الرياضيات البابلية

استخدم البابليون جداول مُعدّة مسبقًا للمساعدة في العمليات الحسابية ، بما في ذلك جداول الضرب ، وجداول المقلوب ، وجداول المربعات (أو، باستخدام الجدول نفسه بطريقة معاكسة، جداول الجذور التربيعية ). لم تكن جداول الضرب الخاصة بهم هي نفسها${\displaystyle 60\times 60}$الجداول التي قد يتوقع المرء، قياسًا على جداول الضرب العشري، احتفظوا بدلاً من ذلك بجداول الضرب في أعداد أساسية معينة ( الأعداد العادية و7). لحساب نواتج الضرب الأخرى، كانوا يقسمون أحد الأعداد المراد ضربها إلى مجموع أعداد أساسية. ^{[ 10 ]}

على الرغم من أن العديد من الألواح البابلية تسجل تمارين في ضرب الأعداد متعددة الأرقام، إلا أنها عادةً ما تنتقل مباشرةً من الأعداد المضروبة إلى ناتجها، دون إظهار القيم الوسيطة. وبناءً على ذلك، وعلى أنماط معينة من الأخطاء في بعض هذه الألواح، اقترح ينس هويروب أن عملية الضرب المطوّل كانت تُجرى بطريقة تمحو فيها كل خطوة من خطوات الحساب سجل الخطوات السابقة، كما يحدث عند استخدام المعداد أو لوحة العد ، وهو ما لا يحدث مع الضرب المطوّل المكتوب. ^{[ 10 ]} ويُعدّ اللوح البابلي المتأخر / السلوقي BM 34601 استثناءً نادرًا، وهو "اللوح الوحيد المعروف من نوعه"، وقد أُعيد بناؤه على أنه يحسب مربع عدد ستينيّ مكوّن من 13 رقمًا (العدد 13).${\displaystyle 5\cdot 3^{25}}$) باستخدام "عمود مائل من المنتجات الجزئية" يشبه الضرب الطويل الحديث. ^{[ 11 ]}

لم يكن لدى البابليين خوارزمية للقسمة المطولة . ^{[ 12 ]} بل اعتمدوا طريقتهم على حقيقة أن:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}$

بالإضافة إلى جدول للمقلوبات . الأعداد التي عواملها الأولية الوحيدة هي 2 أو 3 أو 5 (المعروفة بالأعداد السلسة أو المنتظمة من النوع 5) لها مقلوبات منتهية في الترميز الستيني، وقد تم العثور على جداول تحتوي على قوائم شاملة لهذه المقلوبات.

لا توجد تمثيلات منتهية للمقلوبات مثل 1/7، 1/11، 1/13، إلخ، في النظام الستيني. لحساب 1/13 أو لقسمة عدد على 13، كان البابليون يستخدمون تقريبًا مثل:

${\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.}$

يقدم اللوح الطيني البابلي YBC 7289 ( حوالي 1800-1600 قبل الميلاد ) تقريبًا للجذر التربيعي للعدد 2 في أربعة أرقام ستينية ، 𒐕 𒌋𒌋𒐼 𒐐𒐕 𒌋 = 1;24,51,10، ^{[ 13 ]} وهو دقيق إلى حوالي ستة أرقام عشرية ، ^{[ 14 ]} وهو أقرب تمثيل ستيني بثلاثة أرقام ممكن لـ √2 :

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.}$

إلى جانب العمليات الحسابية، طور علماء الرياضيات البابليون أيضاً طرقاً جبرية لحل المعادلات . ومرة ​​أخرى، كانت هذه الطرق تعتمد على جداول محسوبة مسبقاً.

لحل المعادلات التربيعية ، استخدم البابليون بشكل أساسي الصيغة التربيعية القياسية . وقد درسوا المعادلات التربيعية التي تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle \ x^{2}+bx=c}$

حيث لم يكن b و c بالضرورة عددين صحيحين، ولكن c كان دائمًا موجبًا. كانوا يعلمون أن حل هذا الشكل من المعادلة هو: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}}$

وقد وجدوا الجذور التربيعية بكفاءة باستخدام القسمة والمتوسط. ^{[ 16 ]} وشملت مسائل هذا النوع إيجاد أبعاد المستطيل بمعلومية مساحته ومقدار الزيادة بين طوله وعرضه.

استُخدمت جداول قيم n³ + n² لحل بعض المعادلات التكعيبية . على سبيل المثال، انظر ^إلى المعادلة التالية ^:  

${\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}$

بضرب المعادلة في ^a² وقسمتها على b³ ^نحصل على:

${\displaystyle \left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.}$

بالتعويض عن y = ax / b نحصل على:

${\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}$

^{ويمكن الآن حلّ هذه المسألة} بالرجوع إلى جدول n³ + n² لإيجاد القيمة الأقرب إلى الطرف الأيمن. وقد أنجز البابليون ذلك دون استخدام الرموز الجبرية، مما يدل على فهم عميق ومذهل. مع ذلك، لم تكن لديهم طريقة لحلّ المعادلة التكعيبية العامة ^.  

قام البابليون بنمذجة النمو الأسي، والنمو المقيد (عبر شكل من أشكال الدوال السينية )، ووقت التضاعف ، والأخير في سياق الفائدة على القروض.

تتضمن الألواح الطينية التي يعود تاريخها إلى حوالي 2000 قبل الميلاد التمرين التالي: "بافتراض معدل فائدة قدره 1/60 شهريًا (بدون احتساب الفائدة المركبة)، احسب زمن التضاعف". ينتج عن ذلك معدل فائدة سنوي قدره 12/60 = 20%، وبالتالي زمن تضاعف قدره 100% نمو / 20% نمو سنويًا = 5 سنوات. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

تحتوي لوحة بليمبتون 322 على قائمة من " الأعداد الثلاثية الفيثاغورية "، أي الأعداد الصحيحة.${\displaystyle (a,b,c)}$بحيث${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. إن عدد الثلاثيات كبير جدًا وكبير جدًا بحيث لا يمكن الحصول عليها بالقوة الغاشمة.

كُتب الكثير حول هذا الموضوع، بما في ذلك بعض التكهنات (التي قد تكون غير متناسبة مع العصر) حول ما إذا كان اللوح قد استُخدم كجدول حساب مثلثي مبكر. يجب توخي الحذر عند النظر إلى اللوح من منظور الأساليب المألوفة أو المتاحة للكتبة في ذلك الوقت.

[...] لا يشترط أن تكون إجابة السؤال "كيف تم حساب اللوح؟" مطابقة لإجابة السؤال "ما هي المسائل التي يطرحها اللوح؟". يمكن الإجابة على السؤال الأول بشكل مُرضٍ للغاية باستخدام الأزواج المتبادلة، كما اقتُرح لأول مرة منذ نصف قرن، وعلى السؤال الثاني باستخدام نوع من مسائل المثلث القائم الزاوية. ^{[ 19 ]}

كان البابليون على دراية بالقواعد الشائعة لقياس الأحجام والمساحات. فقد قاسوا محيط الدائرة بثلاثة أضعاف قطرها، ومساحتها بجزء من اثني عشر جزءًا من مربع المحيط، وهو ما يُعد صحيحًا إذا قُدِّرَت قيمة π بـ 3. كانوا يدركون أن هذا تقريب، وقد أعطت لوحة رياضية بابلية قديمة، عُثِر عليها بالقرب من سوسة عام 1936 (يعود تاريخها إلى ما بين القرنين التاسع عشر والسابع عشر قبل الميلاد)، تقريبًا أفضل لقيمة π وهو 25/8 = 3.125، أي أقل بنحو 0.5% من القيمة الدقيقة. ^{[ 20 ]} كان حجم الأسطوانة يُحسب بضرب القاعدة في الارتفاع، بينما كان حجم المخروط الناقص أو الهرم المربع يُحسب خطأً بضرب الارتفاع في نصف مجموع القاعدتين. كما كان البابليون على دراية بقاعدة فيثاغورس. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

كان "الميل البابلي" وحدة قياس للمسافة تعادل حوالي 11.3  كيلومترًا (أو حوالي سبعة أميال حديثة). وقد تم تحويل هذه الوحدة لاحقًا إلى "ميل زمني" يُستخدم لقياس مسار الشمس، وبالتالي، فهو يمثل الزمن. ^{[ 24 ]}

احتفظ علماء الفلك البابليون بسجلات مفصلة لشروق وغروب النجوم ، وحركة الكواكب ، وخسوف الشمس وخسوف القمر ، وكل ذلك تطلب معرفة المسافات الزاوية المقاسة على الكرة السماوية . ^{[ 25 ]}

كما استخدموا شكلاً من أشكال تحليل فورييه لحساب جدول فلكي (جدول المواقع الفلكية)، والذي اكتشفه أوتو نويغباور في خمسينيات القرن العشرين . ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]} ولإجراء حسابات حركات الأجرام السماوية، استخدم البابليون الحساب الأساسي ونظام إحداثيات يعتمد على دائرة البروج ، وهي الجزء من السماء الذي تتحرك فيه الشمس والكواكب.

تُقدّم الألواح المحفوظة في المتحف البريطاني دليلاً على أن البابليين كانوا يمتلكون مفهومًا للأشياء في فضاء رياضي مجرد. يعود تاريخ هذه الألواح إلى ما بين 350 و50 قبل الميلاد، ما يكشف أن البابليين فهموا الهندسة واستخدموها في وقت أبكر مما كان يُعتقد سابقًا. استخدم البابليون طريقة لتقدير المساحة تحت منحنى ما برسم شبه منحرف أسفله، وهي تقنية كان يُعتقد سابقًا أنها نشأت في أوروبا في القرن الرابع عشر. سمحت لهم هذه الطريقة، على سبيل المثال، بحساب المسافة التي قطعها كوكب المشتري في فترة زمنية محددة. ^{[ 30 ]}