نظرية دونالدسون

في الرياضيات ، وخاصةً في الطوبولوجيا التفاضلية ونظرية القياس ، تنص نظرية دونالدسون على أن شكل التقاطع المحدد لمتشعب مغلق وموجه وأملس ذي بُعد 4 قابل للتقطير . إذا كان شكل التقاطع موجبًا (سالبًا) محددًا، فيمكن تقطيره إلى مصفوفة الوحدة (مصفوفة الوحدة السالبة) على الأعداد الصحيحة . اشترطت النسخة الأصلية ^{[ 1 ]} من النظرية أن يكون المتشعب بسيط الاتصال ، ولكن تم تحسينها لاحقًا لتشمل المتشعبات الرباعية ذات أي زمرة أساسية . ^{[ 2 ]}

وقد أثبت سيمون دونالدسون هذه النظرية . وكان هذا إسهامًا استحق عليه ميدالية فيلدز عام 1986. ^{[ 3 ]}

يستخدم برهان دونالدسون فضاء معاملات يانغ-ميلز${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$حلول معادلات ازدواجية الذات المضادة على مبدأ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-باقة${\displaystyle P}$على مشعب رباعي${\displaystyle X}$بحسب نظرية مؤشر أتياس-سينجر ، يُعطى بُعد فضاء المعاملات بالصيغة التالية :

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X)),}$

أين${\displaystyle k=c_{2}(P)}$هي فئة تشيرن ،${\displaystyle b_{1}(X)}$هو أول رقم بيتي لـ${\displaystyle X}$، و${\displaystyle b_{+}(X)}$هو بُعد الفضاء الجزئي الموجب المحدد من${\displaystyle H_{2}(X,\mathbb {R} )}$فيما يتعلق بصيغة التقاطع. عندما${\displaystyle X}$يرتبط ببساطة بشكل تقاطع محدد، وربما بعد تغيير الاتجاه، يكون لدى المرء دائمًا${\displaystyle b_{1}(X)=0}$و${\displaystyle b_{+}(X)=0}$وبالتالي، مع الأخذ بأي مبدأ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$- حزمة مع${\displaystyle k=1}$، ومن ثم نحصل على فضاء معياري${\displaystyle {\mathcal {M}}}$من البعد الخامس.

هذا الفضاء المعياري غير متراص وسلس بشكل عام، مع وجود نقاط شاذة فقط عند النقاط المقابلة للاتصالات القابلة للاختزال، والتي يوجد منها بالضبط${\displaystyle b_{2}(X)}$كثير. ^{[ 6 ]} تُظهر نتائج كليفورد تاوبس وكارين أولينبيك أنه بينما${\displaystyle {\mathcal {M}}}$إذا كانت المجموعة غير متراصة، فيمكن وصف بنيتها عند اللانهاية بسهولة. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} أي أن هناك مجموعة جزئية مفتوحة من${\displaystyle {\mathcal {M}}}$، يقول${\displaystyle {\mathcal {M}} _ {\varepsilon }}$بحيث أنه بالنسبة للاختيارات الصغيرة بما فيه الكفاية للمعامل${\displaystyle \varepsilon }$، هناك تماثل تفاضلي

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\varepsilon }{\xrightarrow {\quad \cong \quad }}X\times (0,\varepsilon )}$.

يتناول عمل تاوبس وأولينبيك بشكل أساسي بناء تسلسلات من وصلات اضطراب طيف التوحد على متعدد الشعب الرباعي${\displaystyle X}$مع تركز الانحناء بشكل لانهائي عند أي نقطة واحدة معينة${\displaystyle x\in X}$لكل نقطة من هذا القبيل، في النهاية نحصل على اتصال ASD مفرد فريد، والذي يصبح اتصال ASD سلسًا ومحددًا جيدًا عند تلك النقطة باستخدام نظرية التفرد لأولينبيك . ^{[ 9 ] [ 6 ]}

لاحظ دونالدسون أن النقاط الشاذة في باطن${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ويمكن وصف ما يتوافق مع الاتصالات القابلة للاختزال أيضًا: فقد بدت وكأنها مخاريط فوق المستوى الإسقاطي المركب.${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$علاوة على ذلك، يمكننا حساب عدد هذه النقاط الشاذة. ليكن${\displaystyle E}$كن${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$- حزمة فوق${\displaystyle X}$مرتبط بـ${\displaystyle P}$بالتمثيل القياسي لـ${\displaystyle SU(2)}$ثم، تكون الوصلات القابلة للاختزال بقياس القياس في تناظر واحد لواحد مع الانقسامات${\displaystyle E=L\oplus L^{-1}}$أين${\displaystyle L}$هي حزمة خطوط معقدة فوق${\displaystyle X}$[ ^{6 ]} كلما^​${\displaystyle E=L\oplus L^{-1}}$يمكننا حساب: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle 1=k=c_{2}(E)=c_{2}(L\oplus L^{-1})=-Q(c_{1}(L),c_{1}(L))}$،

أين${\displaystyle Q}$هي شكل التقاطع على التماثل الثاني لـ${\displaystyle X}$بما أن حزم الخطوط تتجاوز${\displaystyle X}$يتم تصنيفها حسب فئة تشيرن الأولى الخاصة بها${\displaystyle c_{1}(L)\in H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$نستنتج أن الاتصالات القابلة للاختزال modulo gauge تكون في تناظر واحد لواحد مع الأزواج${\displaystyle \pm \alpha \in H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$بحيث${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha )=-1}$لنفترض أن عدد الأزواج هو${\displaystyle n(Q)}$تُخبرنا حجة أولية تنطبق على أي شكل تربيعي سالب محدد على الأعداد الصحيحة أن${\displaystyle n(Q)\leq {\text{rank}}(Q)}$، مع المساواة إذا وفقط إذا${\displaystyle Q}$قابلة للقطر. ^{[ 6 ]}

وبالتالي، يمكن ضغط فضاء المعاملات على النحو التالي: أولاً، اقطع كل مخروط عند نقطة تفرد قابلة للاختزال وألصق نسخة من${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ثانيًا، ألصق نسخة من${\displaystyle X}$نفسها عند اللانهاية. الفضاء الناتج هو تماثل بين${\displaystyle X}$واتحاد منفصل من${\displaystyle n(Q)}$نسخ من${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$(ذات اتجاهات غير معروفة). التوقيع${\displaystyle \sigma }$إن خاصية التماثل في فضاء رباعي الأبعاد هي خاصية ثابتة. وبالتالي، لأن${\displaystyle X}$مؤكد:

${\displaystyle {\text{rank}}(Q)=b_{2}(X)=\sigma (X)=\sigma (\bigsqcup n(Q)\mathbb {CP} ^{2})\leq n(Q)}$،

ومنه يستنتج المرء شكل التقاطع لـ${\displaystyle X}$يمكن تحويلها إلى شكل قطري.

سبق أن أثبت مايكل فريدمان أن أي شكل ثنائي خطي متناظر أحادي المعامل يتحقق كشكل تقاطع لبعض متعددات الشعب المغلقة والموجهة رباعية الأبعاد . وبدمج هذه النتيجة مع نظرية تصنيف سير ونظرية دونالدسون، يمكن ملاحظة العديد من النتائج المثيرة للاهتمام:

1) أي شكل تقاطع غير محدد وغير قابل للقطر يؤدي إلى مشعب طوبولوجي رباعي الأبعاد بدون بنية قابلة للتفاضل (لذا لا يمكن تنعيمه).

2) يكون مشعبان سلسان متصلان ببساطة متماثلين ، إذا وفقط إذا كانت أشكال تقاطعهما لها نفس الرتبة والتوقيع والزوجية .

• شبكة أحادية الوحدة
• نظرية دونالدسون
• معادلات يانغ-ميلز
• نظرية روخلين

• دونالدسون، إس كيه (1983)، "تطبيق نظرية القياس على الطوبولوجيا رباعية الأبعاد"، مجلة الهندسة التفاضلية ، 18 (2): 279-315 ، doi : 10.4310/jdg/1214437665 ، MR 0710056 ، Zbl 0507.57010  
• دونالدسون، سيمون ك .؛ كرونهايمر، بيتر ب. (13 سبتمبر 1990). هندسة الفضاءات الرباعية . سلسلة دراسات أكسفورد الرياضية. مطبعة جامعة أكسفورد . doi : 10.1093/oso/9780198535539.001.0001 . ISBN 978-0-198-53553-9MR 1079726​​ 
• أولينبيك، كارين ك.؛ فريد ، دانيال س. (1984). الجسيمات الفورية والمتشعبات الرباعية . منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية. المجلد  1. سبرينغر . doi : 10.1007/978-1-4613-9703-8 . ISBN 978-1-4613-9703-8.
• فريدمان، م.؛ كوين، ف. (1990)، طوبولوجيا الفضاءات الرباعية ، مطبعة جامعة برينستون
• سكوربان، أ. (2005)، العالم الجامح للمتشعبات الرباعية ، الجمعية الرياضية الأمريكية