نظرية مورس المنفصلة

نظرية مورس المنفصلة هي تعديل توافقي لنظرية مورس التي طورها روبن فورمان وكينيث براون . ^{[ 1 ]} لهذه النظرية تطبيقات عملية متنوعة في مجالات مختلفة من الرياضيات التطبيقية وعلوم الحاسوب ، مثل فضاءات التكوين ، ^{[ 2 ]} وحساب التماثل ، ^{[ 3 ] [ 4 ]} وإزالة التشويش ، ^{[ 5 ]} وضغط الشبكات ، ^{[ 6 ]} وتحليل البيانات الطوبولوجية . ^{[ 7 ]}

يترك${\displaystyle X}$ليكن مركب CW ولنرمز إليه بـ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$مجموعة خلاياها. حدد دالة الحدوث${\displaystyle \kappa \colon {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {Z} }$بالطريقة التالية: بالنظر إلى خليتين${\displaystyle \sigma }$و${\displaystyle \tau }$في${\displaystyle {\mathcal {X}}}$، يترك${\displaystyle \kappa (\sigma ,~\tau )}$لتكن درجة الخريطة المرفقة من حدود${\displaystyle \sigma }$ل${\displaystyle \tau }$. عامل الحدود هو التشكل الداخلي${\displaystyle \partial }$ من المجموعة الأبيلية الحرة المتولدة بواسطة${\displaystyle {\mathcal {X}}}$محدد بواسطة

${\displaystyle \partial (\sigma )=\sum _{\tau \in {\mathcal {X}}}\kappa (\sigma ,\tau )\tau .}$

من الخصائص المميزة لمؤثرات الحدود أن${\displaystyle \partial \circ \partial \equiv 0}$في تعريفات أكثر بديهية ^{[ 4 ]} يمكن للمرء أن يجد الشرط التالي:${\displaystyle \forall \sigma ,\tau ^{\prime }\in {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle \sum _{\tau \in {\mathcal {X}}}\kappa (\sigma ,\tau )\kappa (\tau ,\tau ^{\prime })=0}$

وهذا نتيجة للتعريف المذكور أعلاه لمؤثر الحدود والشرط الذي${\displaystyle \partial \circ \partial \equiv 0}$.

دالة حقيقية ذات قيم${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }$تُعتبر دالة مورس منفصلة إذا استوفت الخاصيتين التاليتين:

1. لأي خلية${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {X}}}$عدد الخلايا${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$في حدود${\displaystyle \sigma }$والتي ترضي${\displaystyle \mu (\sigma )\leq \mu (\tau )}$هو واحد على الأكثر.
2. لأي خلية${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {X}}}$عدد الخلايا${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$يحتوي على${\displaystyle \sigma }$في حدودها التي تحقق${\displaystyle \mu (\sigma )\geq \mu (\tau )}$هو واحد على الأكثر.

يمكن إثبات ^{[ 8 ]} أن عدد العناصر في الحالتين لا يمكن أن يكون واحدًا في الوقت نفسه لخلية ثابتة${\displaystyle \sigma }$بشرط أن${\displaystyle {\mathcal {X}}}$هو مركب CW عادي . في هذه الحالة، كل خلية${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {X}}}$يمكن إقرانها بخلية استثنائية واحدة على الأكثر${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$إما خلية حدودية ذات حجم أكبر${\displaystyle \mu }$قيمة، أو خلية حدودية مشتركة ذات قيمة أصغر${\displaystyle \mu }$القيمة. تُسمى الخلايا التي لا يوجد لها أزواج، أي التي تكون قيم وظائفها أعلى تمامًا من قيم خلاياها الحدودية وأقل تمامًا من قيم خلاياها الحدودية المشتركة، بالخلايا الحرجة . وبالتالي، تقسم دالة مورس المنفصلة مُركب CW إلى ثلاث مجموعات خلايا متميزة:${\displaystyle {\mathcal {X}}={\mathcal {A}}\sqcup {\mathcal {K}}\sqcup {\mathcal {Q}}}$، أين:

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يشير إلى الخلايا الحرجة غير المزدوجة،
2. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$يشير إلى الخلايا المقترنة بخلايا الحدود، و
3. ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$يشير إلى الخلايا التي تقترن بخلايا متجاورة على نفس الحدود.

بحسب التصميم ، يوجد تقابل بين المجموعات${\displaystyle k}$الخلايا ذات الأبعاد في${\displaystyle {\mathcal {K}}}$و${\displaystyle (k-1)}$الخلايا ذات الأبعاد في${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$، والتي يمكن الإشارة إليها بواسطة${\displaystyle p^{k}\colon {\mathcal {K}}^{k}\to {\mathcal {Q}}^{k-1}}$لكل عدد طبيعي${\displaystyle k}$. إنه شرط تقني إضافي يجب أن يكون لكل${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}^{k}}$، درجة ارتباط الخريطة بحدود${\displaystyle K}$إلى خليتها المزدوجة${\displaystyle p^{k}(K)\in {\mathcal {Q}}}$هي وحدة في الحلقة الأساسية لـ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$على سبيل المثال، على الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$القيم المسموح بها فقط هي${\displaystyle \pm 1}$يتم ضمان هذا الشرط التقني، على سبيل المثال، عندما يفترض المرء أن${\displaystyle {\mathcal {X}}}$هو مجمع CW منتظم فوق${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

تُثبت النتيجة الأساسية لنظرية مورس المنفصلة أن مركب CW${\displaystyle {\mathcal {X}}}$متماثل على مستوى التماثل مع مركب جديد${\displaystyle {\mathcal {A}}}$تتكون من الخلايا الأساسية فقط. الخلايا المزدوجة في${\displaystyle {\mathcal {K}}}$و${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$صف مسارات التدرج بين الخلايا الحرجة المتجاورة والتي يمكن استخدامها للحصول على عامل الحدود على${\displaystyle {\mathcal {A}}}$بعض تفاصيل هذا البناء مذكورة في القسم التالي.

المسار المتدرج هو سلسلة من الخلايا المزدوجة

${\displaystyle \rho =(Q_{1},K_{1},Q_{2},K_{2},\ldots ,Q_{M},K_{M})}$

مُرضٍ${\displaystyle Q_{m}=p(K_{m})}$و${\displaystyle \kappa (K_{m},~Q_{m+1})\neq 0}$يُعرَّف فهرس مسار التدرج هذا بأنه عدد صحيح

${\displaystyle \nu (\rho )={\frac {\prod _{m=1}^{M-1}-\kappa (K_{m},Q_{m+1})}{\prod _{m=1}^{M}\kappa (K_{m},Q_{m})}}.}$

يُعدّ هذا التقسيم منطقيًا لأنّ نسبة الحدوث بين الخلايا المزدوجة يجب أن تكون${\displaystyle \pm 1}$لاحظ أنه بحسب التصميم، فإن قيم دالة مورس المنفصلة${\displaystyle \mu }$يجب أن ينخفض ​​في جميع أنحاء${\displaystyle \rho }$المسار${\displaystyle \rho }$يقال إنها تربط خليتين حاسمتين${\displaystyle A,A'\in {\mathcal {A}}}$لو${\displaystyle \kappa (A,Q_{1})\neq 0\neq \kappa (K_{M},A')}$يمكن التعبير عن هذه العلاقة على النحو التالي:${\displaystyle A{\stackrel {\rho }{\to }}A'}$تُعرَّف تعددية هذا الاتصال بأنها عدد صحيح${\displaystyle m(\rho )=\kappa (A,Q_{1})\cdot \nu (\rho )\cdot \kappa (K_{M},A')}$وأخيرًا، عامل مورس الحدودي على الخلايا الحرجة${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle \Delta (A)=\kappa (A,A')+\sum _{A{\stackrel {\rho }{\to }}A'}m(\rho )A'}$

حيث يتم حساب المجموع على جميع اتصالات مسار التدرج من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle A'}$.

تنطبق العديد من النتائج المألوفة من نظرية مورس المستمرة في الإطار المنفصل.

تجد نظرية مورس المنفصلة تطبيقاتها في تحليل شكل الجزيئات، ^{[ 11 ]} وهيكلة الصور/الأحجام الرقمية، ^{[ 12 ]} وإعادة بناء الرسوم البيانية من البيانات المشوشة، ^{[ 13 ]} وإزالة التشويش من السحب النقطية المشوشة ^{، [ 14 ]} وتحليل الأدوات الحجرية في علم الآثار . ^{[ 15 ]}

• نظرية مورس الرقمية
• نظرية مورس الطبقية
• تحليل الشكل
• التوافقية الطوبولوجية
• الهندسة التفاضلية المنفصلة