زمن التضاعف

زمن التضاعف هو الفترة الزمنية اللازمة لتضاعف حجم/قيمة السكان. يُستخدم هذا المفهوم في دراسة النمو السكاني ، والتضخم ، واستخراج الموارد ، واستهلاك السلع، والفائدة المركبة ، وحجم الأورام الخبيثة ، والعديد من الظواهر الأخرى التي تميل إلى النمو بمرور الوقت. عندما يكون معدل النمو النسبي (وليس معدل النمو المطلق) ثابتًا، فإن الكمية تخضع لنمو أُسّي ، ويكون لها زمن تضاعف أو فترة ثابتة، يمكن حسابها مباشرةً من معدل النمو.

يمكن حساب هذا الوقت عن طريق قسمة اللوغاريتم الطبيعي لـ 2 على أس النمو، أو تقريبه عن طريق قسمة 70 على معدل النمو المئوي ^{[ 1 ]} (بشكل أكثر تقريبًا ولكن بشكل دائري، قسمة 72؛ انظر قاعدة 72 للحصول على التفاصيل واشتقاقات هذه الصيغة ).

يُعد وقت التضاعف وحدة مميزة (وحدة قياس طبيعية) لمعادلة النمو الأسي، وعكسها بالنسبة للاضمحلال الأسي هو نصف العمر .

على سبيل المثال، بلغ صافي نمو سكان كندا 2.7% في عام 2022، وبقسمة 72 على 2.7 نحصل على فترة تضاعف تقريبية تبلغ حوالي 27 عامًا. وبالتالي، إذا استمر معدل النمو هذا ثابتًا، فسيتضاعف عدد سكان كندا من حوالي 39 مليون نسمة في عام 2023 إلى حوالي 78 مليون نسمة بحلول عام 2050. ^{[ 2 ]}

يعود مفهوم مضاعفة العائد إلى فوائد القروض في الرياضيات البابلية . تتضمن ألواح طينية تعود إلى حوالي عام 2000 قبل الميلاد التمرين التالي: "بافتراض معدل فائدة 1/60 شهريًا (بدون احتساب الفائدة المركبة)، فماذا يحدث عند مضاعفة العائد؟". ينتج عن ذلك معدل فائدة سنوي قدره 12/60 = 20%، وبالتالي فإن مدة مضاعفة العائد هي 100% نمو / 20% نمو سنويًا = 5 سنوات. ^{[ 3 ] [ 4 ]} علاوة على ذلك، كان سداد ضعف المبلغ الأصلي للقرض، بعد فترة زمنية محددة، ممارسة تجارية شائعة في تلك الفترة: كان القرض الآشوري الشائع في عام 1900 قبل الميلاد يتألف من إقراض 2 مينا من الذهب، واسترداد 4 مينا في خمس سنوات، ^{[ 3 ]} وكان المثل المصري في ذلك الوقت يقول: "إذا وُضعت الثروة حيث تُدرّ ربحًا، فإنها تعود إليك مضاعفة." ^{[ 3 ] [ 5 ]}

إن فحص وقت التضاعف يمكن أن يعطي إحساسًا أكثر بديهية بالتأثير طويل المدى للنمو من مجرد النظر إلى معدل النمو المئوي.

بالنسبة لمعدل نمو ثابت قدره r % خلال الزمن t ، تُعطى صيغة زمن التضاعف Td بالصيغة التالية _:

${\displaystyle T_{d}=t{\frac {\ln(2)}{\ln(1+{\frac {r}{100}})}}}$

يمكن اشتقاق قاعدة عامة شائعة عن طريق توسيع مقام ln(1+x) باستخدام متسلسلة تايلور عندما x=0${\displaystyle \ln(1+x)\approx x}$وبإهمال الحدود ذات الرتبة الأعلى (وهذا يتوافق مع الافتراض بأن${\displaystyle r/100\ll 1}$لذا فهو تقريب أفضل لقيم r الأصغر):

${\displaystyle T_{d}=t{\frac {\ln {2}}{\frac {r}{100}}}=t{\frac {100\ln {2}}{r}}}$

${\displaystyle \approx t{\frac {69.3}{r}}\approx t{\frac {70}{r}}}$

تُعطي "قاعدة الـ 70" هذه أوقات تضاعف دقيقة في حدود 10% لمعدلات النمو الأقل من 25%، وفي حدود 20% للمعدلات الأقل من 60%. أما معدلات النمو الأعلى فتؤدي إلى تقليل القاعدة لوقت التضاعف بهامش أكبر.

بعض أوقات التضاعف المحسوبة باستخدام هذه الصيغة موضحة في هذا الجدول.

صيغة بسيطة لزمن التضاعف:

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{t/T_{d}}}$

أين

• N ( t ) = عدد الأجسام في الزمن t
• T _d = فترة التضاعف (الوقت اللازم لتضاعف عدد الكائن)
• N ₀ = العدد الأولي للأشياء
• t = الزمن

على سبيل المثال، مع معدل نمو سنوي قدره 4.8٪، فإن وقت التضاعف هو 14.78 سنة، ووقت التضاعف البالغ 10 سنوات يتوافق مع معدل نمو يتراوح بين 7٪ و 7.5٪ (في الواقع حوالي 7.18٪).

عند تطبيق ذلك على النمو المطرد في استهلاك مورد ما، فإن إجمالي الكمية المستهلكة في فترة مضاعفة واحدة يساوي إجمالي الكمية المستهلكة في جميع الفترات السابقة. وقد مكّن هذا الرئيس الأمريكي جيمي كارتر من الإشارة في خطاب ألقاه عام 1977 إلى أن العالم استهلك في كل عقد من العقدين السابقين كمية من النفط تفوق ما استهلكه في تاريخه بأكمله (إذ شهد النمو الأسي التقريبي في استهلاك النفط العالمي بين عامي 1950 و1970 فترة مضاعفة تقل عن عقد من الزمان).

بمعرفة قياسين لكمية متزايدة، q1 عند الزمن t1 و q2 عند الزمن _{t2 ،} وبافتراض معدل نمو ثابت، يمكن حساب زمن التضاعف على _النحو التالي _:

${\displaystyle T_{d}=(t_{2}-t_{1})\cdot {\frac {\ln(2)}{\ln({\frac {q_{2}}{q_{1}}})}}.}$

المفهوم المكافئ لوقت التضاعف لمادة تخضع لمعدل نمو نسبي سلبي ثابت أو اضمحلال أسي هو نصف العمر .

المفهوم المكافئ في الأساس e هو الطي e .

رسوم بيانية تقارن أوقات التضاعف ونصف العمر للنمو الأسي (خطوط سميكة) والاضمحلال الأسي (خطوط باهتة)، وتقريباتها 70/ t و72/ t . في نسخة SVG ، مرر مؤشر الماوس فوق الرسم البياني لتمييزه وتمييز مكمله.

يمكن حساب وقت تضاعف الخلية بالطريقة التالية باستخدام معدل النمو (مقدار التضاعف في وحدة زمنية واحدة).

معدل النمو:

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{rt}}$

أو

${\displaystyle r={\frac {\ln \left(N(t)/N_{0}\right)}{t}}}$

أين

• ${\displaystyle N(t)}$= عدد الخلايا في الوقت t
• ${\displaystyle N_{0}}$= عدد الخلايا عند الزمن 0
• ${\displaystyle r}$= معدل النمو
• ${\displaystyle t}$= الوقت (عادةً بالساعات)

زمن التضاعف:

${\displaystyle {\text{زمن التضاعف}}={\frac {\ln(2)}{\text{معدل النمو}}}}$

فيما يلي وقت التضاعف المعروف للخلايا التالية:

• ألبرت ألين بارتليت
• اللوغاريتم الثنائي
• الطي الإلكتروني
• اضمحلال أسي
• النمو الأسي
• نصف العمر
• معدل النمو النسبي
• قاعدة الـ 72

• حاسبة زمن التضاعف
• http://geography.about.com/od/populationgeography/a/populationgrow.htm مؤرشف بتاريخ 28 أغسطس 2006 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine)