معيار أيزنشتاين

في الرياضيات ، يقدم معيار أيزنشتاين شرطًا كافيًا لكثير الحدود ذي المعاملات الصحيحة ليكون غير قابل للاختزال على الأعداد النسبية - أي أنه لا يمكن تحليله إلى حاصل ضرب كثيرات حدود غير ثابتة ذات معاملات نسبية.

لا ينطبق هذا المعيار على جميع كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة غير القابلة للاختزال على مجموعة الأعداد النسبية، ولكنه يسمح في بعض الحالات المهمة بإثبات عدم قابلية الاختزال بجهد قليل جدًا. ويمكن تطبيقه إما مباشرةً أو بعد تحويل كثيرة الحدود الأصلية.

سُمّي هذا المعيار نسبةً إلى غوتهولد آيزنشتاين . وفي أوائل القرن العشرين، عُرف أيضاً باسم نظرية شونمان-آيزنشتاين، لأن تيودور شونمان كان أول من نشرها. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

لنفترض أن لدينا متعددة الحدود التالية ذات المعاملات الصحيحة : $${\displaystyle Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}.}$$

إذا وُجد عدد أولي p بحيث تنطبق عليه الشروط الثلاثة التالية:

• يقسم p كل a _i لـ 0 ≤ i < n ،
• لا يقسم p العدد n _، و
• لايقسم العدد p 2 ^العدد a ₀ ،

إذن، تكون Q غير قابلة للاختزال على مجموعة الأعداد النسبية. وستكون كذلك على مجموعة الأعداد الصحيحة، إلا إذا كان لجميع معاملاتها عامل مشترك غير تافه (وفي هذه الحالة، ستكون لـ Q ، كمتعددة حدود عددية صحيحة، عدد أولي، يختلف بالضرورة عن p ، كعامل غير قابل للاختزال). يمكن تجنب هذا الاحتمال الأخير بجعل Q أولية ، وذلك بقسمتها على القاسم المشترك الأكبر لمعاملاتها ( محتوى Q ) . لا تُغير هذه القسمة ما إذا كانت Q قابلة للاختزال أم لا على مجموعة الأعداد النسبية (انظر تحليل الجزء-المحتوى الأولي لمزيد من التفاصيل)، ولن تُبطل فرضيات معيار p (بل على العكس، قد تجعل المعيار صحيحًا لعدد أولي ما، حتى لو لم يكن كذلك قبل القسمة).

يمكن تطبيق معيار أيزنشتاين إما بشكل مباشر (أي باستخدام متعدد الحدود الأصلي) أو بعد تحويل متعدد الحدود الأصلي.

كان تيودور شونمان أول من نشر نسخة من المعيار، ^{[ 1 ]} في عام 1846 في مجلة كريل ، ^{[ 3 ]} والتي تُقرأ في الترجمة كما يلي

سيكون ( x − a ) ⁿ + pF ( x ) غير قابل للاختزال إلى المعيار p ² عندما لا يحتوي F ( x ) إلى المعيار p على عامل x − a .

تتضمن هذه الصيغة بالفعل إزاحةً إلى a بدلاً من 0 ؛ ويعني الشرط على F ( x ) أن F ( a ) لا يقبل القسمة على p ، وبالتالي فإن pF ( a ) يقبل القسمة على p ولكنه لا يقبل القسمة على p² ^{. وكما ذُكر ،} فهي ليست دقيقة تمامًا لأنها لا تفترض أي شيء عن درجة متعددة الحدود F ( x ) ، لذا فإن متعددة الحدود المدروسة لا يلزم أن تكون من الدرجة n التي يوحي بها تعبيرها؛ فالمثال x² + p ( x³ + 1) ≡ ( x² ⁺ p )( px + 1) mod p² ^{، يُظهر أن الاستنتاج غير صحيح بدون هذا الافتراض. ومع ذلك ،} بافتراض أن درجة F ( x ) لا تتجاوز n ، فإن المعيار صحيح، بل وأقوى نوعًا ما من الصيغة المذكورة أعلاه، لأنه إذا كانت ( x - a ) ^ⁿ + pF ( x ) غير قابلة للاختزال modulo p² ^، فمن المؤكد أنها لا يمكن تحليلها في Z [ x ] إلى عوامل غير ثابتة. 

لاحقًا، نشر آيزنشتاين نسخة مختلفة نوعًا ما عام 1850، أيضًا في مجلة كريل. ^{[ 4 ]} هذه النسخة تُقرأ في الترجمة

عندما يكون معامل الحد الأعلى في كثيرة الحدود F ( x ) في x من أي درجة يساوي 1 ، وجميع المعاملات اللاحقة أعداد صحيحة (حقيقية أو مركبة) تقسمها قيمة أولية معينة (حقيقية أو مركبة) m ، وعندما يكون المعامل الأخير مساويًا لـ εm ، حيث ε عدد لا يقبل القسمة على m : فإنه يستحيل تحويل F ( x ) إلى الشكل التالي:$${\displaystyle \left(x^{\mu }+a_{1}x^{\mu -1}+\cdots +a_{\mu }\right)\left(x^{\nu }+b_{1}x^{\nu -1}+\cdots +b_{\nu }\right)}$$حيث μ و ν ≥ 1 و μ + ν = deg( F ( x )) ، وجميع a و b أعداد صحيحة ( حقيقية أو مركبة)؛ وبالتالي فإن المعادلة F ( x ) = 0 غير قابلة للاختزال.

هنا، تُشير "الأعداد الحقيقية الكاملة" إلى الأعداد الصحيحة العادية ، بينما تُشير " الأعداد المركبة الكاملة " إلى الأعداد الصحيحة الغاوسية ؛ وينبغي تفسير "الأعداد الأولية الحقيقية والمركبة" بالمثل. وقد طوّر أيزنشتاين معياره من أجل إثبات عدم قابلية اختزال بعض كثيرات الحدود ذات المعاملات في الأعداد الصحيحة الغاوسية، والتي تظهر في دراسة تقسيم منحنى ليمنيسكات إلى أجزاء متساوية الطول.

من اللافت للنظر أن شونمان وإيزنشتاين، بعد صياغة معاييرهما الخاصة بعدم الاختزال، طبقاها مباشرةً لتقديم برهانٍ أولي على عدم اختزال كثيرات الحدود الدائرية للأعداد الأولية، وهي نتيجةٌ توصل إليها غاوس في كتابه " Disquisitiones Arithmeticae " ببرهانٍ أكثر تعقيدًا. في الواقع، يُضيف إيزنشتاين في حاشيةٍ أن البرهان الوحيد المعروف لديه على عدم الاختزال هذا، بخلاف برهان غاوس، هو برهانٌ قدمه كرونكر عام ١٨٤٥. يُشير هذا إلى أنه لم يكن على درايةٍ بالبرهانين المختلفين اللذين قدمهما شونمان في مقالته عام ١٨٤٦، حيث استند البرهان الثاني إلى المعيار المذكور آنفًا. ويزداد الأمر غرابةً بالنظر إلى أن إيزنشتاين، بعد صفحتين، يُشير (لموضوعٍ آخر) إلى الجزء الأول من مقالة شونمان. في ملاحظة ("Notiz") التي ظهرت في العدد التالي من المجلة، ^{[ 5 ]} يشير شونمان إلى هذا الأمر لأيزنشتاين، ويشير إلى أن طريقة الأخير لا تختلف جوهريًا عن تلك التي استخدمها في البرهان الثاني.

لإثبات صحة المعيار، لنفترض أن Q تحقق معيار العدد الأولي p ، ولكنها مع ذلك قابلة للاختزال في Q [ x ] ، ومن هنا نريد الوصول إلى تناقض. من خلال مبرهنة جاوس، يتبين أن Q قابلة للاختزال في Z [ x ] أيضًا، ويمكن كتابتها في الواقع كحاصل ضرب Q = GH لكثيرتي حدود غير ثابتتين G و H (في حالة كون Q غير أولية، نطبق المبرهنة على كثيرة الحدود الأولية Q / c (حيث c هو محتوى Q ) للحصول على تحليل لها، ونضرب c في أحد العوامل للحصول على تحليل لـ Q ). الآن، نختزل Q = GH modulo p للحصول على تحليل في ( Z / pZ ) [ x ] . لكن بحسب الفرضية، فإن هذا الاختزال لـ Q يُبقي حدها الرئيسي، من الشكل ax ⁿ حيث a ثابت غير صفري ∈ Z / p Z ، باعتباره الحد الوحيد غير الصفري. ولكن بالضرورة، فإن اختزالات G و H بتردد p تجعل جميع الحدود غير الرئيسية تتلاشى (ولا يمكنها جعل حدودها الرئيسية تتلاشى)، إذ لا توجد تحليلات أخرى ممكنة لـ ax ⁿ في ( Z / p Z )[ x ] ، وهو مجال تحليل فريد . على وجه الخصوص، تتلاشى الحدود الثابتة لـ G و H في الاختزال، لذا فهي قابلة للقسمة على p ، ولكن الحد الثابت لـ Q ، وهو حاصل ضربهما، قابل للقسمة على p² ^، وهو ما يخالف الفرضية، وهذا تناقض.

يبدأ برهان ثانٍ لمعيار أيزنشتاين أيضاً بافتراض أن متعددة الحدود Q ( x ) قابلة للاختزال. وقد تبين أن هذا الافتراض يستلزم تناقضاً.

الافتراض أن $${\displaystyle Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$$ تعني قابلية الاختزال وجود كثيرات حدود $${\displaystyle {\begin{aligned}G(x)&=c_{r}x^{r}+c_{r-1}x^{r-1}+\cdots +c_{0}&&r\geq 1\\H(x)&=d_{s}x^{s}+d_{s-1}x^{s-1}+\cdots +d_{0}&&s\geq 1\end{aligned}}}$$ بحيث $${\displaystyle Q(x)=G(x)\cdot H(x),\qquad n=r+s.}$$يمكن قسمة المعامل a₀ _لكثير الحدود Q ( x ) على العدد الأولي p، _ولكن ليس على p² . بما أن _a₀ = c₀d₀ ، _فمن الممكن قسمة c₀ أو d₀ على p ، ولكن ليس كليهما. يمكن للمرء ^، _دون فقدان للعمومية، المتابعة _.

• بمعامل c ₀ يمكن قسمته على p و
• بمعامل d ₀ لا يمكن قسمته على p .

بافتراض،${\displaystyle p}$لم ينقسم${\displaystyle a_{n}}$بما أن a _n = c _r d _s ، فلا يمكن قسمة أي من c _r أو d _s على p . وبالتالي، إذا${\displaystyle a_{r}}$هو${\displaystyle r}$المعامل رقم - من متعدد الحدود القابل للاختزال${\displaystyle Q}$ثم (ربما مع${\displaystyle d_{t}=0}$في حالة${\displaystyle t>s}$) $${\displaystyle a_{r}=c_{r}d_{0}+c_{r-1}d_{1}+\cdots +c_{0}d_{r}}$$ حيث${\displaystyle c_{r}d_{0}}$لا يمكن القسمة على${\displaystyle p}$لأن لا هذا ولا ذاك${\displaystyle d_{0}}$ولا${\displaystyle c_{r}}$يمكن قسمتها على${\displaystyle p}$.

سنثبت ذلك${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{r-1}}$جميعها قابلة للقسمة على p .${\displaystyle a_{r}}$كما أنه يقبل القسمة على p (بحسب فرضية المعيار)، وهذا يعني أن $${\displaystyle c_{r}d_{0}=a_{r}-\left(c_{r-1}d_{1}+\cdots +c_{0}d_{r}\right)}$$ يقبل القسمة على p ، وهو تناقض يثبت المعيار.

من الممكن تقسيم${\displaystyle c_{0}d_{r}}$بواسطة${\displaystyle p}$، لأن${\displaystyle c_{0}}$يمكن قسمتها على${\displaystyle p}$.

بناءً على الافتراض الأولي، من الممكن قسمة المعامل a1 _لكثير الحدود Q ( x ) على p . $${\displaystyle a_{1}=c_{0}d_{1}+c_{1}d_{0}}$$ وبما أن d₀ ليس من مضاعفات p، _فلا بد من إمكانية قسمة c₁ على p . وبالمثل، بالاستقراء الرياضي _،${\displaystyle c_{i}}$هو مضاعف لـ${\displaystyle p}$للجميع${\displaystyle i<r}$وهذا ينهي البرهان.

بتطبيق نظرية مضلع نيوتن على حقل الأعداد p -adic ، بالنسبة لكثير حدود أيزنشتاين، يُفترض بنا أن نأخذ الغلاف المحدب السفلي للنقاط

حيث يمثل v_{_i} القيمة p -adic للعدد a _{_i} (أي أعلى قوة للعدد p تقسمه). الآن، البيانات المعطاة لدينا حول v _i للفترة 0 < i < n ، وهي أنها تساوي واحدًا على الأقل، هي ما نحتاجه تمامًا لنستنتج أن الغلاف المحدب السفلي هو بالضبط قطعة مستقيمة واحدة من (0, 1) إلى ( n , 0) ، وميلها يساوي −1/ n .

هذا يخبرنا أن كل جذر من Q له قيمة p -adic 1/ n وبالتالي فإن Q غير قابل للاختزال على حقل p -adic (لأنه، على سبيل المثال، لا يوجد ناتج لأي مجموعة جزئية مناسبة من الجذور له قيمة عددية صحيحة)؛ ومن باب أولى على حقل الأعداد النسبية.

هذه الحجة أكثر تعقيدًا بكثير من الحجة المباشرة بالاختزال modulo p . ومع ذلك، فهي تسمح برؤية، من منظور نظرية الأعداد الجبرية ، مدى تكرار تطبيق معيار أيزنشتاين، بعد تغيير المتغير؛ وبالتالي تحد بشدة من الخيارات الممكنة لـ p التي يمكن أن يكون لكثير الحدود بالنسبة لها ترجمة أيزنشتاين (أي، أن يصبح أيزنشتاين بعد تغيير إضافي للمتغيرات كما في حالة كثير الحدود الدائري من الرتبة p ).

في الواقع، الأعداد الأولية p المتفرعة في امتداد Q الناتج عن جذر Q هي فقط التي لديها فرصة لتحقيق الشرط. يمكن إيجاد هذه الأعداد بدلالة مميز Q. على سبيل المثال ، في حالة ^x² + x + 2 المذكورة أعلاه ، المميز هو -7، لذا فإن 7 هو العدد الأولي الوحيد الذي لديه فرصة لتحقيق الشرط. بتردد 7 ، تصبح المعادلة ( x - 3) ^² — وجود جذر مكرر أمر لا مفر منه، لأن المميز يساوي 0 بتردد 7. لذلك، فإن إزاحة المتغير أمر يمكن التنبؤ به.

ومرة أخرى، بالنسبة لكثير الحدود الدائري، يصبح

يمكن إثبات أن المميز هو (حتى الإشارة) p ^{p −2} ، باستخدام طرق الجبر الخطي .

بتعبير أدق، الأعداد الأولية المتفرعة كليًا فقط هي التي لديها فرصة لتكون أعدادًا أولية أيزنشتاينية لكثير الحدود. (في الحقول التربيعية، يكون التفرع دائمًا كليًا، لذا لا يُلاحظ هذا التمييز في الحالة التربيعية مثل x² + x ⁺ 2 المذكورة أعلاه). في الواقع، ترتبط كثيرات حدود أيزنشتاين ارتباطًا مباشرًا بالأعداد الأولية المتفرعة كليًا، كما يلي: إذا تم توليد امتداد حقل للأعداد النسبية بواسطة جذر كثيرة حدود أيزنشتاينية عند p، فإن p يكون متفرعًا كليًا في الامتداد، والعكس صحيح، إذا كان p متفرعًا كليًا في حقل عددي، فإن الحقل يتم توليده بواسطة جذر كثيرة حدود أيزنشتاينية عند p . ^{[ 6 ]}

• معيار عدم الاختزال لكوهن
• معيار بيرون لعدم الاختزال