (2016)، دليل المجرب في الرياضيات: أنشطة رياضية مدعومة بالحاسوب ، تايلور وفرانسيس، ص 23، رقم ISBN  978-1-134-13953-8.
  14. ↑ جونسون، نورمان و. (2018)، الهندسات والتحويلات ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-1-107-10340-5انظر الفصل 11: مجموعات التناظر المحدودة، 11.3 الأهرامات والموشورات والموشورات المضادة.
  15. ↑ ألكساندروف، بول (2012)، مقدمة في نظرية المجموعات ، منشورات دوفر، ص 48، ISBN  978-0-486-48813-4.
  16. ↑ جونسون، نورمان و. (1966)، "المجسمات المحدبة ذات الوجوه المنتظمة"، المجلة الكندية للرياضيات ، 18 : 169-200 ، doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 ، MR 0185507 ، S2CID 122006114 ، Zbl 0132.14603   انظر الجدول الثالث، السطر 1.
  17. ↑ أوهارا، ريوهي (2020)، مقدمة في فن طي الورق الحاسوبي: عالم الهندسة الحاسوبية الجديدة ، سبرينغر، ص 62، doi : 10.1007/978-981-15-4470-5 ، ISBN  978-981-15-4470-5.
  18. ↑ شافينينا، لاريسا ف. (2013)، دليل روتليدج الدولي لتعليم الابتكار ، روتليدج، ص 333، ISBN  978-0-203-38714-6.
  19. ↑ كندي، هـ. مارتن (1952)، "دلتاهيدرا"، المجلة الرياضية ، 36 (318): 263-266 ، doi : 10.2307/3608204 ، JSTOR 3608204 ، S2CID 250435684  .
  20. ↑ كيلي، دبليو. مايكل (2009)، كتاب مسائل الهندسة الضخم ، مجموعة بنجوين، ص 455، رقم ISBN  978-1-61564-698-2.
  21. ↑ ووليبن، إيفا (2019)، "الازدواجية في الأجسام غير متعددة الأوجه، الجزء الأول: متعدد الخطوط"، في كوتشياريلا، لويجي (محرر)، ICGG 2018 - وقائع المؤتمر الدولي الثامن عشر للهندسة والرسومات: الذكرى الأربعون - ميلانو، إيطاليا، 3-7 أغسطس 2018 ، سلسلة التقدم في الأنظمة الذكية والحوسبة، المجلد 809، سبرينغر، ص 485-486 ، doi : 10.1007 /978-3-319-95588-9 ، ISBN   978-3-319-95588-9
  22. ↑ بيسانسكي، توماز؛ سيرفاتيوس، بريجيت (2013)، التكوين من وجهة نظر رسومية ، سبرينغر، ص 21، doi : 10.1007/978-0-8176-8364-1 ، ISBN  978-0-8176-8363-4.
  23. ↑ وينينجر، ماغنوس ج. (1974)، نماذج متعددة السطوح ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 50، ISBN  978-0-521-09859-5تمت أرشفة هذا النص من النسخة الأصلية بتاريخ 11 ديسمبر 2013.
  24. ↑ ألكسندر، دانيال سي؛ كوبرلين، جيرالين إم (2014)، الهندسة الابتدائية لطلاب الجامعات ( الطبعة السادسة)، سينجايج ليرنينج، ص 403، ISBN   978-1-285-19569-8.
  25. ↑ جيلينجز، آر جيه (1964)، "حجم الهرم المقطوع في البرديات المصرية القديمة"، معلم الرياضيات ، 57 (8): 552-555 ، doi : 10.5951/MT.57.8.0552 ، JSTOR 27957144 .
  26. 1 2 ماثاي ، أ.م. (1999)، مقدمة في الاحتمالات الهندسية: الجوانب التوزيعية مع التطبيقات ، تايلور وفرانسيس، ص 42-43 ، ISBN  978-90-5699-681-9.
  27. كاجوري، فلوريان (1991)، تاريخ الرياضيات (  الطبعة الخامسة)، الجمعية الأمريكية للرياضيات، ص  87، ISBN 978-1-4704-7059-3.
خطأ في الاستشهاد: لم يتم استخدام مرجع معرف في قائمة باسم "cajori" في المحتوى (انظر صفحة المساعدة ).