نظرية إقليدس-أويلر

الموسوعة الحرة

نظرية إقليدس-أويلر هي نظرية في علم الأعداد تربط الأعداد الكاملة بأعداد ميرسين الأولية . تنص على أن العدد الزوجي يكون كاملاً إذا وفقط إذا كان على الصورة 2p - 1 ( 2p - 1) ، حيث 2p - 1 عدد أولي . سُميت النظرية نسبةً إلى عالمي الرياضيات إقليدس وليونهارد أويلر ، اللذين أثبتا جزئي النظرية "إذا" و"فقط إذا" على التوالي.

لقد طُرحت فرضية مفادها وجود عدد لا نهائي من أعداد ميرسين الأولية. ورغم أن صحة هذه الفرضية لا تزال مجهولة، إلا أنها تُكافئ، وفقًا لنظرية إقليدس-أويلر، فرضية وجود عدد لا نهائي من الأعداد الزوجية الكاملة. ومع ذلك، فإنه من غير المعروف أيضًا ما إذا كان يوجد عدد فردي كامل واحد على الأقل. [ 1 ]

بيان وأمثلة

العدد الكامل هو عدد طبيعي يساوي مجموع قواسمه الحقيقية ، وهي الأعداد الأصغر منه والتي تقسمه قسمة تامة (بدون باقٍ ). على سبيل المثال، القواسم الحقيقية للعدد 6 هي 1 و2 و3، ومجموعها يساوي 6، لذا فإن 6 عدد كامل.

عدد ميرسين الأولي هو عدد أولي على الصورة M <sub>p</sub> = 2<sup> p</sup> - 1 ، أي أقل بواحد من قوة العدد اثنين . لكي يكون عددٌ من هذه الصورة أوليًا، يجب أن يكون p نفسه أوليًا أيضًا، ولكن ليس كل الأعداد الأولية تُنتج أعداد ميرسين أولية بهذه الطريقة. على سبيل المثال، 7 هو عدد ميرسين أولي، بينما 2 <sup> 11 </sup> - 1 = 2047 = 23 × 89 ليس كذلك.

تنص نظرية إقليدس-أويلر على أن العدد الطبيعي الزوجي يكون كاملاً إذا وفقط إذا كان على الصورة 2p - 1Mp ، حيث Mp عدد أولي من أعداد ميرسين. [ 1 ] يأتي العدد الكامل 6 من p = 2 بهذه الطريقة، حيث 2m = 2 × 3 = 6 ، ويقابل العدد الأولي من أعداد ميرسين 7 العدد الكامل 28 بنفس الطريقة.

تاريخ

أثبت إقليدس أن 2p - 1 ( 2p - 1) عدد زوجي كامل كلما كان 2p - 1 عددًا أوليًا. هذه هي النتيجة النهائية في نظرية الأعداد في كتاب الأصول لإقليدس ؛ أما الكتب اللاحقة من الأصول فتتناول الأعداد غير النسبية ، والهندسة الفراغية ، والنسبة الذهبية . يعبّر إقليدس عن النتيجة بالقول إنه إذا كانت متسلسلة هندسية منتهية تبدأ من  1 ونسبتها  2، وكان مجموعها عددًا أوليًا q ، فإن هذا المجموع مضروبًا في الحد الأخير t في المتسلسلة يكون عددًا كاملًا. وبعبارة أخرى، فإن مجموع المتسلسلة المنتهية q هو العدد الأولي لميرسين 2p - 1 ، والحد الأخير t في المتسلسلة هو قوة العدد 2 ، أي 2p - 1. يثبت إقليدس أن qt عدد كامل بملاحظة أن المتسلسلة الهندسية التي نسبتها  2 والتي تبدأ من q ، ولها نفس عدد الحدود، تتناسب مع المتسلسلة الأصلية. لذلك، بما أن مجموع المتسلسلة الأصلية يساوي q = 2t − 1 ، فإن مجموع المتسلسلة الثانية يساوي q (2t − 1) = 2qt − q ، ومجموع المتسلسلتين معًا يساوي 2qt ، أي ضعف العدد الكامل المفترض. مع ذلك، فإن هاتين المتسلسلتين منفصلتان عن بعضهما، وبسبب أولية q ، فإنهما تستنفدان جميع قواسم qt ، لذا فإن qt له قواسم مجموعها يساوي 2qt ، مما يدل على أنه عدد كامل. [ 2 ]

بعد أكثر من ألف عام من إقليدس، افترض ابن الهيثم حوالي عام 1000 ميلادي أن كل عدد زوجي كامل يكون على الصورة 2p - 1 ( 2p - 1) حيث 2p - 1 عدد أولي، لكنه لم يتمكن من إثبات هذه النتيجة. [ 3 ] ولم يُثبت ليونارد أويلر ذلك إلا في القرن الثامن عشر، أي بعد أكثر من ألفي عام من إقليدس، [ 4 ] حيث أثبت أن الصيغة 2p - 1 ( 2p - 1) تُنتج جميع الأعداد الزوجية الكاملة. [ 1 ] [ 5 ] وبالتالي، توجد علاقة تناظرية بين الأعداد الزوجية الكاملة وأعداد ميرسين الأولية؛ فكل عدد أولي من أعداد ميرسين يُنتج عددًا زوجيًا كاملًا واحدًا، والعكس صحيح. بعد برهان أويلر لنظرية إقليدس-أويلر، نشر رياضيون آخرون براهين مختلفة، من بينهم فيكتور أميدي لوبيغ ، وروبرت دانيال كارمايكل ، وليونارد يوجين ديكسون ، وجون كنوبفماخر، وواين إل. ماكدانيال. وقد شاع استخدام برهان ديكسون، على وجه الخصوص، في الكتب الدراسية. [ 6 ]

أُدرجت هذه النظرية في قائمة على الإنترنت تضم "أفضل 100 نظرية رياضية"، يعود تاريخها إلى عام 1999، والتي استخدمها لاحقًا فريك ويديك كمعيار لاختبار فعالية مختلف برامج المساعدة في البرهان . اعتبارًا من أبريل 2025 ، تم صياغة برهان نظرية إقليدس-أويلر في 7 من أصل 12 من مساعدي البرهان الذين سجلهم ويديك. [ 7 ]

دليل

برهان أويلر مختصر [ 1 ] ويعتمد على حقيقة أن دالة مجموع القواسم σ دالة ضربية ؛ أي، إذا كان a و b أي عددين صحيحين أوليين فيما بينهما ، فإن σ ( ab ) = σ ( a ) σ ( b ) . لكي تكون هذه الصيغة صحيحة، يجب أن يشمل مجموع قواسم العدد العدد نفسه، وليس فقط القواسم الفعلية. يكون العدد كاملاً إذا وفقط إذا كان مجموع قواسمه ضعف قيمته.

الكفاية

أحد اتجاهي النظرية (الجزء الذي أثبته إقليدس بالفعل) يترتب مباشرةً على خاصية الضرب: كل عدد أولي من أعداد ميرسين ينتج عنه عدد زوجي كامل. عندما يكون 2p - 1 عددًا أوليًا، σ(2ص-1(2ص-1))=σ(2ص-1)σ(2ص-1).{\displaystyle \sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1).} قواسم العدد 2p - 1 هي 1، 2، 4، 8، ...، 2p - 1. ومجموع هذه القواسم متسلسلة هندسية مجموعها 2p - 1. وبما أن 2p - 1 عدد أولي ، فإن قواسمه الوحيدة هي 1 ونفسه ، لذا فإن مجموع قواسمه هو 2p .

وبدمج هذه الأمور، σ(2ص-1(2ص-1))=σ(2ص-1)σ(2ص-1)=(2ص-1)(2ص)=2(2ص-1)(2ص-1).{\displaystyle {\begin{align}\sigma (2^{p}-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p}-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1).\end{محاذاة}}} لذلك، فإن 2p − 1 ( 2p − 1) مثالي. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

ضرورة

في الاتجاه الآخر، لنفترض أن لدينا عددًا زوجيًا كاملًا، ونحلله جزئيًا إلى 2 ^ kx ، حيث x عدد فردي. لكي يكون 2 ^ kx عددًا زوجيًا كاملًا، يجب أن يكون مجموع قواسمه ضعف قيمته.

العامل الفردي 2k + 1 - 1 على الجانب الأيمن من (*) هو 3 على الأقل، ويجب أن يقسم x ، وهو العامل الفردي الوحيد على الجانب الأيسر، لذا فإن x / ( 2k + 1 - 1) هو قاسم صحيح لـ x . بقسمة كلا طرفي (*) على العامل المشترك 2k + 1 - 1 مع الأخذ في الاعتبار القواسم المعروفة x و x / ( 2k + 1 - 1) لـ x، نحصل على

2ك+1x/(2ك+1-1)=σ(x)=x+x/(2ك+1-1)+{\displaystyle 2^{k+1}x/(2^{k+1}-1)=\sigma (x)=x+x/(2^{k+1}-1)+{}}القواسم الأخرى=2ك+1x/(2ك+1-1)+{\displaystyle {}=2^{k+1}x/(2^{k+1}-1)+{}}القواسم الأخرى.

لكي تتحقق هذه المساواة، لا يمكن أن يكون هناك قواسم أخرى. لذلك، يجب أن يكون x / ( 2k + 1 - 1) مساويًا لـ 1 ، ويجب أن يكون x عددًا أوليًا على الصورة 2k + 1 - 1. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

مراجع

  1. 1 2 3 4 ستيلويل، جون (2010)، الرياضيات وتاريخها ، نصوص جامعية في الرياضيات ، سبرينغر، ص  40، ISBN 978-1-4419-6052-8.
  2. ↑ إقليدس (1956)، الكتب الثلاثة عشر للأصول، ترجمة مع مقدمة وتعليق بقلم السير توماس ل. هيث، المجلد 2 (الكتب من الثالث إلى التاسع) ( الطبعة الثانية)، دوفر، الصفحات 421-426 ، رقم ISBN   0-486-60089-0{{citation}}: CS1 maint: ignored ISBN errors ( link ) . See on specific Prop. IX.36.
  3. ^ أوكونور، جون ج. إدموند ف. روبرتسون ، “أبو علي الحسن بن الهيثم” ، أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
  4. ↑ بولاك، بول؛ شيڤيليف، فلاديمير (2012)، "حول الأعداد الكاملة وشبه الكاملة"، مجلة نظرية الأعداد ، 132 (12): 3037-3046 ، arXiv : 1011.6160 ، doi : 10.1016/j.jnt.2012.06.008 ، MR 2965207 ، S2CID 13607242  
  5. ^ أويلر ، ليونارد (1849)، “De numeris amicibilibus” [ على الأرقام الودية ] ، Commentationes arithmeticae (باللاتينية)، المجلد. 2، ص 627 – 636  قُرئت هذه المخطوطة لأول مرة أمام أكاديمية برلين في 23 فبراير 1747، ونُشرت بعد وفاة مؤلفها. انظر تحديدًا القسم 8، صفحة 88.
  6. ↑ كوهين، غرايم ل. (مارس 1981)، "الأعداد الزوجية الكاملة"، المجلة الرياضية ، 65 (431): 28-30 ، doi : 10.2307/3617930 ، JSTOR 3617930 ، S2CID 125868737  
  7. ^ فيديك ، فريك، إضفاء الطابع الرسمي على 100 نظرية ، معهد جامعة رادبود للحوسبة وعلوم المعلومات ، استرجاعها 20 يونيو 2025
  8. 1 2 جيرستين، لاري (2012)، مقدمة في البنى الرياضية والبراهين ، نصوص جامعية في الرياضيات، سبرينغر، النظرية 6.94، ص 339، ISBN  978-1-4614-4265-3.
  9. 1 2 كالدول، كريس ك.، "برهان على أن جميع الأعداد الزوجية الكاملة هي قوة لضعف عدد أولي من أعداد ميرسين" ، صفحات الأعداد الأولية ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 2014-12-02.
  10. 1 2 ترافاليني، جيانكارلو (2014)، نظرية الأعداد، تحليل فورييه، والاختلاف الهندسي ، نصوص طلابية من جمعية لندن الرياضية، المجلد 81، مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات 26-27 ، ISBN   978-1-107-04403-6.