اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 64 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2 هو العدد الحقيقي الوحيد الذي تكون فيه الدالة الأسية مساويةً للعدد 2. يظهر هذا اللوغاريتم بكثرة في العديد من الصيغ، كما يُعطى أيضًا بواسطة المتسلسلة التوافقية المتناوبة . القيمة العشرية للوغاريتم الطبيعي للعدد 2 (المتتالية A002162 في OEIS ) بعد اقتطاعها إلى 30 منزلة عشرية تُعطى بالصيغة التالية:

ln⁡2≈0.693147180559945309417232121458.{\displaystyle \ln 2\approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.}

يُحسب لوغاريتم العدد 2 في أنظمة العد الأخرى باستخدام الصيغة التالية:

سجلب⁡2=ln⁡2ln⁡ب.{\displaystyle \log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.}

اللوغاريتم العشري على وجه الخصوص هو ( OEIS : A007524  )

سجل10⁡2≈0.301029995663981195.{\displaystyle \log _{10}2\approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.}

معكوس هذا العدد هو اللوغاريتم الثنائي للعدد 10:

سجل2⁡10=1سجل10⁡2≈3.321928095{\displaystyle \log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3.321\,928\,095}( OEIS : A020862  ).

بحسب نظرية ليندمان-فايرشتراس ، فإن اللوغاريتم الطبيعي لأي عدد طبيعي غير الصفر والواحد (وبشكل أعم، لأي عدد جبري موجب غير الواحد) هو عدد متسامٍ . وهو أيضاً موجود في حلقة الدورات الجبرية .

تمثيلات السلسلة

العامل البديل المتزايد

ln⁡2=∑ن=1∞(-1)ن+1ن=1-12+13-14+15-16+⋯.{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots .}هذه هي "سلسلة التوافقيات المتناوبة" المعروفة.
ln⁡2=12+12∑ن=1∞(-1)ن+1ن(ن+1).{\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}.}
ln⁡2=58+12∑ن=1∞(-1)ن+1ن(ن+1)(ن+2).{\displaystyle \ln 2={\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}}.}
ln⁡2=23+34∑ن=1∞(-1)ن+1ن(ن+1)(ن+2)(ن+3).{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}.}
ln⁡2=131192+32∑ن=1∞(-1)ن+1ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)(ن+4).{\displaystyle \ln 2={\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.}
ln⁡2=661960+154∑ن=1∞(-1)ن+1ن(ن+1)(ن+2)(ن+3)(ن+4)(ن+5).{\displaystyle \ln 2={\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}
ln⁡2=23(1+243-4+283-8+2123-12+...).{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\left(1+{\frac {2}{4^{3}-4}}+{\frac {2}{8^{3}-8}}+{\frac {2}{12^{3}-12}}+\dots \right).}

عاملي ثابت تصاعدي ثنائي

ln⁡2=∑ن=1∞12نن.{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.}
ln⁡2=1-∑ن=1∞12نن(ن+1).{\displaystyle \ln 2=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)}}.}
ln⁡2=12+2∑ن=1∞12نن(ن+1)(ن+2).{\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}}.}
ln⁡2=56-6∑ن=1∞12نن(ن+1)(ن+2)(ن+3).{\displaystyle \ln 2={\frac {5}{6}}-6\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}}.}
ln⁡2=712+24∑ن=1∞12نن(ن+1)(ن+2)(ن+3)(ن+4).{\displaystyle \ln 2={\frac {7}{12}}+24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.}
ln⁡2=4760-120∑ن=1∞12نن(ن+1)(ن+2)(ن+3)(ن+4)(ن+5).{\displaystyle \ln 2={\frac {47}{60}}-120\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}

تمثيلات أخرى للسلسلة

∑ن=0∞1(2ن+1)(2ن+2)=ln⁡2.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.}
∑ن=1∞1ن(4ن2-1)=2ln⁡2-1.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.}
∑ن=1∞(-1)نن(4ن2-1)=ln⁡2-1.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.}
∑ن=1∞(-1)نن(9ن2-1)=2ln⁡2-32.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\frac {3}{2}}.}
∑ن=1∞14ن2-2ن=ln⁡2.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}=\ln 2.}
∑ن=1∞2(-1)ن+1(2ن-1)+18ن2-4ن=ln⁡2.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}=\ln 2.}
∑ن=0∞(-1)ن3ن+1=ln⁡23+π33.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}={\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.}
∑ن=0∞(-1)ن3ن+2=-ln⁡23+π33.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+2}}=-{\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.}
∑ن=0∞(-1)ن(3ن+1)(3ن+2)=2ln⁡23.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)}}={\frac {2\ln 2}{3}}.}
∑ن=1∞1∑ك=1نك2=18-24ln⁡2{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}k^{2}}}=18-24\ln 2}استخدامليمشمال→∞∑ن=شمال2شمال1ن=ln⁡2{\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=N}^{2N}{\frac {1}{n}}=\ln 2}
∑ن=1∞14ن2-3ن=ln⁡2+π6{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-3n}}=\ln 2+{\frac {\pi }{6}}}(مجموع مقلوبات الأعداد العشرية )

يتضمن دالة زيتا لريمان

∑ن=1∞1ن[ζ(2ن)-1]=ln⁡2.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}[\zeta (2n)-1]=\ln 2.}
∑ن=2∞12ن[ζ(ن)-1]=ln⁡2-12.{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1}{2}}.}
∑ن=1∞12ن+1[ζ(2ن+1)-1]=1-γ-ln⁡22.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (2n+1)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}.}
∑ن=1∞122ن-1(2ن+1)ζ(2ن)=1-ln⁡2.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n-1}(2n+1)}}\zeta (2n)=1-\ln 2.}

( γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني و ζ دالة زيتا لريمان .)

تمثيلات من نوع BBP

ln⁡2=23+12∑ك=1∞(12ك+14ك+1+18ك+4+116ك+12)116ك.{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.}

(انظر المزيد حول تمثيلات من نوع Bailey–Borwein–Plouffe (BBP) .)

بتطبيق المتسلسلات العامة الثلاثة للوغاريتم الطبيعي على 2 مباشرة، نحصل على:

ln⁡2=∑ن=1∞(-1)ن-1ن.{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}.}
ln⁡2=∑ن=1∞12نن.{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.}
ln⁡2=23∑ك=0∞19ك(2ك+1).{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}.}

تطبيقها على2=32⋅43{\displaystyle \textstyle 2={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}}أعطِ:

ln⁡2=∑ن=1∞(-1)ن-12نن+∑ن=1∞(-1)ن-13نن.{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{3^{n}n}}.}
ln⁡2=∑ن=1∞13نن+∑ن=1∞14نن.{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}n}}.}
ln⁡2=25∑ك=0∞125ك(2ك+1)+27∑ك=0∞149ك(2ك+1).{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25^{k}(2k+1)}}+{\frac {2}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{49^{k}(2k+1)}}.}

تطبيقها على2=(2)2{\displaystyle \textstyle 2=({\sqrt {2}})^{2}}أعطِ:

ln⁡2=2∑ن=1∞(-1)ن-1(2+1)نن.{\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{({\sqrt {2}}+1)^{n}n}}.}
ln⁡2=2∑ن=1∞1(2+2)نن.{\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2+{\sqrt {2}})^{n}n}}.}
ln⁡2=43+22∑ك=0∞1(17+122)ك(2ك+1).{\displaystyle \ln 2={\frac {4}{3+2{\sqrt {2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(17+12{\sqrt {2}})^{k}(2k+1)}}.}

تطبيقها على2=(1615)7⋅(8180)3⋅(2524)5{\displaystyle \textstyle 2={\left({\frac {16}{15}}\right)}^{7}\cdot {\left({\frac {81}{80}}\right)}^{3}\cdot {\left({\frac {25}{24}}\right)}^{5}}أعطِ:

ln⁡2=7∑ن=1∞(-1)ن-115نن+3∑ن=1∞(-1)ن-180نن+5∑ن=1∞(-1)ن-124نن.{\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{15^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{80^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{24^{n}n}}.}
ln⁡2=7∑ن=1∞116نن+3∑ن=1∞181نن+5∑ن=1∞125نن.{\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{81^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{25^{n}n}}.}
ln⁡2=1431∑ك=0∞1961ك(2ك+1)+6161∑ك=0∞125921ك(2ك+1)+1049∑ك=0∞12401ك(2ك+1).{\displaystyle \ln 2={\frac {14}{31}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{961^{k}(2k+1)}}+{\frac {6}{161}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25921^{k}(2k+1)}}+{\frac {10}{49}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2401^{k}(2k+1)}}.}

التمثيل كتكاملات

يظهر اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2 بشكل متكرر كنتيجة للتكامل. ومن الصيغ الصريحة لحسابه ما يلي:

∫01دx1+x=∫12دxx=ln⁡2{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2}
∫0∞هـ-x1-هـ-xxدx=ln⁡2{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2}
∫0∞2-xدx=1ln⁡2{\displaystyle \int _{0}^{\infty }2^{-x}dx={\frac {1}{\ln 2}}}
∫0π3لون برونزي⁡xدx=2∫0π4لون برونزي⁡xدx=ln⁡2{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x\,dx=\ln 2}
-1πأنا∫0∞ln⁡xln⁡ln⁡x(x+1)2دx=ln⁡2{\displaystyle -{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x\ln \ln x}{(x+1)^{2}}}\,dx=\ln 2}

تمثيلات أخرى

توسعة بيرس هي OEIS : A091846 

ln⁡2=1-11⋅3+11⋅3⋅12-⋯.{\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .}

توسعة إنجل هي OEIS : A059180 

ln⁡2=12+12⋅3+12⋅3⋅7+12⋅3⋅7⋅9+⋯.{\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .}

مفكوك ظل التمام هو OEIS : A081785 

ln⁡2=سرير أطفال⁡(أركوت⁡(0)-أركوت⁡(1)+أركوت⁡(5)-أركوت⁡(55)+أركوت⁡(14187)-⋯).{\displaystyle \ln 2=\cot({\operatorname {arccot}(0)-\operatorname {arccot}(1)+\operatorname {arccot}(5)-\operatorname {arccot}(55)+\operatorname {arccot}(14187)-\cdots }).}

صيغة الكسر المستمر البسيط هي OEIS : A016730 

ln⁡2=[0؛1،2،3،1،6،3،1،1،2،1،1،1،1،3،10،1،1،1،2،1،1،1،1،3،2،3،1،...]{\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...\right]}،

مما ينتج عنه تقريبات منطقية، وأولى هذه التقريبات هي 0، 1، 2/3، 7/10، 9/13 و 61/88.

هذا الكسر المستمر المعمم :

ln⁡2=[0؛1،2،3،1،5،23،7،12،9،25،...،2ك-1،2ك،...]{\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,5,{\tfrac {2}{3}},7,{\tfrac {1}{2}},9,{\tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...\right]}, [ 1 ]
ويمكن التعبير عنها أيضًا على النحو التالي:
ln⁡2=11+12+13+22+25+32+37+42+⋱=23-129-2215-3221-⋱{\displaystyle \ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}

يُعطي تمثيل الكسر المستمر التالي (JLLagrange) (بشكل تقاربي) 1.53 منزلة عشرية صحيحة جديدة لكل دورة: [ 2 ] [ 3 ]

ln⁡2=12ل0،لك=2ك+1+ك+12+ك+1لك+1{\displaystyle \ln 2={\frac {\frac {1}{2}}{L_{0}}},L_{k}=2k+1+{\frac {k+1}{2+{\frac {k+1}{L_{k+1}}}}}}

أو

ln⁡2=2جي0،جيك=6ك+3-(ك+1)2جيك+1{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{G_{0}}},G_{k}=6k+3-{\frac {(k+1)^{2}}{G_{k+1}}}}

إعادة بناء اللوغاريتمات الأخرى باستخدام طريقة التمهيد

بفرض قيمة ln 2 ، فإن إحدى طرق حساب لوغاريتمات الأعداد الصحيحة الأخرى هي جدولة لوغاريتمات الأعداد الأولية ، وفي الطبقة التالية جدولة لوغاريتمات الأعداد المركبة c بناءً على تحليلها إلى عواملها الأولية.

ج=2أنا3ج5ك7ل⋯→ln⁡(ج)=أناln⁡(2)+جln⁡(3)+كln⁡(5)+لln⁡(7)+⋯{\displaystyle c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln(c)=i\ln(2)+j\ln(3)+k\ln(5)+l\ln(7)+\cdots }

وهذا يوظف

برايماللوغاريتم الطبيعي التقريبيOEIS
20.693 147 180 559 945 309 417 232 121 458A002162
31.098 612 288 668 109 691 395 245 236 92A002391
51.609 437 912 434 100 374 600 759 333 23A016628
71.945 910 149 055 313 ​​305 105 352 743 44A016630
112.397 895 272 798 370 544 061 943 577 97A016634
132.564 949 357 461 536 736 053 487 441 57A016636
172.833 213 344 056 216 080 249 534 617 87A016640
192.944 438 979 166 440 460 009 027 431 89A016642
233.135 494 215 929 149 690 806 752 831 81A016646
293.367 295 829 986 474 027 183 272 032 36A016652
313.433 987 204 485 146 245 929 164 324 54A016654
373.610 917 912 644 224 444 368 095 671 03A016660
413.713 572 066 704 307 803 866 763 373 04A016664
433.761 200 115 693 562 423 472 842 513 35A016666
473.850 147 601 710 058 586 820 950 669 77A016670
533.970 291 913 552 121 834 144 469 139 03A016676
594.077 537 443 905 719 450 616 050 373 72A016682
614.110 873 864 173 311 248 751 389 103 43A016684
674.204 692 619 390 966 059 670 071 996 36A016690
714.262 679 877 041 315 421 329 454 532 51A016694
734.290 459 441 148 391 129 092 108 857 44A016696
794.369 447 852 467 021 494 172 945 541 48A016702
834.418 840 607 796 597 923 475 472 223 29A016706
894.488 636 369 732 139 838 317 815 540 67A016712
974.574 710 978 503 382 822 116 721 621 70A016720

في طبقة ثالثة، يتم حساب لوغاريتمات الأعداد النسبية r = ⁠ a / b ⁠ باستخدام ln( r ) = ln( a ) − ln( b ) ، ولوغاريتمات الجذور عبر ln n √ c = ⁠ 1 / n ⁠ ln( c ) .

إن لوغاريتم 2 مفيد بمعنى أن قوى 2 موزعة بكثافة إلى حد ما؛ فإيجاد القوى 2 i القريبة من القوى b j للأعداد الأخرى b أمر سهل نسبيًا، ويتم إيجاد تمثيلات متسلسلة لـ ln( b ) عن طريق ربط 2 بـ b مع التحويلات اللوغاريتمية .

مثال

إذا كان p s = q t + d حيث d قيمة صغيرة ، فإن p s / q t = 1 + d / q t ، وبالتالي

sln⁡ص-تln⁡q=ln⁡(1+دqت)=∑م=1∞(-1)م+1م(دqت)م=∑ن=0∞22ن+1(د2qت+د)2ن+1.{\displaystyle s\ln p-t\ln q=\ln \left(1+{\frac {d}{q^{t}}}\right)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m}}\left({\frac {d}{q^{t}}}\right)^{m}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {d}{2q^{t}+d}}\right)}^{2n+1}.}

يُمثل اختيار q = 2 العلاقة بين ln p و ln 2 ، وهي سلسلة من المعاملات d / qt التي يُراد إبقاؤها صغيرة لضمان التقارب السريع. على سبيل المثال، يُنتج أخذ 3/2 = 2/3 + 1

2ln⁡3=3ln⁡2-∑ك≥1(-1)ك8كك=3ln⁡2+∑ن=0∞22ن+1(12⋅8+1)2ن+1.{\displaystyle 2\ln 3=3\ln 2-\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}}{8^{k}k}}=3\ln 2+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {1}{2\cdot 8+1}}\right)}^{2n+1}.}

هذا هو في الواقع السطر الثالث في الجدول التالي لتوسعات هذا النوع:

sصتqd / q t​​
1312١ / ٢ =​​0.500 000 00 …
1322- 1 / 4 = -​0.250 000 00 …
23321 / 8 =​​0.125 000 00 …
5382− 13 / 256 ⁠ = −0.050 781 25 …
1231927153 /​524 288 ⁠=0.013 643 26 …
1522١ / ٤ = −​0.250 000 00 …
3572− 3 / 128 = −​0.023 437 50 …
17223 / 4 =​​0.750 000 00 …
1732- 1 / 8 = -​0.125 000 00 …
57142423 /​16384 =​​0.025 817 87 …
111323 / 8 = −​0.375 000 00 …
21172− 7 / 128 = −​0.054 687 50 …
1111382⁠10 433 763 667 /274 877 906 944 ⁠=0.037 957 81 …
11332٥ / ٨ = −​0.625 000 00 …
11342− 3 / 16 ⁠ = −0.187 500 00 …
313112149 / 2048 = −​0.072 753 91 …
713262− ⁠4 360 347 /67 108 864 =−0.064 974 23 …
1013372⁠419 538 377 /137 438 953 472 ⁠=0.003 052 54 …
11742١ / ١٦ = −​0.062 500 00 …
119423 / 16 = −​0.187 500 00 …
419172− ⁠ 751 /131 072 =−0.005 729 68 …
123427 / 16 = −​0.437 500 00 …
12352− 9 / 32 ⁠ = −0.281 250 00 …
2239217 / 512 = −​0.033 203 12 …
12942١٣ / ١٦ = −​0.812 500 00 …
12952− 3 / 32 ⁠ = −0.093 750 00 …
729342⁠70 007 125 /17 179 869 184 ⁠=0.004 074 95 …
13152− 1 / 32 ⁠ = −0.031 250 00 …
13752٥ / ٣٢ = −​0.156 250 00 …
437212− ⁠222 991 /2097152 =−​​0.106 330 39 …
537262⁠2 235 093 /67 108 864 =−0.033 305 48 …
141529 / 32 = −​0.281 250 00 …
241112− ⁠ 367 / 2048 ⁠ = −0.179 199 22 …
3411623385 /​65536 =​​0.051 651 00 …
1435211 / 32 = −​0.343 750 00 …
243112− 199 / 2048 ⁠ = −0.097 167 97 …
543272⁠12790715 /​​134 217 728 =−0.095 298 25 …
743382− ⁠3 059 295 837 /274 877 906 944 ⁠= −0.011 129 65 …

انطلاقاً من اللوغاريتم الطبيعي لـ q = 10، يمكن استخدام هذه المعلمات:

sصتqd / q t​​
1023103 / 125 = −​0.024 000 00 …
2131010⁠460 353 203 /10000000000 =​​​​0.046 035 32 …
35210١ / ٤ = −​0.250 000 00 …
105710− 3 / 128 = −​0.023 437 50 …
67510⁠17649 /​100000 =​​0.176 490 00 …
1371110− ⁠3 110 989 593 /100000000000 = −​​​0.031 109 90 …
1111101 / 10 =​​0.100 000 00 …
1131103 / 10 = −​0.300 000 00 …
813910− ⁠184 269 279 /1,000,000,000 = −​​​0.184 269 28 …
9131010⁠604 499 373 /10000000000 =​​​​0.060 449 94 …
1171107 / 10 = −​0.700 000 00 …
417510− ⁠16 479 /100000 =−​0.164 790 00 …
9171110⁠18 587 876 497 /100000000000 = −​​​0.185 878 76 …
319410− ⁠ 3141 /10000 =−​0.314 100 00 …
419510⁠30 321 /100000 =​​0.303 210 00 …
719910− ⁠106 128 261 /1,000,000,000 = −​​​0.106 128 26 …
223310- 471 / 1000 = -​0.471 000 00 …
3234102167 /​10000 =​​0.216 700 00 …
229310− 159 / 1000 ⁠ = −0.159 000 00 …
231310− ⁠ 39 / 1000 ⁠ = −0.039 000 00 …

الأرقام المعروفة

هذا جدولٌ بالأرقام القياسية الحديثة في حساب أرقام اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2. اعتبارًا من ديسمبر 2018، تم حسابه بعدد أرقام أكثر من أي لوغاريتم طبيعي آخر [ 4 ] [ 5 ] لعدد طبيعي، باستثناء اللوغاريتم الطبيعي للعدد 1.

تاريخاسمعدد الأرقام
7 يناير 2009أ. يي و ر. تشان15,500,000,000
4 فبراير 2009أ. يي و ر. تشان31,026,000,000
21 فبراير 2011ألكسندر يي50,000,000,050
14 مايو 2011شيجيرو كوندو100,000,000,000
28 فبراير 2014شيجيرو كوندو200,000,000,050
12 يوليو 2015رون واتكينز250,000,000,000
30 يناير 2016رون واتكينز350,000,000,000
18 أبريل 2016رون واتكينز500,000,000,000
10 ديسمبر 2018مايكل كوك600,000,000,000
26 أبريل 2019جاكوب ريفي1,000,000,000,000
19 أغسطس 2020سونغمين كيم [ 6 ] [ 7 ]1,200,000,000,100
9 سبتمبر 2021ويليام إيكولز [ 8 ]1,500,000,000,000
12 فبراير 2024جوردان رانوس [ 9 ]3,000,000,000,000
15 نوفمبر 2025ممدوح بركات [ 10 ]3,100,000,000,000

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بورواين، ج.؛ كراندال، ر.؛ فري، ج. (2004). "حول كسر رامانوجان AGM، الجزء الأول: حالة المعاملات الحقيقية" (ملف PDF) . الرياضيات التجريبية. 13 ( 3): 278-280 . doi : 10.1080/10586458.2004.10504540 . S2CID 17758274 . 
  2. ↑ أ. ن. خوفانسكي، تطبيقات الكسور المستمرة وتعميمها على مسائل نظرية التقريب، 1963، نوردوف، جرونينجن، هولندا
  3. ↑ التحليل الرياضي: الدوال، والنهايات، والمتسلسلات، والكسور المستمرة . حرره ل. أ. ليوسترنيك وأ. ر. يانبولسكي. ترجمه د. إ. براون، وحرر الترجمة إ. سبنس، 1965، ص 273. دار بيرغامون للنشر، أكسفورد، لندن، إدنبرة، نيويورك
  4. ↑ "y-cruncher" . numberworld.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 ديسمبر 2018 .
  5. ↑ "اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2" . numberworld.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 ديسمبر 2018 .
  6. ↑ "الأرقام القياسية التي حققها y-cruncher" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 15 سبتمبر 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 سبتمبر 2020 .
  7. ↑ "الرقم القياسي العالمي في حساب اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2 (Log(2)) بواسطة سونغمين كيم" . 19 أغسطس 2020. تم الاطلاع عليه في 15 سبتمبر 2020 .
  8. ↑ "ويليام إيكولز" . تم الاطلاع عليه في 15 مارس 2025 .
  9. ↑ "الأرقام القياسية التي حققها y-cruncher" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 مارس 2025 .
  10. ↑ "الأرقام القياسية التي حققها y-cruncher" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 ديسمبر 2025 .