دالة التوزيع التجريبية

المنحنى الأخضر، الذي يقترب تقاربًا من الارتفاعين 0 و1 دون بلوغهما، هو دالة التوزيع التراكمي الحقيقية للتوزيع الطبيعي القياسي . تمثل علامات التجزئة الرمادية المشاهدات في عينة معينة مسحوبة من هذا التوزيع، وتشكل الخطوات الأفقية لدالة الخطوة الزرقاء (بما في ذلك النقطة اليسرى في كل خطوة ولكن باستثناء النقطة اليمنى) دالة التوزيع التجريبية لتلك العينة.

في الإحصاء ، دالة التوزيع التجريبي ( أو دالة التوزيع التراكمي التجريبي ، eCDF ) هي دالة التوزيع المرتبطة بالقياس التجريبي لعينة ما . ^{[ 1 ]} هذه الدالة التراكمية هي دالة متدرجة تقفز بمقدار 1/ n عند كل نقطة من نقاط البيانات n . وقيمتها عند أي قيمة محددة للمتغير المقاس هي نسبة المشاهدات للمتغير المقاس التي تقل عن أو تساوي تلك القيمة المحددة.

دالة التوزيع التجريبي هي تقدير لدالة التوزيع التراكمي التي ولّدت النقاط في العينة. وهي تتقارب باحتمالية 1 مع ذلك التوزيع الأصلي، وفقًا لنظرية جليفنكو-كانتيلي . توجد عدة نتائج لتحديد معدل تقارب دالة التوزيع التجريبي مع دالة التوزيع التراكمي الأصلية. ومن أبسط التقديرات التجريبية توزيع التردد .

لتكن ( X1 , …, Xn ₎ متغيرات عشوائية حقيقية مستقلة ومتطابقة التوزيع ولها دالة التوزيع التراكمي المشتركة F ( t ) . عندئذٍ تُعرَّف دالة التوزيع التجريبية على النحو التالي ^{[ 2 ]} _.$${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(t)={\frac {{\text{عدد العناصر في العينة}}\leq t}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{X_{i}\leq t},}$$ أين${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$هو مؤشر الحدث A. بالنسبة لقيمة t ثابتة ، يكون المؤشر${\displaystyle \mathbf {1} _{X_{i}\leq t}}$هو متغير عشوائي برنولي ذو معامل p = F ( t ) ؛ وبالتالي${\displaystyle n{\widehat {F}}_{n}(t)}$هو متغير عشوائي ذو توزيع ثنائي بمتوسط ​​nF ( t ) وتباين nF ( t )(1 − F ( t )) . وهذا يعني أن${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(t)}$هو مقدر غير متحيز لـ F ( t ) .

في بعض الكتب المدرسية، يتم تعريف دالة التوزيع التجريبية على النحو التالي ^{[ 3 ] [ 4 ]}$${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(t)={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{X_{i}\leq t}}$$ ومع ذلك، بما أن النسبة ( ن + 1) / ن تقترب من 1 عندما تؤول ن إلى اللانهاية، فإن الخصائص التقاربية للتعريفين هي نفسها.

بحسب قانون الأعداد الكبيرة القوي ، فإن المُقدِّر${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(t)}$يتقارب إلى F ( t ) عندما n → ∞ بشكل شبه مؤكد ، لكل قيمة من t : ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(t)\ {\xrightarrow {\text{a.s.}}}\ F(t);}$$ وبالتالي فإن المُقدِّر${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(t)}$متسق . يؤكد هذا التعبير التقارب النقطي لدالة التوزيع التجريبية مع دالة التوزيع التراكمي الحقيقية. وهناك نتيجة أقوى، تُسمى نظرية جليفنكو-كانتيلي ، تنص على أن التقارب يحدث في الواقع بشكل منتظم على مدى t : ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \left\|{\widehat {F}}_{n}-F\right\|_{\infty }\equiv \sup _{t\in \mathbb {R} }\left|{\widehat {F}}_{n}(t)-F(t)\right|\xrightarrow {} \ 0.}$$ يُطلق على المعيار الأعلى في هذا التعبير اسم إحصائية كولموغوروف-سميرنوف لاختبار مدى تطابق التوزيع التجريبي${\textstyle {\widehat {F}}_{n}(t)}$ودالة التوزيع التراكمي الحقيقية المفترضة F. يمكن استخدام دوال معيارية أخرى هنا بدلاً من معيار السوبر. على سبيل المثال، ينتج عن ^معيار L2 إحصائية كرامر-فون ميزس .

يمكن وصف التوزيع التقاربي بشكل أكبر بعدة طرق مختلفة. أولاً، تنص نظرية النهاية المركزية على أنه عند نقطة معينة ،${\textstyle {\widehat {F}}_{n}(t)}$له توزيع طبيعي تقاربي مع المعيار${\textstyle {\sqrt {n}}}$معدل التقارب: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\sqrt {n}}{\big (}{\widehat {F}}_{n}(t)-F(t){\big )}\ \ {\xrightarrow {d}}\ \ {\mathcal {N}}{\Big (}0,F(t){\big (}1-F(t){\big )}{\Big )}.}$$ يتم توسيع هذه النتيجة بواسطة نظرية دونسكر ، التي تؤكد أن العملية التجريبية${\textstyle {\sqrt {n}}({\widehat {F}}_{n}-F)}$، يُنظر إليها كدالة مفهرسة بواسطة${\textstyle t\in \mathbb {R} }$، يتقارب في التوزيع في فضاء سكوروهود${\displaystyle D[-\infty ,+\infty ]}$إلى عملية غاوسية ذات متوسط ​​صفري${\textstyle G_{F}=B\circ F}$حيث B هو جسر براون القياسي . ^{[ 5 ]} بنية التغاير لهذه العملية الغاوسية هي $${\displaystyle \operatorname {E} [\,G_{F}(t_{1})G_{F}(t_{2})\,]=F(t_{1}\wedge t_{2})-F(t_{1})F(t_{2}).}$$ يمكن تحديد معدل التقارب المنتظم في نظرية دونسكر من خلال النتيجة المعروفة باسم التضمين المجري : ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{\ln ^{2}n}}\left\|{\sqrt {n}}({\widehat {F}}_{n}-F)-G_{F,n}\right\|_{\infty }<\infty ,\quad {\text{a.s.}}}$$

أو بدلاً من ذلك، معدل تقارب${\displaystyle {\sqrt {n}}({\widehat {F}}_{n}-F)}$يمكن أيضًا تحديد ذلك كميًا من خلال السلوك التقاربي لمعيار القيمة العليا لهذا التعبير. يوجد عدد من النتائج في هذا المجال، على سبيل المثال، توفر متباينة دفورتسكي-كيفر-وولفويتز حدًا على احتمالات الذيل لـ${\textstyle {\sqrt {n}}\left\|{\widehat {F}}_{n}-F\right\|_{\infty }}$[ ^{6 ]​}$${\displaystyle \Pr \!{\Big (}{\sqrt {n}}\|{\widehat {F}}_{n}-F\|_{\infty }>z{\Big )}\leq 2e^{-2z^{2}}.}$$ في الواقع، أثبت كولموغوروف أنه إذا كانت دالة التوزيع التراكمي F متصلة، فإن التعبير${\textstyle {\sqrt {n}}\left\|{\widehat {F}}_{n}-F\right\|_{\infty }}$يتقارب في التوزيع إلى${\textstyle \left\|B\right\|_{\infty }}$، والتي لها توزيع كولموغوروف الذي لا يعتمد على شكل F.

نتيجة أخرى، تترتب على قانون اللوغاريتم المتكرر ، هي أن ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sqrt {\frac {n}{2\ln \ln n}}}\left\|{\widehat {F}}_{n}-F\right\|_{\infty }\leq {\frac {1}{2}},\quad {\text{a.s.}}}$$ و $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\sqrt {2n\ln \ln n}}\left\|{\widehat {F}}_{n}-F\right\|_{\infty }={\frac {\pi }{2}},\quad {\text{a.s.}}}$$

بحسب متباينة دفورتسكي-كيفر-وولفويتز، فإن الفترة التي تحتوي على دالة التوزيع التراكمي الحقيقية،${\displaystyle F(x)}$باحتمالية${\displaystyle 1-\alpha }$تم تحديده على النحو التالي:

$${\displaystyle F_{n}(x){-}\varepsilon \leq F(x)\leq F_{n}(x){+}\varepsilon \;{\text{ where }}\varepsilon ={\sqrt {\frac {\ln {\frac {2}{\alpha }}}{2n}}}.}$$

وفقًا للحدود المذكورة أعلاه، يمكننا رسم دالة التوزيع التراكمي التجريبية، ودالة التوزيع التراكمي وفترات الثقة لتوزيعات مختلفة باستخدام أي من التطبيقات الإحصائية.

تتضمن قائمة غير شاملة لتطبيقات البرامج لوظيفة التوزيع التجريبي ما يلي:

• في برنامج R ، نقوم بحساب دالة التوزيع التراكمي التجريبي، مع وجود عدة طرق للرسم والطباعة والحساب باستخدام كائن "ecdf" هذا.
• في برنامج GNU Octave أو MATLAB، يمكننا استخدام رسم دالة التوزيع التراكمي التجريبي (cdf).
• باستخدام الأمر jmp من برنامج SAS ، يقوم مخطط CDF بإنشاء مخطط لدالة التوزيع التراكمي التجريبية.
• في برنامج Minitab ، أنشئ دالة التوزيع التراكمي التجريبية (Empirical CDF).
• باستخدام Mathwave ، يمكننا مطابقة توزيع الاحتمالات مع بياناتنا.
• باستخدام Dataplot ، يمكننا رسم مخطط التوزيع التراكمي التجريبي
• باستخدام مكتبة Scipy ، يمكننا استخدام scipy.stats.ecdf
• باستخدام Statsmodels ، يمكننا استخدام statsmodels.distributions.empirical_distribution.ECDF
• Matplotlib ، باستخدام دالة matplotlib.pyplot.ecdf (جديدة في الإصدار 3.8.0) ^{[ 7 ]}
• Seaborn ، باستخدام دالة seaborn.ecdfplot
• باستخدام مكتبة Plotly ، ودالة plotly.express.ecdf
• باستخدام برنامج إكسل ، يمكننا رسم مخطط دالة التوزيع التراكمي التجريبية
• ArviZ ، باستخدام دالة az.plot_dist

• وظائف Càdlàg
• بيانات العد
• تحليل التردد التراكمي
• تركيبات التوزيع
• عدم المساواة بين دفورتسكي وكيفر وولفويتز
• الاحتمال التجريبي
• العملية التجريبية
• تقدير الكميات المئوية من عينة
• التكرار (الإحصائيات)
• الاحتمالية التجريبية
• مقدر كابلان-ماير للعمليات الخاضعة للرقابة
• وظيفة البقاء
• مخطط Q-Q

• شوراك، جي آر ؛ ويلنر، جيه إيه (1986). العمليات التجريبية مع تطبيقات في الإحصاء . نيويورك: وايلي. ISBN 0-471-86725-X.

• الوسائط المتعلقة بدوال التوزيع التجريبية على ويكيميديا ​​كومنز