المصفوفة القطرية

في الجبر الخطي ، المصفوفة القطرية هي مصفوفة تكون جميع عناصرها خارج القطر الرئيسي أصفارًا؛ ويُستخدم هذا المصطلح عادةً للإشارة إلى المصفوفات المربعة . يمكن أن تكون عناصر القطر الرئيسي إما أصفارًا أو غير أصفار. مثال على مصفوفة قطرية من الرتبة 2×2 هو${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$، بينما يُعد مثال المصفوفة القطرية 3×3 هو${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{smallmatrix}}\right]}$مصفوفة الوحدة، مهما كان حجمها أو مضاعفًا له، هي مصفوفة قطرية تسمى مصفوفة قياسية ، على سبيل المثال،${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{smallmatrix}}\right]}$في الهندسة ، يمكن استخدام المصفوفة القطرية كمصفوفة قياس ، لأن ضرب المصفوفات بها يؤدي إلى تغيير المقياس (الحجم) وربما الشكل أيضًا ؛ فقط المصفوفة العددية تؤدي إلى تغيير موحد في المقياس.

كما ذُكر أعلاه، فإن المصفوفة القطرية هي مصفوفة تكون فيها جميع العناصر غير القطرية أصفارًا. أي أن المصفوفة D = ( d_{_{i , j}} ) ذات n عمودًا و n صفًا تكون قطرية إذا $${\displaystyle \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.}$$

ومع ذلك، فإن المداخل القطرية الرئيسية غير مقيدة.

قد يشير مصطلح المصفوفة القطرية أحيانًا إلىالمصفوفة القطرية المستطيلة ، وهيm×n،جميع عناصرها ليست من الشكل d _{i ، حيث i} يساوي صفرًا. على سبيل المثال: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}}$$

لكن في أغلب الأحيان، تشير المصفوفة القطرية إلى المصفوفات المربعة، والتي يمكن تحديدها صراحةً على أنهاالمصفوفة القطرية المربعة . المصفوفة القطرية المربعة هيمصفوفة متناظرة، لذا يمكن تسميتها أيضًا بـمصفوفة قطرية متناظرة .

المصفوفة التالية هي مصفوفة قطرية مربعة: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}}$$

إذا كانت المدخلات أعدادًا حقيقية أو أعدادًا مركبة ، فإنها تكون مصفوفة عادية أيضًا.

في الجزء المتبقي من هذه المقالة، سنقتصر على دراسة المصفوفات القطرية المربعة، وسنشير إليها ببساطة باسم "المصفوفات القطرية".

يمكن إنشاء مصفوفة قطرية D من متجه${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$باستخدام${\displaystyle \operatorname {diag} }$المشغل: $${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}).}$$

يمكن كتابة هذا بشكل أكثر إيجازًا على النحو التالي:${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a} )}$.

يُستخدم نفس المؤثر أيضًا لتمثيل المصفوفات القطرية الكتلية كما يلي:${\displaystyle \mathbf {A} =\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\dots ,\mathbf {A} _{n})}$حيث أن كل وسيط A _i عبارة عن مصفوفة.

يمكن كتابة عامل التشخيص على النحو التالي :$${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I} ,}$$ أين${\displaystyle \circ }$يمثل حاصل ضرب هادامارد ، و 1 هو متجه ثابت عناصره 1.

يُشار أحيانًا إلى عامل تحويل المصفوفة العكسية إلى متجه قطري بالاسم نفسه${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}},}$حيث تكون الوسيطة الآن عبارة عن مصفوفة، والنتيجة هي متجه من عناصرها القطرية.

تنطبق الخاصية التالية: $${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B})=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}=\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\يمين)\mathbf {1} .}$$

المصفوفة القطرية التي عناصرها القطرية متساوية هي مصفوفة قياسية ؛ أي أنها مضاعف قياسي λ لمصفوفة الوحدة I. ويكون تأثيرها على المتجه هو الضرب القياسي في λ . على سبيل المثال، تأخذ المصفوفة القياسية 3×3 الشكل التالي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}}$$

المصفوفات العددية هي مركز جبر المصفوفات: أي أنها تحديدًا المصفوفات التي تتبادل مع جميع المصفوفات المربعة الأخرى من نفس الحجم. ^{[ أ ]} على النقيض من ذلك، في حقل (مثل حقل الأعداد الحقيقية)، فإن المصفوفة القطرية التي تكون جميع عناصرها القطرية متميزة تتبادل فقط مع المصفوفات القطرية ( مركزها هو مجموعة المصفوفات القطرية). وذلك لأنه إذا كانت المصفوفة القطرية${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$لديه${\displaystyle a_{i}\neq a_{j},}$ثم بالنظر إلى مصفوفة M مع${\displaystyle m_{ij}\neq 0,}$الحد ( i , j ) من المنتجات هو:${\displaystyle (\mathbf {DM} )_{ij}=a_{i}m_{ij}}$و${\displaystyle (\mathbf {MD} )_{ij}=m_{ij}a_{j},}$و${\displaystyle a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}}$(بما أنه يمكن القسمة على m _ij )، لذا فهي لا تتبادل إلا إذا كانت العناصر غير القطرية تساوي صفرًا. ^{[ ب ]} المصفوفات القطرية التي لا تكون عناصرها القطرية متساوية أو مختلفة تمامًا لها مراكز وسيطة بين الفضاء الكلي والمصفوفات القطرية فقط. ^{[ 1 ]}

بالنسبة للفضاء المتجهي المجرد V (بدلاً من الفضاء المتجهي الملموس Kⁿ ⁾ ، فإن نظير المصفوفات العددية هو التحويلات العددية . وينطبق هذا بشكل أعم على وحدة نمطية M فوق حلقة R ، حيث يحل جبر التشكل الداخلي End( M ) (جبر المؤثرات الخطية على M ) محل جبر المصفوفات. رسميًا، الضرب العددي هو دالة خطية، تُنتج دالة${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M),}$( من كمية قياسية λ إلى تحويلها القياسي المقابل، الضرب في λ ) تُظهر End( M ) كجبر R. بالنسبة للفضاءات المتجهة ، تُمثل التحويلات القياسية مركز جبر التشكل الداخلي، وبالمثل، تُمثل التحويلات القياسية القابلة للعكس مركز المجموعة الخطية العامة GL( V ) . ويُعدّ الأول، بشكل عام، وحدات حرة حقيقية${\displaystyle M\cong R^{n},}$والتي يكون جبر التشكل الداخلي لها متماثلاً مع جبر المصفوفات.

ضرب متجه بمصفوفة قطرية يؤدي إلى ضرب كل حد من حدوده بالعنصر القطري المقابل له. بفرض مصفوفة قطرية${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ومتجه${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$، والمنتج هو: $${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

يمكن التعبير عن ذلك بشكل أكثر إيجازًا باستخدام متجه بدلاً من مصفوفة قطرية،${\displaystyle \mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$وأخذ حاصل ضرب هادامارد للمتجهات (الضرب العنصري)، ويرمز له بـ${\displaystyle \mathbf {d} \circ \mathbf {v} }$:

$${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

هذا مكافئ رياضيًا، ولكنه يتجنب تخزين جميع الحدود الصفرية لهذه المصفوفة المتفرقة . ولذلك، يُستخدم هذا الناتج في التعلم الآلي ، مثل حساب نواتج المشتقات في الانتشار العكسي أو ضرب أوزان IDF في TF-IDF ، ^{[ 2 ]} نظرًا لأن بعض أطر عمل BLAS ، التي تضرب المصفوفات بكفاءة، لا تتضمن إمكانية ضرب هادامارد بشكل مباشر. ^{[ 3 ]}

تُعدّ عمليتا جمع وضرب المصفوفات بسيطتين للغاية، خاصةً بالنسبة للمصفوفات القطرية. نكتب _diag ( a₁ , ..., an ) لمصفوفة قطرية عناصرها القطرية، بدءًا من الزاوية العلوية اليسرى، هي _a₁ , ..., an _. عندئذٍ، بالنسبة للجمع ، لدينا _:

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}+b_{n})}$$

وبالنسبة لضرب المصفوفات ،

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}b_{n}).}$$

_تكون المصفوفة القطرية diag( a1 _{, ...} , an ) قابلة للعكس إذا وفقط إذا كانت جميع عناصرها a1 _, ..., an غير صفرية. في هذه الحالة، لدينا

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\,\ldots ,\,a_{n}^{-1}).}$$

وعلى وجه الخصوص، تشكل المصفوفات القطرية حلقة فرعية من حلقة جميع المصفوفات من الرتبة n × n .

إن ضرب مصفوفة A من الرتبة n × n من اليسار باستخدام diag( a ₁ , ..., a _n ) يعادل ضرب الصف i من A باستخدام a _i لجميع قيم i ؛ وضرب المصفوفة A من اليمين باستخدام diag ( a ₁ , ..., a _n ) يعادل ضرب العمود i من A باستخدام a i _لجميع قيم i .

كما هو موضح في تحديد معاملات مصفوفة المؤثر ، توجد قاعدة خاصة، e ₁ ، ...، e _n ، تأخذ المصفوفة A شكلًا قطريًا. وبالتالي، في المعادلة التعريفية${\textstyle \mathbf {Ae} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$جميع المعاملات aᵢ _,ⱼ حيث i ≠ j تساوي صفرًا، _مما يترك حدًا واحدًا فقط لكل مجموع. تُعرف العناصر القطرية المتبقية، aᵢ _,ⱼ ، بالقيم الذاتية ويُرمز لها بـ λᵢ في المعادلة، والتي تُختزل إلى${\displaystyle \mathbf {Ae} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}.}$تُعرف المعادلة الناتجة باسم معادلة القيم الذاتية ^{[ 4 ]} وتستخدم لاستنتاج متعدد الحدود المميز ، بالإضافة إلى القيم الذاتية والمتجهات الذاتية .

بمعنى آخر، القيم الذاتية لـ diag( λ ₁ , ..., λ _n ) هي λ ₁ , ..., λ _n مع المتجهات الذاتية المرتبطة بها e ₁ , ..., e _n .

• محدد diag ( a ₁ , ..., a _n ) هو حاصل ضرب a ₁ ⋯ a _n .
• المرافق لمصفوفة قطرية هو أيضاً مصفوفة قطرية.
• حيث تكون جميع المصفوفات مربعة،
  • تكون المصفوفة قطرية إذا وفقط إذا كانت مثلثية وعمودية .
  • تكون المصفوفة قطرية إذا وفقط إذا كانت مثلثية علوية وسفلية .
  • المصفوفة القطرية متناظرة .
• مصفوفة الوحدة I _n والمصفوفة الصفرية قطريتان.
• المصفوفة 1×1 تكون دائماً قطرية.
• مربع مصفوفة 2×2 ذات أثر صفري يكون دائمًا قطريًا.
• يتم الحصول على معكوس المصفوفة القطرية بأخذ مقلوب عناصر القطر الرئيسي.

تُستخدم المصفوفات القطرية في العديد من مجالات الجبر الخطي. ونظرًا للوصف البسيط لعملية المصفوفة والقيم الذاتية/المتجهات الذاتية المذكور أعلاه، فإنه من المستحسن عادةً تمثيل مصفوفة معينة أو تحويل خطي بمصفوفة قطرية.

في الواقع، تُعتبر المصفوفة A ذات الأبعاد n × n مصفوفة قطرية ( أي أن هناك مصفوفة X بحيث تكون X⁻¹AX قطرية ) إذا وفقط إذا كان لها ⁿ متجهات ذاتية مستقلة خطيًا . وتُسمى هذه المصفوفات بالمصفوفات القابلة للتقطير .

في مجال الأعداد الحقيقية أو المركبة ، ينطبق الأمر نفسه. تنص نظرية الطيف على أن كل مصفوفة عادية تُشابه مصفوفة قطرية تشابهًا وحدويًا (إذا كانت AA * ⁼ A * ^A ، فإنه توجد مصفوفة وحدوية U بحيث تكون UAU ^* قطرية). علاوة على ذلك، يُشير تحليل القيم المفردة إلى أنه لأي مصفوفة A ، توجد مصفوفتان وحدويتان U و V بحيث تكون U ^* AV قطرية ذات عناصر موجبة.

في نظرية المؤثرات ، وخاصةً في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية، يسهل فهم المؤثرات وحل المعادلات التفاضلية الجزئية إذا كان المؤثر قطريًا بالنسبة للأساس المستخدم؛ وهذا يُقابل معادلة تفاضلية جزئية قابلة للفصل . لذا، فإن إحدى التقنيات الأساسية لفهم المؤثرات هي تغيير الإحداثيات - أو ما يُعرف في لغة المؤثرات بالتحويل التكاملي - الذي يُحوّل الأساس إلى أساس ذاتي للدوال الذاتية ، مما يجعل المعادلة قابلة للفصل. ومن الأمثلة المهمة على ذلك تحويل فورييه ، الذي يُقطّر مؤثرات التفاضل ذات المعاملات الثابتة (أو بشكل أعم، المؤثرات الثابتة تحت الإزاحة)، مثل مؤثر لابلاس، على سبيل المثال، في معادلة الحرارة .

تُعد عوامل الضرب سهلة بشكل خاص ، والتي تُعرف بأنها الضرب في (قيم) دالة ثابتة - تتوافق قيم الدالة عند كل نقطة مع المدخلات القطرية للمصفوفة.

• هورن، روجر آلان ؛ جونسون، تشارلز رويال (1985)، تحليل المصفوفات ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-38632-6