منتج هادامارد (المصفوفات)

في الرياضيات ، يُعرف ضرب هادامارد (المعروف أيضًا بالضرب العنصري ، أو الضرب المدخلي ^{[ 1 ] : الفصل 5،} أو ضرب شور ) ^{[ 2 ]} بأنه عملية ثنائية تأخذ مصفوفتين من نفس الأبعاد وتُرجع مصفوفة تحتوي على العناصر المتناظرة مضروبة. يمكن اعتبار هذه العملية "ضربًا بسيطًا للمصفوفات" وهي تختلف عن ضرب المصفوفات . يُنسب هذا الضرب إلى عالم الرياضيات الفرنسي جاك هادامارد أو عالم الرياضيات الروسي إساي شور ، وقد سُمّي باسمهما .

إن ضرب هادامارد هو ضرب تجميعي وتوزيعي . وعلى عكس ضرب المصفوفات، فهو أيضًا ضرب تبادلي . ^{[ 3 ]}

بالنسبة لمصفوفتين A و B من نفس البعد m × n ، فإن حاصل ضرب هادامارد${\displaystyle A\odot B}$(اتفاقية التعلم الآلي) أو${\displaystyle A\circ B}$(اتفاقية تحليل المصفوفات) ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} هي مصفوفة من نفس أبعاد المعاملات، مع عناصر معطاة بواسطة ^{[ 3 ]}

${\displaystyle (A\odot B)_{ij}=(A)_{ij}(B)_{ij}.}$

بالنسبة للمصفوفات ذات الأبعاد المختلفة ( m × n و p × q ، حيث m ≠ p أو n ≠ q )، فإن حاصل ضرب هادامارد غير معرف.

مثال على ضرب هادامارد لمصفوفتين عشوائيتين من الرتبة 2  ×  3:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&1\\0&8&-2\end{bmatrix}}\odot {\begin{bmatrix}3&1&4\\7&9&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 3&3\times 1&1\times 4\\0\times 7&8\times 9&-2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&3&4\\0&72&-10\end{bmatrix}}.}$

• يكون جداء هادامارد تبديليًا (عند التعامل مع حلقة تبديلية)، وتجميعيًا ، وتوزيعيًا على الجمع. أي، إذا كانت A و B و C مصفوفات من نفس الحجم، وكان k عددًا قياسيًا:$${\displaystyle {\begin{aligned}A\odot B&=B\odot A,\\A\odot (B\odot C)&=(A\odot B)\odot C,\\A\odot (B+C)&=A\odot B+A\odot C,\\(kA)\odot B&=A\odot (kB)=k(A\odot B),\\A\odot 0&=0\odot A=0.\end{aligned}}}$$
• مصفوفة الوحدة في عملية ضرب مصفوفتين من الرتبة m × n وفقًا لطريقة هادامارد هي مصفوفة من الرتبة m × n جميع عناصرها تساوي 1. وهذا يختلف عن مصفوفة الوحدة في عملية ضرب المصفوفات العادية، حيث تكون عناصر القطر الرئيسي فقط هي التي تساوي 1. علاوة على ذلك، تمتلك المصفوفة معكوسًا في عملية ضرب هادامارد إذا وفقط إذا كانت جميع عناصرها قابلة للعكس، أو بصورة مكافئة، في حقل معين، إذا وفقط إذا لم يكن أي من عناصرها يساوي صفرًا. ^{[ 7 ]}
• بالنسبة للمتجهين x و y والمصفوفات القطرية المناظرة Dx و Dy _التي تمثل هذه المتجهات أقطارها الرئيسية، تتحقق المتطابقة التالية _: ^{[ 1 ] : 479}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}(A\odot B)\mathbf {y} =\operatorname {tr} \left({D} _ {\mathbf {x} }^{*}A{D}_{\mathbf {y} }{B}^{\mathsf {T}}\right)،}$$حيث يرمز x ^* إلى منقولة المصفوفة x . وعلى وجه الخصوص ، باستخدام متجهات من الواحدات، يُظهر هذا أن مجموع جميع عناصر جداء هادامارد هو أثر AB ^T حيث يرمز الرمز العلوي T إلى منقولة المصفوفة ، أي${\displaystyle \operatorname {tr} \left(AB^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {1} ^{\mathsf {T}}\left(A\odot B\right)\mathbf {1} }$. نتيجة ذات صلة للمربعين A و B هي أن مجموع صفوف حاصل ضرب هادامارد الخاص بهما هي العناصر القطرية لـ AB ^T : ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \sum _{i}(A\odot B)_{ij}=\left(B^{\mathsf {T}}A\right)_{jj}=\left(AB^{\mathsf {T}}\right)_{ii}.}$$بصورة مماثلة،$${\displaystyle (\mathbf {y} \mathbf {x} ^{*})\odot A=D_{\mathbf {y} }AD_{\mathbf {x} }^{*}.}$$علاوة على ذلك، يمكن التعبير عن حاصل ضرب مصفوفة هادامارد في متجه على النحو التالي:$${\displaystyle (A\odot B)\mathbf {y} =\operatorname {diag} (AD_{\mathbf {y} }B^{\mathsf {T}})،}$$أين${\displaystyle \operatorname {diag} (M)}$هو المتجه المُشكَّل من أقطار المصفوفة M. بأخذ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {1} }$وهذا يعني أن$${\displaystyle (A\odot B)\mathbf {1} =\operatorname {diag} (AB^{\mathsf {T}})}$$
• يُعدّ جداء هادامارد مصفوفة فرعية رئيسية من جداء كرونكر . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}
• يحقق حاصل ضرب هادامارد متباينة الرتبة$${\displaystyle \operatorname {rank} (A\odot B)\leq \operatorname {rank} (A)\operatorname {rank} (B).}$$
• إذا كانت A و B مصفوفات موجبة محددة ، فإن المتباينة التالية التي تتضمن جداء هادامارد صحيحة: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \prod _{i=k}^{n}\lambda _{i}(A\odot B)\geq \prod _{i=k}^{n}\lambda _{i}(AB),\quad k=1,\ldots ,n,}$$حيث λ _i ( A ) هي القيمة الذاتية الأكبر رقم i لـ A.
• إذا كانت D و E مصفوفات قطرية ، فإن ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}D(A\odot B)E&=(DAE)\odot B=(DA)\odot (BE)\\&=(AE)\odot (DB)=A\odot (DBE).\end{aligned}}}$$
• حاصل ضرب هادامارد لمتجهين${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {b} }$وهو نفسه ضرب المصفوفة القطرية المناظرة لمتجه واحد بالمتجه الآخر:$${\displaystyle \mathbf {a} \odot \mathbf {b} =D_{\mathbf {a} }\mathbf {b} =D_{\mathbf {b} }\mathbf {a} .}$$
• ال${\displaystyle \operatorname {diag} }$يمكن التعبير عن المؤثر الذي يحول متجهًا إلى مصفوفة قطرية باستخدام ضرب هادامارد كما يلي:$${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {a} )=(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{T})\odot I,}$$أين${\displaystyle \mathbf {1} }$هو متجه ثابت ذو عناصر${\displaystyle 1}$، و${\displaystyle I}$هي مصفوفة الوحدة .

يخضع منتج هادامارد لعلاقات معينة مع عوامل ضرب المصفوفات الأخرى.

• لو${\displaystyle \otimes }$ هو ناتج كرونكر ، بافتراض${\displaystyle A}$له نفس الأبعاد مثل${\displaystyle C}$و${\displaystyle B}$مثل${\displaystyle D}$، ثم$${\displaystyle (A\otimes B)\otimes (C\otimes D)=(A\otimes C)\otimes (B\otimes D).}$$

• لو${\displaystyle \bullet }$ إذا كان الناتج يقسم الوجه ، فإن ^{[ 14 ]}$${\displaystyle (A\odot B)\odot (C\odot D)=(A\odot C)\bullet (B\odot D).}$$

• لو${\displaystyle \ast }$ هو حاصل ضرب خاتري-راو عموديًا ، إذن$${\displaystyle (A\bullet B)(C\ast D)=(AC)\odot (BD).}$$

حاصل ضرب هادامارد لمصفوفتين شبه موجبتين هو مصفوفة شبه موجبة. ^{[ 3 ] [ 8 ]} يُعرف هذا باسم نظرية شور للضرب، ^{[ 7 ]} نسبةً إلى عالم الرياضيات الروسي إسحاق شور . بالنسبة لمصفوفتين شبه موجبتين A و B ، من المعروف أيضًا أن محدد حاصل ضرب هادامارد لهما أكبر من أو يساوي حاصل ضرب محدديهما: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \det({A}\odot {B})\geq \det({A})\det({B}).}$$

تُلاحظ عمليات هادامارد الأخرى أيضًا في الأدبيات الرياضية، ^{[ 15 ]} وهي:جذر الهادامارد وقوة هادامارد (وهي في الواقع نفس الشيء بسبب المؤشرات الكسرية)، معرفة لمصفوفة بحيث:

ل $${\displaystyle {\begin{aligned}{B}&={A}^{\circ 2}\\B_{ij}&={A_{ij}}^{2}\end{aligned}}}$$

ولـ $${\displaystyle {\begin{aligned}{B}&={A}^{\circ {\frac {1}{2}}}\\B_{ij}&={A_{ij}}^{\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$$

المعكوس هادامارد يقرأ: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{B}&={A}^{\circ -1}\\B_{ij}&={A_{ij}}^{-1}\end{aligned}}}$$

أيُعرَّف تقسيم هادامارد على النحو التالي: ^{[ 16 ] [ 17 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{C}&={A}\oslash {B}\\C_{ij}&={\frac {A_{ij}}{B_{ij}}}\end{aligned}}}$$

تتضمن معظم لغات البرمجة العلمية أو العددية منتج هادامارد، تحت مسميات مختلفة.

في MATLAB ، يُعبَّر عن ضرب هادامارد بـ "الضرب النقطي": a .* b، أو استدعاء الدالة: times(a, b). ^{[ 18 ]} كما توجد عوامل ضرب نقطية مماثلة تتضمن، على سبيل المثال، العاملين a .^ bو a ./ b. ^{[ 19 ]} وبفضل هذه الآلية، من الممكن تخصيص *و ^لضرب المصفوفات وأسس المصفوفات، على التوالي.

تتشابه لغة البرمجة جوليا في تركيبها مع لغة ماتلاب، حيث يُطلق على ضرب هادامارد اسم الضرب البثي ويُرمز له أيضًا بـ a .* b. تُعرَّف المعاملات الأخرى بشكل مماثل عنصرًا بعنصر، فعلى سبيل المثال، تُستخدم قوى هادامارد a .^ b. ^{[ 20 ]} ولكن على عكس ماتلاب، في جوليا، يُعمَّم تركيب "النقطة" هذا بمعامل بث. عام يُمكنه تطبيق أي دالة عنصرًا بعنصر. يشمل ذلك المعاملات الثنائية (مثل الضرب والأس المذكورين سابقًا، بالإضافة إلى أي معامل ثنائي آخر مثل جداء كرونكر)، وكذلك المعاملات الأحادية مثل !و . وبالتالي، يُمكن تطبيق √أي دالة مكتوبة بصيغة البادئة على النحو التالي : . ^{[ 21 ]}ff.(x)

لا يدعم بايثون المصفوفات بشكلٍ مُدمج، مما يؤدي إلى تناقضات في الترميز. تُفسّر مكتبة NumPya*b العددية أو a.multiply(b)كحاصل ضرب هادامارد، وتستخدم a@bأو a.matmul(b)لحاصل ضرب المصفوفات. أما مع مكتبة SymPy الرمزية، فإن ضرب عناصر المصفوفة كـ a*bأو a@bسينتج عنه حاصل ضرب المصفوفات. يُمكن الحصول على حاصل ضرب هادامارد باستخدام استدعاء الدالة a.multiply_elementwise(b). ^{[ 22 ]} تتضمن بعض حزم بايثون دعمًا لقوى هادامارد باستخدام دوال مثل np.power(a, b)، أو دالة Pandasa.pow(b) .

في لغة C++، توفر مكتبة EigencwiseProduct دالة عضوية لفئة Matrix ( )، بينما تستخدم مكتبة Armadillo عامل التشغيل لإنشاء تعبيرات مضغوطة ( ؛ هو ضرب مصفوفة).a.cwiseProduct(b)%a % ba * b

في برنامجي GAUSS و HP Prime ، تُعرف العملية باسم ضرب المصفوفات.

في لغات Fortran و R و APL و J و Wolfram Language ( Mathematica )، يتم تطبيق عامل الضرب *أو ×ضرب هادامارد، بينما يتم كتابة ضرب المصفوفة باستخدام matmul، %*%، +.×، +/ .*و .، على التوالي.

في لغة برمجة Maple ، لا يُعرَّف عامل الضرب *للمصفوفات والمتجهات. يُكتب ضرب المصفوفات باستخدام .، بينما يُمكن الحصول على ضرب هادامارد باستخدام *~. ( ~يُعدّ عامل الضرب عاملًا مُذاعًا مشابهًا لـ .في لغة Julia).

تقدم حزمة R matrixcalc الدالة hadamard.prod()الخاصة بضرب هادامارد للمصفوفات أو المتجهات العددية. ^{[ 23 ]}

نظام الجبر الحاسوبي الذي يستخدمه برنامج Maxima. لضرب المصفوفات وضرب *هادامارد.

يظهر ناتج هادامارد في خوارزميات الضغط مع فقدان البيانات مثل JPEG . تتضمن خطوة فك التشفير ناتجًا متبادلًا، أي ناتج هادامارد.

في معالجة الصور ، يمكن استخدام مُعامل هادامارد لتحسين أو كبح أو إخفاء مناطق معينة من الصورة. تمثل إحدى المصفوفتين الصورة الأصلية، بينما تعمل الأخرى كمصفوفة ترجيح أو مصفوفة إخفاء.

يُستخدم هذا المصطلح في أدبيات التعلم الآلي ، على سبيل المثال، لوصف بنية الشبكات العصبية المتكررة مثل GRUs أو LSTMs . ^{[ 24 ]}

كما يُستخدم لدراسة الخصائص الإحصائية للمتجهات والمصفوفات العشوائية. ^{[ 25 ] [ 26 ]}

وفقًا لتعريف V. Slyusar، فإن الضرب الوجهي المخترق للمصفوفة p × g${\displaystyle {A}}$ومصفوفة ذات أبعاد n${\displaystyle {B}}$( n > 1) مع كتل p × g (${\displaystyle {B}=[B_{n}]}$) هي مصفوفة بحجم${\displaystyle {B}}$على النحو التالي: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle {A}[\circ ]{B}=\left[{\begin{array}{c | c | c | c }{A}\circ {B}_{1}&{A}\circ {B}_{2}&\cdots &{A}\circ {B}_{n}\end{array}}\right].}$$

• المنتج الداخلي لفروبينيوس
• منتج Pointwise
• منتج كرونيكر
• منتج خاتري-راو