مسارات تقسيم الأرض

لتحديد مستوى القطع، حدد أي نقطة ثالثة${\displaystyle R_{0}}$ليس على الخط من${\displaystyle R_{1}}$ل${\displaystyle R_{2}}$اختيار${\displaystyle R_{0}}$أن يكون على السطح عموديًا عند${\displaystyle P_{1}}$سيحدد القسم العادي عند${\displaystyle P_{1}}$. لو${\displaystyle R_{0}}$إذا كانت نقطة الأصل هي نقطة الأرض، فإن مقطع الأرض هو القطع الناقص العظيم. (ستكون نقطة الأصل على خط مستقيم واحد مع نقطتين متقابلتين، لذا يجب استخدام نقطة مختلفة في هذه الحالة). بما أن هناك عددًا لا نهائيًا من الخيارات لـ${\displaystyle R_{0}}$المسألة المذكورة أعلاه هي في الواقع فئة من المسائل (مسألة لكل مستوى). لنفترض${\displaystyle R_{0}}$لنفترض أن لدينا معطى. لوضع معادلة المستوى في الصورة القياسية،${\displaystyle lx+my+nz=d}$، أين${\displaystyle l^{2}+m^{2}+n^{2}=1}$، يتطلب مكونات متجه الوحدة ،${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =(l,m,n)}$، عمودي على مستوى المقطع. يمكن حساب هذه المكونات كما يلي: المتجه من${\displaystyle R_{0}}$ل${\displaystyle R_{1}}$يكون${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {R_{1}} -\mathbf {R_{0}} }$والمتجه من${\displaystyle R_{1}}$ل${\displaystyle R_{2}}$يكون${\displaystyle \mathbf {V_{1}} =\mathbf {R_{2}} -\mathbf {R_{1}} }$. لذلك،${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {V_{1}} )}$)، أين${\displaystyle \mathrm {unit} (\mathbf {V} )}$هو متجه الوحدة في اتجاه${\displaystyle \mathbf {V} }$. اصطلاح التوجيه المستخدم هنا هو أن${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} }$تشير إلى يسار المسار. إذا لم يكن الأمر كذلك، فأعد تعريفها.${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =-\mathbf {V_{0}} }$وأخيرًا، يمكن حساب المعامل d للمستوى باستخدام الضرب النقطي لـ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} }$بمتجه من نقطة الأصل إلى أي نقطة على المستوى، مثل${\displaystyle R_{1}}$، أي${\displaystyle d=\mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R_{1}} }$وبالتالي، فإن معادلة المستوى (في الصورة المتجهة) هي${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R} =d}$، أين${\displaystyle \mathbf {R} }$هو متجه الموضع لـ${\displaystyle (x,y,z)}$.

يكشف فحص تحويل ENU إلى ECEF أن إحداثيات ECEF لمتجه وحدة يشير إلى الشرق عند أي نقطة على القطع الناقص هي:${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} =(-\sin \lambda ,\cos \lambda ,0)}$متجه الوحدة الذي يشير إلى الشمال هو${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =(-\sin \phi \cos \lambda ,-\sin \phi \sin \lambda ,\cos \phi )}$والمتجه الوحدوي الذي يشير إلى الأعلى هو${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} =(\cos \phi \cos \lambda ,\cos \phi \sin \lambda ,\sin \phi )}$المتجه المماس للمسار هو: ${\displaystyle \mathbf {t} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {\hat {u}} }$إذن، الجزء الشرقي من${\displaystyle \mathbf {t} }$يكون${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {e}} }$والمكون الشمالي هو${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {n}} }$لذلك، يمكن الحصول على السمت من دالة الظل العكسي ذات الوسيطين .${\displaystyle \alpha =\operatorname {atan2} (\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {e}} ,\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {n}} )}$استخدم هذه الطريقة في كليهما${\displaystyle P_{1}}$و${\displaystyle P_{2}}$للحصول على${\displaystyle \alpha _{1}}$و${\displaystyle \alpha _{2}}$.

إن تقاطع المستوى مع القطع الناقص (وهو تقاطع غير بديهي) ينتج عنه قطع ناقص. لذلك، فإن طول القوس،${\displaystyle s_{12}}$، على مسار القسم من${\displaystyle P_{1}}$ل${\displaystyle P_{2}}$هو تكامل إهليلجي يمكن حسابه بدقة مطلوبة باستخدام متسلسلة مقطوعة أو تكامل عددي . قبل ذلك، يجب تعريف القطع الناقص وحساب حدود التكامل. ليكن القطع الناقص معطى بالعلاقة التالية:${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1}$ودع${\displaystyle p={\sqrt {l^{2}+m^{2}}}}$. لو${\displaystyle p=0}$إذن، المقطع عبارة عن دائرة أفقية نصف قطرها${\textstyle a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{b^{2}}}}}}$والتي ليس لها حل إذا${\displaystyle |d|>b}$.

لو${\displaystyle p>0}$ثم أظهر جيلبرتسون ^{[ 1 ]} أن إحداثيات ECEF لمركز القطع الناقص هي${\textstyle {R_{c}}={\frac {d}{C}}(la^{2},ma^{2},nb^{2})}$، أين${\displaystyle C=a^{2}p^{2}+b^{2}n^{2}}$،

المحور شبه الرئيسي هو${\textstyle a^{*}=a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{C}}}}}$، في الاتجاه${\textstyle \mathbf {{\hat {i}}^{*}} =\left({\frac {m}{p}},{\frac {-l}{p}},0\right)}$والمحور شبه الأصغر هو${\textstyle b^{*}={\frac {b}{\sqrt {C}}}a^{*}}$، في الاتجاه${\textstyle \mathbf {{\hat {j}}^{*}} =\left({\frac {ln}{p}},{\frac {mn}{p}},-p\right)}$والتي ليس لها حل إذا${\displaystyle |d|>{\sqrt {C}}}$.

تُقدّم الورقة البحثية المشار إليها أعلاه اشتقاقًا لصيغة طول القوس التي تتضمن الزاوية المركزية وقوى${\displaystyle e^{2}}$لحساب طول القوس بدقة تصل إلى المليمتر، حيث${\textstyle e^{2}=1-\left({\frac {b^{*}}{a^{*}}}\right)^{2}}$يمكن إعادة ترتيب صيغة طول القوس هذه ووضعها في الشكل التالي: ${\displaystyle s_{12}=s(\theta _{2})-s(\theta _{1})}$، أين ${\displaystyle s(\theta )=b^{*}({C_{0}}\theta +{C_{2}}\sin(2\theta )+{C_{4}}\sin(4\theta )+{C_{6}}\sin(6\theta ))}$والمعاملات هي

${\displaystyle C_{0}=1.0+e^{2}(1/4+13e^{2}/64+45e^{4}/256+2577e^{6}/16384)}$

${\displaystyle C_{2}=e^{2}(1/8+3e^{2}/32+95e^{4}/1024+385e^{6}/4096)}$

${\displaystyle C_{4}=-e^{4}(1/256+5e^{2}/1024+19e^{4}/16384)}$

${\displaystyle C_{6}=-e^{6}(15/3072+35e^{2}/4096)}$

لحساب الزاوية المركزية، دع${\displaystyle P}$أي نقطة على القطع الناقص و${\displaystyle R=\mathrm {ECEF} (P)}$. ثم${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} -\mathbf {R_{c}} }$هو متجه من مركز القطع الناقص إلى النقطة. الزاوية المركزية${\displaystyle \theta }$هي الزاوية من المحور شبه الرئيسي إلى${\displaystyle \mathbf {V} }$تأجير${\displaystyle \mathbf {\hat {V}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V} )}$لدينا${\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {j}}^{*}} ,\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {i}}^{*}} )}$وبهذه الطريقة نحصل على${\displaystyle \theta _{1}}$و${\displaystyle \theta _{2}}$.

من ناحية أخرى، من الممكن استخدام صيغ قوس خط الزوال في الحالة الأكثر عمومية بشرط استخدام معلمات القطع الناقص بدلاً من معلمات الشكل الكروي. إحدى هذه المتسلسلات سريعة التقارب معطاة في المتسلسلات بدلالة خط العرض البارامتري . إذا استخدمنا${\displaystyle \varepsilon }$للدلالة على انحراف الشكل الكروي، أي${\textstyle \varepsilon ^{2}=1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}$، ثم${\displaystyle e^{8}}$≤${\displaystyle \varepsilon ^{8}}$≅1.8 × 10⁻⁹ . وبالمثل ^، فإن التسطح الثالث للقطع الناقص محدود بالقيمة المقابلة للشكل الكروي، وبالنسبة للشكل الكروي لدينا${\displaystyle n^{3}}$≅4.4 × 10⁻⁹ ^، و${\displaystyle n^{4}}$≅7.3 × 10⁻¹² . لذلك ^، قد يكفي تجاهل الحدود التي تتجاوز${\displaystyle B_{6}}$في سلسلة خطوط العرض البارامترية. للتطبيق${\textstyle s(\beta )={\frac {a^{*}+b^{*}}{2}}(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta )}$يتطلب السياق الحالي تحويل الزاوية المركزية إلى الزاوية البارامترية باستخدام${\displaystyle \beta =\tan ^{-1}\left(\tan \theta /((1-f)\right)}$وباستخدام تقنية التسطيح الثالث للقطع الناقص. أيًا كانت الطريقة المستخدمة، يجب توخي الحذر عند استخدامها.${\displaystyle \theta _{1}}$و${\displaystyle \theta _{2}}$أو${\displaystyle \beta _{1}}$و${\displaystyle \beta _{2}}$لضمان استخدام القوس الأقصر الذي يربط النقطتين.

يعتمد حل هذه المشكلة على اختيار${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$أي على نوع القسم. لاحظ ذلك${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$يجب ألا يكون داخل span{${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1},\mathbf {{\hat {e}}_{1}} }$} (وإلا ستكون الطائرة مماسية للأرض عند${\displaystyle {P_{1}}}$(لذا لن ينتج أي مسار). بعد اتخاذ هذا الخيار، وبالنظر إلى التوجيه، اتبع الخطوات التالية. أنشئ متجه المماس عند${\displaystyle {P_{1}}}$،${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{1}=\mathbf {\hat {n}} _{1}\cos {\alpha _{1}}+\mathbf {{\hat {e}}_{1}} \sin {\alpha _{1}}}$، أين${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1}}$و${\displaystyle \mathbf {{\hat {e}}_{1}} }$هي متجهات وحدة تشير إلى الشمال والشرق (على التوالي) عند${\displaystyle {P_{1}}}$المتجه العمودي${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {\hat {t}} _{1}}$)، بالإضافة إلى${\displaystyle \mathbf {P_{1}} }$يُحدد المستوى. بعبارة أخرى، يحل المماس محل الوتر لأن الوجهة غير معروفة.

هذه مسألة ثنائية الأبعاد في الفضاء الممتد {${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ^{*},\mathbf {\hat {j}} ^{*}}$، والتي سيتم حلها باستخدام صيغة طول القوس المذكورة أعلاه. إذا كان طول القوس،${\displaystyle s_{12}}$إذا كانت المعطيات معطى، فإن المسألة تكمن في إيجاد التغير المقابل في الزاوية المركزية ${\displaystyle \theta _{12}}$، لهذا السبب${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{1}+\theta _{12}}$ويمكن حساب الموضع. بافتراض أن لدينا متسلسلة تعطي${\displaystyle s=s(\theta )}$إذن ما نسعى إليه الآن هو${\displaystyle \theta _{2}=s^{-1}(s_{1}+s_{12})}$يمكن إيجاد معكوس متسلسلة طول قوس الزاوية المركزية المذكورة أعلاه في الصفحة 8أ من كتاب راب، المجلد 1، ^{[ 2 ]} الذي ينسب الفضل فيه إلى غانشين. ^{[ 3 ]} وثمة بديل لاستخدام المتسلسلة المعكوسة وهو استخدام طريقة نيوتن للتقريبات المتتالية لـ${\displaystyle \theta _{12}}$تُقدّم مسألة خط الزوال العكسي للقطع الناقص معكوس متسلسلة أطوال أقواس بيسل بدلالة الزاوية البارامترية. قبل استخدام المتسلسلة العكسية، يجب استخدام متسلسلة الزاوية البارامترية لحساب طول القوس من نصف المحور الأكبر إلى${\displaystyle P_{1}}$،${\textstyle s_{1}=s(\beta _{1})={\frac {a^{*}+b^{*}}{2}}(B_{0}\beta _{1}+B_{2}\sin 2\beta _{1}+B_{4}\sin 4\beta _{1}+B_{6}\sin 6\beta _{1})}$. مرة واحدة${\displaystyle s_{1}}$من المعروف أنه يمكن تطبيق الصيغة العكسية للحصول على${\displaystyle \beta _{2}=\beta (s_{1}+s_{12})=\mu _{2}+B'_{2}\sin 2\mu _{2}+B'_{4}\sin 4\mu _{2}+B'_{6}\sin 6\mu _{2}}$، أين${\displaystyle \mu _{2}=2(s_{1}+s_{12})/(B_{0}(a^{*}+b^{*}))}$الإحداثيات المستطيلة في مستوى المقطع هي${\displaystyle x_{2}=a^{*}\cos \beta _{2},y_{2}=b^{*}\sin \beta _{2}}$لذا، يمكن حساب متجه ECEF باستخدام${\displaystyle \mathbf {V_{2}} =\mathbf {R_{c}} +(x_{2}\mathbf {{\hat {i}}^{*}} +y_{2}\mathbf {{\hat {j}}^{*}} )}$وأخيرًا، احسب الإحداثيات الجغرافية عبر${\displaystyle P_{2}=\mathrm {Geo} (V_{2})}$باستخدام خوارزمية Bowring لعام 1985، ^{[ 4 ]} أو الخوارزمية الموجودة هنا .

يمكن الحصول على السمت بنفس طريقة حل المسألة غير المباشرة:${\displaystyle \mathbf {t_{2}} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {{\hat {u}}_{2}} }$و${\displaystyle {\alpha _{2}}=\operatorname {atan2} (\mathbf {t_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{2}} ,\mathbf {t_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {n}}_{2}} )}$.

القطع الناقص العظيم هو المنحنى الناتج عن تقاطع القطع الناقص مع مستوى يمر بمركزه. لذلك، لاستخدام الطريقة المذكورة أعلاه، ما عليك سوى أن${\displaystyle R_{0}}$يكون الأصل، بحيث${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {R_{1}} }$(متجه الموضع لـ${\displaystyle R_{1}}$تتجنب هذه الطريقة الصيغ المعقدة، والتي قد تكون غامضة أحيانًا، لحساب المثلثات الكروية ، وتوفر بديلًا لصيغ بورينغ. ^{[ 5 ]} يُعرف أقصر مسار بين نقطتين على سطح كروي بالمسار الجيوديسي. تُشتق هذه المسارات باستخدام الهندسة التفاضلية . خط الاستواء وخطوط الطول هي أشكال بيضاوية كبيرة تُعتبر أيضًا مسارات جيوديسية ^{[ أ ]} . يبلغ أقصى فرق في الطول بين شكل بيضاوي كبير والمسار الجيوديسي المقابل له، والذي يبلغ طوله 5000 ميل بحري، حوالي 10.5 متر. قد يصل الانحراف الجانبي بينهما إلى 3.7 ميل بحري. يكون المقطع العمودي الذي يربط النقطتين أقرب إلى المسار الجيوديسي منه إلى الشكل البيضاوي الكبير، إلا إذا لامس المسار خط الاستواء.

على سطح الإهليلج WGS84 ، النتائج الخاصة بالقوس الإهليلجي الكبير من نيويورك،${\displaystyle \phi _{1}}$= 40.64130°،${\displaystyle \lambda _{1}}$= -73.77810° إلى باريس،${\displaystyle \phi _{2}}$= 49.00970°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= 2.54800° هي:

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53.596810°،${\displaystyle \alpha _{2}}$= 111.537138° و${\displaystyle s_{12}}$= 5849159.753 (م) = 3158.293603 (نانومتر). الأرقام المقابلة للخط الجيوديسي هي:

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53.511007°،${\displaystyle \alpha _{2}}$= 111.626714° و${\displaystyle s_{12}}$= 5849157.543 (م) = 3158.292410 (نانومتر).

لتوضيح اعتماد المسألة المباشرة على نوع المقطع، لنفترض أن سمت المغادرة ومسافة الرحلة هما نفس قيم المسار الجيوديسي المذكور أعلاه، ولنستخدم القطع الناقص الكبير لتعريف المسألة المباشرة. في هذه الحالة، تكون نقطة الوصول هي ${\displaystyle \phi _{2}}$= 49.073057°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= 2.586154°، أي ما يعادل 4.1 ميل بحري تقريبًا من نقطة الوصول في باريس المحددة أعلاه. وبالطبع، باستخدام سمت المغادرة والمسافة من القطع الناقص الكبير في المسألة غير المباشرة، سيتم تحديد موقع الوجهة بدقة.${\displaystyle \phi _{2}}$= 49.00970°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= 2.54800°، وسمت الوصول${\displaystyle \alpha _{2}}$= 111.537138°.

قسم عادي في${\displaystyle P_{1}}$يتم تحديده عن طريق السماح${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {\hat {u}} _{1}}$(العمودي على السطح عند${\displaystyle P_{1}}$ينتج مقطع عمودي آخر، يُعرف باسم المقطع العمودي المتبادل، من استخدام العمودي على السطح عند${\displaystyle P_{2}}$ما لم تقع النقطتان على نفس خط العرض أو خط الطول، فإن المقطع العمودي المتبادل سيمثل مسارًا مختلفًا عن المقطع العمودي الأصلي. يوفر هذا النهج بديلًا لنهج آخرين، مثل نهج بورينغ. ^{[ 7 ]} وقد تناول بحث ديكين وشيبارد وروس أهمية المقاطع العمودية في المسح، بالإضافة إلى مناقشة معنى مصطلح "الخط" في هذا السياق. ^{[ 8 ]}

على سطح القطع الناقص WGS84، نتائج المقطع الطبيعي من نيويورك،${\displaystyle \phi _{1}}$= 40.64130°،${\displaystyle \lambda _{1}}$= -73.77810° إلى باريس،${\displaystyle \phi _{2}}$= 49.00970°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= 2.54800° هي:

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53.521396°،${\displaystyle \alpha _{2}}$= 111.612516° و${\displaystyle s_{12}}$= 5849157.595 (م) = 3158.292438 (نانومتر). نتائج المقطع العمودي المقلوب من باريس إلى نيويورك هي:

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53.509422°،${\displaystyle \alpha _{2}}$= 111.624483° و${\displaystyle s_{12}}$= 5849157.545 (م) = 3158.292411 (ميل بحري). [※ هذا خطأ. بالنسبة للمقطع العادي المقلوب، تقع نقطة الانطلاق، باريس، شرق نقطة الوصول، نيويورك. لذلك، يجب أن يتجاوز السمت 180 درجة، وبالتالي فإن سمت الانطلاق البالغ 53.509422 درجة وسمت الوصول البالغ 111.624483 درجة خطأ. يجب أن يكون سمت نقطة الانطلاق 291.624483 درجة، على الرغم من أن المسافة صحيحة]. يبلغ أقصى فرق في الطول بين المقطع العادي والمسار الجيوديسي المقابل الذي يبلغ طوله 5000 ميل بحري حوالي 6.0 أمتار. قد يصل الانحراف الجانبي بينهما إلى 2.8 ميل بحري.

لتوضيح اعتماد المسألة المباشرة على نوع المقطع، لنفترض أن سمت المغادرة ومسافة الرحلة هما نفس قيم الجيوديسية المذكورة أعلاه، ولنستخدم متجه السطح العمودي عند NY لتعريف المسألة المباشرة. في هذه الحالة، تكون نقطة الوصول هي ${\displaystyle \phi _{2}}$= 49.017378°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= 2.552626°، أي ما يقارب نصف ميل بحري من نقطة الوصول المحددة أعلاه. بالطبع، باستخدام سمت المغادرة والمسافة من المقطع العمودي، ستحدد المسألة غير المباشرة موقع الوجهة في باريس بدقة. من المفترض استخدام المسألة المباشرة عندما تكون نقطة الوصول غير معروفة، ومع ذلك، من الممكن استخدام أي متجه.${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$يُرضي المرء. على سبيل المثال، باستخدام متجه السطح العمودي في باريس،${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} _{2}}$، مما ينتج عنه نقطة وصول${\displaystyle \phi _{2}}$= 49.007778°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= 2.546842°، أي ما يعادل 1/8 ميل بحري تقريبًا من نقطة الوصول المحددة أعلاه. باستخدام العمودي على السطح في ريكيافيك (مع الاستمرار في استخدام سمت المغادرة ومسافة الرحلة للخط الجيوديسي إلى باريس)، ستصل إلى مسافة 347 ميلًا بحريًا تقريبًا من باريس، بينما يجعلك العمودي في زيورخ على مسافة 5.5 ميلًا بحريًا.

أدى البحث عن مقطع أقرب إلى الخط الجيوديسي إلى المثالين التاليين.

المقطع الطبيعي المتوسط ​​من${\displaystyle P_{1}}$ل${\displaystyle P_{2}}$يتم تحديده عن طريق السماح${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =0.5(\mathbf {\hat {u}} _{1}+\mathbf {\hat {u}} _{2})}$هذا تقريب جيد للخط الجيوديسي من${\displaystyle P_{1}}$ل${\displaystyle P_{2}}$في مجال الطيران أو الإبحار، يبلغ أقصى فرق في الطول بين المقطع العمودي المتوسط ​​والمسار الجيوديسي المقابل له، والذي يبلغ طوله 5000 ميل بحري، حوالي 0.5 متر. أما الانحراف الجانبي بينهما فلا يتجاوز 0.8 ميل بحري. بالنسبة للمسارات التي يبلغ طولها 1000 ميل بحري، يكون خطأ الطول أقل من مليمتر واحد، ويبلغ أسوأ انحراف جانبي حوالي 4.4 متر. وبمتابعة المثال من نيويورك إلى باريس على نظام الإحداثيات WGS84، نحصل على النتائج التالية للمقطع العمودي المتوسط:

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53.515409°،${\displaystyle \alpha _{2}}$= 111.618500° و${\displaystyle s_{12}}$= 5849157.560 (م) = 3158.292419 (نانومتر).

المقطع العمودي لنقطة المنتصف من${\displaystyle P_{1}}$ل${\displaystyle P_{2}}$يتم تحديده عن طريق السماح${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$= العمودي على السطح عند نقطة منتصف الخط الجيوديسي من${\displaystyle P_{1}}$ل${\displaystyle P_{2}}$هذا المسار أقرب قليلاً إلى الخط الجيوديسي من المقطع العمودي المتوسط. يبلغ أقصى فرق في الطول بين المقطع العمودي عند نقطة المنتصف والخط الجيوديسي المقابل له، والذي يبلغ طوله 5000 ميل بحري، حوالي 0.3 متر. أما أسوأ انحراف جانبي بينهما فيبلغ حوالي 0.3 ميل بحري.

إنهاء المثال من نيويورك إلى باريس على نظام WGS84 يعطي النتائج التالية للقسم العمودي لنقطة المنتصف الجيوديسية: ${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53.506207°،${\displaystyle \alpha _{2}}$= 111.627697° و${\displaystyle s_{12}}$= 5849157.545 (م) = 3158.292411 (نانومتر).

تم تحديد جميع مسارات المقاطع المستخدمة في المخططات على اليمين باستخدام الطريقة غير المباشرة المذكورة أعلاه. في المخططين الثالث والرابع، تم تحديد نقطة النهاية باستخدام الخوارزمية المباشرة للخط الجيوديسي بالمسافة المعطاة والسمت الابتدائي. على كل خط جيوديسي، تم اختيار بعض النقاط، وتحديد أقرب نقطة على مستوى المقطع باستخدام إسقاط المتجهات ، وحساب المسافة بين النقطتين. تُعرف هذه المسافة بالانحراف الجانبي عن الخط الجيوديسي، أو باختصار الانحراف الجيوديسي، وهي معروضة في المخططات على اليمين. إن إيجاد النقطة المقابلة على مسار المقطع وحساب المسافات الجيوديسية سيؤدي إلى نتائج مختلفة قليلاً.

يُعدّ الرسم البياني الأول نموذجياً لحالات خطوط العرض المتوسطة حيث يُمثّل القطع الناقص الكبير حالةً شاذة. ويُعتبر المقطع الطبيعي المرتبط بأبعد نقطة عن خط الاستواء خياراً مناسباً لهذه الحالات.

المثال الثاني أطول وهو نموذجي لحالات عبور خط الاستواء، حيث يتجاوز القطع الناقص الكبير المقاطع العادية. ومع ذلك، ينحرف المقطعان العاديان على جانبين متقابلين من الخط الجيوديسي، مما يجعل المقطع العادي المتوسط ​​خيارًا مناسبًا هنا.

يوضح الرسم البياني الثالث كيف تتغير الانحرافات الجيوديسية بتغير السمت الجيوديسي الأولي انطلاقًا من خط عرض 20 درجة شمالًا. يبلغ أسوأ انحراف في المقاطع العادية التي يبلغ طولها 5000 ميل بحري حوالي 2.8 ميل بحري، ويحدث عند سمت جيوديسي أولي قدره 132 درجة من خط عرض 18 درجة شمالًا (48 درجة جنوبًا).

يُظهر المخطط الرابع شكل المخطط الثالث عند الابتعاد عن خط الاستواء. عند خط الاستواء، تزداد التناظرات نظرًا لأن المقاطع عند سمتي 90° و270° هي أيضًا خطوط جيوديسية. ونتيجةً لذلك، يُظهر المخطط الرابع 7 خطوط متميزة فقط من أصل 24 خطًا، تفصل بينها مسافة 15 درجة. تحديدًا، تتطابق الخطوط عند سمتي 15 و75 و195 و255، وكذلك الخطوط عند سمتي 105 و165 و285 و345 على الجانب الآخر باعتبارها الأقرب (باستثناء الخطوط الجيوديسية). أما الخطوط المتطابقة التالية الأبعد عن الخطوط الجيوديسية الأربعة، فتقع عند سمتي 30 و60 و210 و240 على جانب، وعند سمتي 120 و150 و300 و330 على الجانب الآخر. تقع الخطوط الخارجية عند سمت 45 و225 على جانب، و135 و315 على الجانب الآخر. ومع تحرك نقطة الانطلاق شمالًا، لم تعد الخطوط عند سمت 90 و270 خطوطًا جيوديسية، وتتباعد الخطوط المتطابقة الأخرى وتنتشر حتى خط عرض 18 درجة، حيث يبلغ الانحراف أقصى حد له. بعد هذه النقطة، تتقلص الانحرافات على شكل مروحة يابانية مع تقدم نقطة البداية شمالًا. وبذلك، عند خط عرض 84 درجة، يبلغ أقصى انحراف للمقاطع العادية حوالي 0.25 ميل بحري.

يُعد المقطع الطبيعي عند نقطة المنتصف خيارًا جيدًا دائمًا (تقريبًا).

حدد نقطة تقاطع مقطع من نيويورك إلى باريس مع خط غرينتش. يمكن وصف مستوى خط غرينتش بالصيغة التالية:${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =(0,1,0)}$و${\displaystyle d=0}$والنتائج هي كالتالي:

أقصى (أو أدنى) خط عرض هو النقطة التي يتقاطع فيها القطع الناقص مع خط عرضي في نقطة واحدة. ولإعداد المسألة، لنفترض ${\displaystyle \mathbf {{\hat {N}}_{1}} =(l,m,n)}$،${\displaystyle d_{1}=d}$ ليكن المقطع المعطى هو المستوى. الموازي هو ${\displaystyle \mathbf {{\hat {N}}_{2}} =(0,0,1)}$،${\displaystyle d_{2}=z_{0}}$، أين${\displaystyle z_{0}}$يجب تحديدها بحيث تكون هناك نقطة تقاطع واحدة فقط. تطبيق طريقة التقاطع المذكورة أعلاه ينتج عنه${\displaystyle \mathbf {N_{3}} =\mathbf {\hat {N}} _{1}\times \mathbf {\hat {N}} _{2}=(m,-l,0)}$، ${\displaystyle {\mathbf {\hat {N}} _{1}}\cdot {\mathbf {\hat {N}} _{2}}=n}$، ${\textstyle C_{1}={\frac {1}{p^{2}}}(d-nz_{0})}$، و${\textstyle C_{2}={\frac {1}{p^{2}}}(z_{0}-nd)}$، منذ${\displaystyle 1-n^{2}=l^{2}+m^{2}=p^{2}}$تصبح المعادلات الخطية الناتجة${\displaystyle x=x_{0}+tm}$،${\displaystyle y=y_{0}-tl}$، و${\displaystyle z=z_{0}}$، أين ${\displaystyle x_{0}=C_{1}l}$،${\displaystyle y_{0}=C_{1}m}$، و${\displaystyle z_{0}}$سيتم تحديدها. معاملات المعادلة التربيعية الناتجة هي ${\displaystyle A=m^{2}+l^{2}=p^{2}}$، ${\displaystyle B=mx_{0}-ly_{0}=lmC_{1}-lmC_{1}=0}$، ${\displaystyle C=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}=p^{2}C_{1}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}={\frac {1}{p^{2}}}(d-nz_{0})^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}}$لذلك، سينتج عن التقاطع حل واحد فقط إذا${\displaystyle B^{2}=AC}$لكن منذ ذلك الحين${\displaystyle B=0}$و${\displaystyle A>0}$^{[ ب ]} ، تصبح المعادلة الحرجة${\displaystyle C=0}$يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة ووضعها في الشكل التالي:${\displaystyle Ez_{0}^{2}-2Fz_{0}+G=0}$، أين ${\displaystyle E={\frac {a^{2}}{b^{2}}}p^{2}+n^{2}}$، ${\displaystyle F=nd}$، و ${\displaystyle G=d^{2}-a^{2}p^{2}}$. لذلك،${\textstyle z_{0}={\frac {F\pm {\sqrt {{F}^{2}-EG}}}{E}}}$يُحدد هذا المقياس المسافة من نقطة الأصل إلى المستويات المتوازية المطلوبة. التعويض${\displaystyle z_{0}}$داخل${\displaystyle C_{1}}$يعطي القيم لـ${\displaystyle x_{0}}$و${\displaystyle y_{0}}$تذكر أن${\displaystyle t=-B/A=0}$لذا${\displaystyle x=x_{0}}$،${\displaystyle y=y_{0}}$تمثل هذه الإحداثيات المتبقية للتقاطعات. ويمكن بعد ذلك حساب الإحداثيات الجغرافية باستخدام تحويل ECEF_to_Geo.

يمكن تطبيق الطريقة نفسها على خطوط الطول لإيجاد أقصى خطوط الطول، لكن النتائج يصعب تفسيرها نظرًا لطبيعة خطوط الطول المعيارية. ومع ذلك، يمكن دائمًا التحقق من النتائج باستخدام المنهجية التالية.

يتمثل النهج الأبسط في حساب نقاط نهاية المحورين الأصغر والأكبر للقطع الناقص باستخدام${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm b^{*}\mathbf {\hat {j}} ^{*}}$، و ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm a^{*}\mathbf {\hat {i}} ^{*}}$ثم تحويلها إلى إحداثيات جغرافية. ومن الجدير بالذكر هنا أن خط تقاطع مستويين يتكون من مجموعة النقاط الثابتة، ومن ثم محور الدوران، لدوران إحداثي يرسم أحد المستويين على الآخر.

بالنسبة للمثال من نيويورك إلى باريس، فإن النتائج هي:

قسم	نقطة المحور الثانوي 1	النقطة الثانية على المحور الثانوي	نقطة المحور الرئيسي 1	النقطة الثانية من المحور الرئيسي
الإهليلج العظيم	${\displaystyle \phi _{1}}$= 52.418061°،${\displaystyle \lambda _{1}}$= -25.123079°	${\displaystyle \phi _{2}}$= -52.418061°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= 154.876921°	${\displaystyle \phi _{1}}$= 0.000000°،${\displaystyle \lambda _{1}}$= 64.876921°	${\displaystyle \phi _{2}}$= 0.000000°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= -115.123079°
طبيعي	${\displaystyle \phi _{1}}$= 52.433790°،${\displaystyle \lambda _{1}}$= -25.154863°	${\displaystyle \phi _{2}}$= -52.739188°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= 154.845137°	${\displaystyle \phi _{1}}$= -0.093365°،${\displaystyle \lambda _{1}}$= 64.723898°	${\displaystyle \phi _{2}}$= -0.093365°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= -115.033623°
متوسط ​​طبيعي	${\displaystyle \phi _{1}}$= 52.435039°،${\displaystyle \lambda _{1}}$= -25.157380°	${\displaystyle \phi _{2}}$= -52.764681°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= 154.842620°	${\displaystyle \phi _{1}}$= -0.100746°،${\displaystyle \lambda _{1}}$= 64.711732°	${\displaystyle \phi _{2}}$= -0.100746°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= -115.026491°
متبادل	${\displaystyle \phi _{1}}$= 52.436288°،${\displaystyle \lambda _{1}}$= -25.159896°	${\displaystyle \phi _{2}}$= -52.790172°,${\displaystyle \lambda _{2}}$= 154.840104°	${\displaystyle \phi _{1}}$= -0.108122°،${\displaystyle \lambda _{1}}$= 64.699565°	${\displaystyle \phi _{2}}$= -0.108122°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= -115.019357°
نقطة المنتصف	${\displaystyle \phi _{1}}$= 52.436959°،${\displaystyle \lambda _{1}}$= -25.161247°	${\displaystyle \phi _{2}}$= -52.803863°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= 154.838753°	${\displaystyle \phi _{1}}$= -0.112082°،${\displaystyle \lambda _{1}}$= 64.693029°	${\displaystyle \phi _{2}}$= -0.112082°،${\displaystyle \lambda _{2}}$= -115.015522°