جبر الموترات

يتم الحصول على الجبر المشترك عن طريق تعريف الضرب المشترك أو المؤثر القطري

${\displaystyle \Delta :TV\to TV\boxtimes TV}$

هنا،${\displaystyle TV}$يُستخدم كاختصار لـ${\displaystyle T(V)}$لتجنب كثرة الأقواس.${\displaystyle \boxtimes }$يُستخدم الرمز للدلالة على الضرب الموتري "الخارجي"، وهو ضروري لتعريف الجبر المشترك. ويُستخدم هذا الرمز لتمييزه عن الضرب الموتري "الداخلي".${\displaystyle \otimes }$، والذي يُستخدم بالفعل للدلالة على الضرب في جبر الموترات (انظر قسم الضرب أدناه لمزيد من التوضيح حول هذه المسألة). ولتجنب الخلط بين هذين الرمزين، ستستبدل معظم النصوص الرمز .${\displaystyle \otimes }$بنقطة عادية، أو حتى حذفها تمامًا، مع العلم أنها مفهومة ضمنيًا من السياق. وهذا يسمح بـ${\displaystyle \otimes }$الرمز الذي سيتم استخدامه بدلاً من${\displaystyle \boxtimes }$الرمز. لم يتم ذلك أدناه، واستُخدم الرمزان بشكل مستقل وصريح، لإظهار الموقع الصحيح لكل منهما. والنتيجة أطول قليلاً، ولكنها ستكون أسهل للفهم.

تعريف المعامل${\displaystyle \Delta }$يتم بناؤها بسهولة على مراحل، أولاً عن طريق تعريفها للعناصر${\displaystyle v\in V\subset TV}$ثم بتمديدها بشكل متماثل إلى الجبر بأكمله. ويكون الاختيار المناسب للضرب المشترك هو

${\displaystyle \Delta :v\mapsto v\boxtimes 1+1\boxtimes v}$

و

${\displaystyle \Delta :1\mapsto 1\boxtimes 1}$

أين${\displaystyle 1\in K=T^{0}V\subset TV}$هي وحدة المجال${\displaystyle K}$من الواضح أنه بالخطية يكون لدى المرء

${\displaystyle \Delta (k)=k(1\boxtimes 1)=k\boxtimes 1=1\boxtimes k}$

للجميع${\displaystyle k\in K.}$من السهل التحقق من أن هذا التعريف يحقق بديهيات الجبر المشترك: أي أن

${\displaystyle (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})\circ \Delta }$

أين${\displaystyle \mathrm {id} _{TV}:x\mapsto x}$خريطة الهوية على${\displaystyle TV}$في الواقع، يحصل المرء

${\displaystyle ((\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \Delta )\circ \Delta )(v)=v\boxtimes 1\boxtimes 1+1\boxtimes v\boxtimes 1+1\boxtimes 1\boxtimes v}$

وينطبق الأمر نفسه على الجانب الآخر. عند هذه النقطة، يمكن للمرء أن يستعين بفرضية، ويقول إن${\displaystyle \Delta }$يمتد هذا الأمر بشكل بديهي، بحكم الخطية، إلى كل${\displaystyle TV}$، لأن${\displaystyle TV}$هو كائن حر و${\displaystyle V}$هو مولد للجبر الحر، و${\displaystyle \Delta }$هو تماثل. ومع ذلك، من المفيد تقديم تعبيرات صريحة. لذا، بالنسبة لـ${\displaystyle v\otimes w\in T^{2}V}$، يكون لدينا (بحكم التعريف) التشاكل

${\displaystyle \Delta :v\otimes w\mapsto \Delta (v)\otimes \Delta (w)}$

بالتوسع، يمتلك المرء

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (v\otimes w)&=(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\otimes (w\boxtimes 1+1\boxtimes w)\\&=(v\otimes w)\boxtimes 1+v\boxtimes w+w\boxtimes v+1\boxtimes (v\otimes w)\end{aligned}}}$

في التوسع المذكور أعلاه، لا حاجة للكتابة مطلقاً${\displaystyle 1\otimes v}$لأن هذا مجرد ضرب قياسي عادي في الجبر؛ أي أن المرء يحصل على ذلك بشكل بديهي${\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}$

يحافظ الامتداد المذكور أعلاه على نظام التقييم الجبري. أي،

${\displaystyle \Delta :T^{2}V\to \bigoplus _{k=0}^{2}T^{k}V\boxtimes T^{2-k}V}$

بالاستمرار على هذا المنوال، يمكن الحصول على تعبير صريح للضرب المشترك الذي يؤثر على عنصر متجانس من الرتبة m :

$\begin{aligned}\Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{m})&=\Delta (v_{1})\otimes \cdots \otimes \Delta (v_{m})\\&=\sum _{p=0}^{m}\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{p}\right)\;\omega \;\left(v_{p+1}\otimes \cdots \otimes v_{m}\right)\\&=\sum _{p=0}^{m}\;\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} (p,mp)}\;\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\boxtimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)\end{aligned}}}$

حيث${\displaystyle \omega }$يرمز الرمز، الذي يجب أن يظهر على شكل ш (sha)، إلى ناتج الخلط . ويُعبَّر عن ذلك في المجموع الثاني، الذي يُجرى على جميع عمليات الخلط من الرتبة ( p , m − p ) . والخلط هو

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sh} (p,q)=\{\sigma$ {1, ..., p + q} → {1, ..., p + q} | σ تقابلية، σ(1) < σ(2) < ... < σ(p)، و σ(p + 1) < σ(p + 2) < ... < σ(m).

بحسب الاصطلاح، يُفترض أن Sh( m, 0) و Sh(0, m ) يساويان {id: {1, ..., m } → {1, ..., m }}. ومن الملائم أيضًا أخذ جداءات الموتر البحتة. ${\displaystyle v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}}$و${\displaystyle v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}}$ لتكون مساوية لـ 1 عندما تكون p = 0 و p = m على التوالي (الناتج الفارغ في${\displaystyle TV}$). وينتج هذا الترتيب مباشرةً من البديهية الأولى للجبر المشترك: الترتيب النسبي للعناصر${\displaystyle v_{k}}$يتم الحفاظ على الترتيب في عملية الخلط السريع: تقوم عملية الخلط السريع ببساطة بتقسيم التسلسل المرتب إلى تسلسلين مرتبين، أحدهما على اليسار والآخر على اليمين.

وبعبارة أخرى،

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=\sum _{S\subseteq \{1,\dots ,n\}}\left(\prod _{k=1 \atop k\in S}^{n}v_{k}\right)\boxtimes \left(\prod _{k=1 \atop k\notin S}^{n}v_{k}\right)\!,}$

حيث توجد المنتجات${\displaystyle TV}$وحيث يكون المجموع على جميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$.

كما في السابق، يتم الحفاظ على نظام التقييم في مادة الجبر:

${\displaystyle \Delta :T^{m}V\to \bigoplus _{k=0}^{m}T^{k}V\boxtimes T^{(m-k)}V}$

الوحدة${\displaystyle \epsilon :TV\to K}$يُعطى ذلك بإسقاط مُركِّبة الحقل من الجبر. ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي:${\displaystyle \epsilon :v\mapsto 0}$ل${\displaystyle v\in V}$و${\displaystyle \epsilon :k\mapsto k}$ل${\displaystyle k\in K=T^{0}V}$. عن طريق التشاكل تحت الضرب الموتري${\displaystyle \otimes }$وهذا يشمل

${\displaystyle \epsilon :x\mapsto 0}$

للجميع${\displaystyle x\in T^{1}V\oplus T^{2}V\oplus \cdots }$ من السهل التحقق من أن هذه الوحدة المشتركة تفي بالبديهية المطلوبة للجبر المشترك:

${\displaystyle (\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\epsilon \boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta .}$

من خلال العمل على هذا بشكل صريح، يكون لدى المرء

${\displaystyle {\begin{aligned}((\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )\circ \Delta )(x)&=(\mathrm {id} \boxtimes \epsilon )(1\boxtimes x+x\boxtimes 1)\\&=1\boxtimes \epsilon (x)+x\boxtimes \epsilon (1)\\&=0+x\boxtimes 1\\&\cong x\end{aligned}}}$

حيث تم استخدام التشاكل في الخطوة الأخيرة${\displaystyle TV\boxtimes K\cong TV}$، كما هو مناسب للبديهية المحددة للوحدة المشتركة.

تُعطى عملية الضرب بواسطة عامل

${\displaystyle \nabla :TV\boxtimes TV\to TV}$

والذي، في هذه الحالة، تم تقديمه بالفعل على أنه حاصل الضرب الموتري "الداخلي". أي،

${\displaystyle \nabla :x\boxtimes y\mapsto x\otimes y}$

إنه،${\displaystyle \nabla (x\boxtimes y)=x\otimes y.}$ما سبق يوضح سبب${\displaystyle \boxtimes }$يجب استخدام الرمز:${\displaystyle \otimes }$كان في الواقع شيئًا واحدًا ونفس الشيء${\displaystyle \nabla }$والإهمال في استخدام الرموز هنا سيؤدي إلى فوضى عارمة. ولتأكيد ذلك: الضرب الموتري${\displaystyle \otimes }$يتوافق جزء من جبر الموترات مع عملية الضرب${\displaystyle \nabla }$يُستخدم في تعريف الجبر، بينما يُستخدم حاصل الضرب الموتري${\displaystyle \boxtimes }$هو المطلوب في تعريف الضرب المشترك في الجبر المشترك. هذان الضربان الموتريان ليسا الشيء نفسه!

وحدة الجبر

${\displaystyle \eta :K\to TV}$

إنها مجرد عملية تضمين، بحيث

${\displaystyle \eta :k\mapsto k}$

أن الوحدة متوافقة مع منتج الموتر${\displaystyle \otimes }$هو "تافه": إنه مجرد جزء من التعريف القياسي لحاصل الضرب الموتري للفضاءات المتجهة. أي،${\displaystyle k\otimes x=kx}$لعنصر الحقل k وأي${\displaystyle x\in TV.}$ بصورة أكثر تفصيلاً، تتطلب بديهيات الجبر الترابطي وجود تماثلين (أو مخططات تبادلية):

${\displaystyle \nabla \circ (\eta \boxtimes \mathrm {id} _{TV})=\eta \otimes \mathrm {id} _{TV}=\eta \cdot \mathrm {id} _{TV}}$

على${\displaystyle K\boxtimes TV}$وذلك بشكل متناظر، على${\displaystyle TV\boxtimes K}$، الذي - التي

${\displaystyle \nabla \circ (\mathrm {id} _{TV}\boxtimes \eta )=\mathrm {id} _{TV}\otimes \eta =\mathrm {id} _{TV}\cdot \eta }$

حيث ينبغي فهم الجانب الأيمن من هذه المعادلات على أنه الضرب القياسي.

يجب أن تستوفي الوحدة والوحدة المرافقة، والضرب والضرب المرافق، شروط التوافق. من السهل ملاحظة ذلك.

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\mathrm {id} _{K}.}$

وبالمثل، فإن الوحدة متوافقة مع عملية الضرب المشترك:

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta \boxtimes \eta \cong \eta }$

يتطلب ما سبق استخدام التشاكل${\displaystyle K\boxtimes K\cong K}$لكي يعمل؛ بدون ذلك، يفقد المرء خطيته. من حيث المكونات،

${\displaystyle (\Delta \circ \eta )(k)=\Delta (k)=k(1\boxtimes 1)\cong k}$

مع استخدام الجانب الأيمن للتماثل.

الضرب والوحدة المتممة متوافقان:

${\displaystyle (\epsilon \circ \nabla )(x\boxtimes y)=\epsilon (x\otimes y)=0}$

عندما لا يكون x أو y عنصرين من${\displaystyle K}$وإلا، فإنه يتم إجراء عملية ضرب قياسي على الحقل:${\displaystyle k_{1}\otimes k_{2}=k_{1}k_{2}.}$ أصعب ما يمكن التحقق منه هو توافق الضرب والضرب المشترك:

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =(\nabla \boxtimes \nabla )\circ (\mathrm {id} \boxtimes \tau \boxtimes \mathrm {id} )\circ (\Delta \boxtimes \Delta )}$

أين${\displaystyle \tau (x\boxtimes y)=y\boxtimes x}$يتبادل العناصر. لا يلزم التحقق من شرط التوافق إلا على${\displaystyle V\subset TV}$ويترتب على ذلك التوافق الكامل كامتداد متماثل لجميع${\displaystyle TV.}$عملية التحقق مطولة ولكنها مباشرة؛ وهي غير مذكورة هنا، باستثناء النتيجة النهائية:

${\displaystyle (\Delta \circ \nabla )(v\boxtimes w)=\Delta (v\otimes w)}$

ل${\displaystyle v,w\in V,}$تم تقديم تعبير صريح لهذا في قسم الجبر المشترك أعلاه.

يتطلب توافق الأضداد مع الضرب والضرب المشترك أن

${\displaystyle \nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta =\eta \circ \epsilon =\nabla \circ (\mathrm {id} \boxtimes S)\circ \Delta }$

يمكن التحقق من ذلك بسهولة على مستوى المكونات${\displaystyle k\in K}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(k)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(1\boxtimes k)\\&=\nabla (1\boxtimes k)\\&=1\otimes k\\&=k\end{aligned}}}$

وبالمثل، في${\displaystyle v\in V}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} )\circ \Delta )(v)&=(\nabla \circ (S\boxtimes \mathrm {id} ))(v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=\nabla (-v\boxtimes 1+1\boxtimes v)\\&=-v\otimes 1+1\otimes v\\&=-v+v\\&=0\end{aligned}}}$

تذكر أن

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(k)=\eta (k)=k}$

وذلك

${\displaystyle (\eta \circ \epsilon )(x)=\eta (0)=0}$

لأي${\displaystyle x\in TV}$هذا ليس في${\displaystyle K.}$

يمكن للمرء أن يتابع بطريقة مماثلة، عن طريق التشاكل، بالتحقق من أن العنصر المقابل يُدخل علامات الإلغاء المناسبة في عملية الخلط، بدءًا من شرط التوافق على${\displaystyle T^{2}V}$والمضي قدماً بالاستقراء.