نظرية أويلر (الهندسة التفاضلية)

في الهندسة التفاضلية ، تُعدّ نظرية أويلر نتيجةً تتعلق بانحناء المنحنيات على سطح ما. تُثبت هذه النظرية وجود انحناءات رئيسية واتجاهات رئيسية مرتبطة بها ، تُحدد الاتجاهات التي يكون فيها انحناء السطح أكبر ما يمكن وأقل ما يمكن. سُميت النظرية نسبةً إلى ليونارد أويلر الذي برهنها عام 1760 .

بتعبير أدق، ليكن M سطحًا في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، و p نقطة على M. المستوى العمودي المار بالنقطة p هو مستوى يمر بالنقطة p ويحتوي على متجه العمودي على M. يمر عبر كل متجه مماس ( وحدة ) لـ M عند p مستوى عمودي P( _X) يقطع منحنى في M. لهذا المنحنى انحناء معين κ( _X) عند اعتباره منحنى داخل P( _X) . بشرط ألا تكون جميع قيم κ( _X) متساوية، يوجد متجه وحدة _{X₁ يكون} عنده k₁ = κ ( _{X₁ ) أكبر} ما يمكن، ومتجه وحدة آخر X₂ يكون عنده _k₂ = κ _(X₂ ) _أصغر ما يمكن. تنص نظرية أويلر على أن X₁ و X₂ متعامدان _، وأنه علاوة على ذلك، إذا _كان X أي متجه يصنع زاوية θ مع X₁ ، _فإن    

${\displaystyle \kappa _{X}=k_{1}\cos ^{2}\theta +k_{2}\sin ^{2}\theta .\,}$

1

تُسمى الكميتان k1 _و k2 بالانحناءات الرئيسية ، و X1 و X2 هما الاتجاهان الرئيسيان المقابلان . تُسمى المعادلة (1) أحيانًا _{بمعادلة أويلر} ( آيزنهارت 2004 ، ص 124 ₎ . 

• الهندسة التفاضلية للأسطح
• مؤشر دوبين
• نصف قطر انحناء الأرض السمتي

• أيزنهارت، لوثر ب. (2004)، رسالة في الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح ، دوفر، ISBN 0-486-43820-1النص الكامل لعام 1909 (خارج نطاق حقوق النشر الآن)
• أويلر ، ليونارد ( 1760)، “Recherches sur la courbure des Surfaces” ، مذكرات أكاديمية العلوم في برلين ، 16 (نشرت 1767): 119–143.
• سبيفاك، مايكل (1999)، مقدمة شاملة في الهندسة التفاضلية، المجلد الثاني ، دار النشر Publish or Perish Press، رقم ISBN 0-914098-71-3