الانحناء الرئيسي

في الهندسة التفاضلية ، يُعرَّف الانحناءان الرئيسيان عند نقطة معينة على سطح ما بأنهما القيمتان القصوى والدنيا للانحناء كما تُعبَّر عنهما بالقيم الذاتية لمؤثر الشكل عند تلك النقطة. وهما يقيسان كيفية انحناء السطح بمقادير مختلفة في اتجاهات مختلفة عند تلك النقطة.

عند كل نقطة p على سطح قابل للتفاضل في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، يمكن اختيار متجه وحدة عمودي . المستوى العمودي عند p هو المستوى الذي يحتوي على متجه الوحدة العمودي، وبالتالي سيحتوي أيضًا على اتجاه فريد مماس للسطح ويقطع السطح بمنحنى مستوٍ، يُسمى المقطع العمودي . هذا المنحنى سيكون له عمومًا انحناءات مختلفة باختلاف المستويات العمودية عند p . الانحناءات الرئيسية عند p ، والمُشار إليها بـ _k1 و k2 ، _هي القيمتان القصوى والدنيا لهذا الانحناء.

هنا، يُعرَّف انحناء المنحنى بأنه مقلوب نصف قطر الدائرة المماسّة . يُعتبر الانحناء موجبًا إذا كان المنحنى ينعطف في نفس اتجاه العمودي المُختار للسطح، وسالبًا في غير ذلك. تكون الاتجاهات في المستوى العمودي حيث يأخذ الانحناء قيمتيه القصوى والدنيا متعامدة دائمًا، إذا _لم يكن k1 مساويًا _لـ k2 ، وهي نتيجة لأويلر (1760)، وتُسمى هذه الاتجاهات بالاتجاهات الرئيسية . من منظور حديث، تتبع هذه النظرية من نظرية الطيف لأن هذه الاتجاهات تُمثل المحاور الرئيسية لموتر متناظر - الشكل الأساسي الثاني . وقد أجرى غاستون داربو تحليلًا منهجيًا للانحناءات الرئيسية والاتجاهات الرئيسية ، باستخدام إطارات داربو .

إن حاصل ضرب k ₁ k ₂ للانحناءين الرئيسيين هو الانحناء الغاوسي ، K ، ومتوسط ​​( k ₁  + k ₂ )/ 2 هو الانحناء المتوسط ​​، H. 

إذا كان أحد الانحناءات الرئيسية على الأقل يساوي صفرًا عند كل نقطة، فإن انحناء غاوس سيكون صفرًا، ويكون السطح قابلاً للتطوير . أما بالنسبة للسطح الأدنى ، فإن متوسط ​​الانحناء يساوي صفرًا عند كل نقطة.

ليكن M سطحًا في الفضاء الإقليدي ذو شكل أساسي ثانٍ${\displaystyle I\!I(X,Y)}$لنثبت نقطة p ∈ M ، وقاعدة متعامدة X1 _و X2 من متجهات المماس عند p . عندئذٍ _، تكون الانحناءات الرئيسية هي القيم الذاتية للمصفوفة المتناظرة .

${\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]={\begin{bmatrix}I\!I(X_{1},X_{1})&I\!I(X_{1},X_{2})\\I\!I(X_{2},X_{1})&I\!I(X_{2},X_{2})\end{bmatrix}}.}$

إذا _{تم اختيار} X1 و X2 بحيث _تكون المصفوفة${\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]}$إذا كانت مصفوفة قطرية، فإنها تُسمى الاتجاهات الرئيسية . وإذا _كان السطح موجهاً ، فغالباً ما يُشترط أن يكون الزوج ( X1 ، X2 ₎ موجهاً بشكل إيجابي بالنسبة للاتجاه المُعطى.

بدون الرجوع إلى أساس متعامد معين، فإن الانحناءات الرئيسية هي القيم الذاتية لمؤثر الشكل ، والاتجاهات الرئيسية هي متجهاته الذاتية .

• عند النقاط الإهليلجية ، يكون لكل من الانحناءات الرئيسية نفس الإشارة، ويكون السطح محدبًا محليًا .
  • عند النقاط السرية ، يتساوى كلا الانحناءين الرئيسيين، ويمكن اعتبار كل متجه مماس اتجاهًا رئيسيًا. وتحدث هذه الظاهرة عادةً في نقاط معزولة.
• عند النقاط القطعية ، يكون للانحناءات الرئيسية إشارات معاكسة، وسيكون السطح محليًا على شكل سرج.
• عند النقاط المكافئة ، يكون أحد الانحناءات الرئيسية صفراً. تقع النقاط المكافئة عموماً في منحنى يفصل بين المناطق الإهليلجية والزائدية.
  • عند النقاط السُرية المُسطّحة، يكون كلا الانحناءين الرئيسيين صفرًا. لا يحتوي السطح العام على نقاط سُرّية مُسطّحة. يُعدّ سطح سرج القرد أحد الأسطح التي تحتوي على نقطة سُرّية مُسطّحة مُنعزلة.

خطوط الانحناء هي منحنيات تكون دائمًا مماسية لاتجاه رئيسي (وهي منحنيات تكاملية لحقول الاتجاه الرئيسي). يوجد خطان للانحناء يمران بكل نقطة غير مركزية، ويتقاطعان بزاوية قائمة. وقد درسها غاسبار مونج لأول مرة في سياق مسألة النقل الأمثل في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$[ ^{٢ ]} وفي سياق الهندسة. ^{[ ٣ ]} في سلسلة محاضرات ألقاها عام ١٧٩٥، اقترح مونج أن يكون مبنى المجلس التشريعي لحكومة الثورة الفرنسية على ^شكل قبة بيضاوية ثلاثية المحاور. تمثل خطوط الانحناء منحنيات إرشادية للعمال لوضع الأحجار. تتدلى أضواء الشموع من نقطتي الانحناء. أسفل إحدى هاتين النقطتين مباشرةً، يكون منصة المتحدثين. يمكن أن تكون الفتحات المربعة الشكل بين المنحنيات نوافذ، وهو شكل أكثر منطقية من النوافذ الوردية في الكنائس القوطية . ^{[ ٤ ]}

في محيط السرة، تتخذ خطوط الانحناء عادةً أحد الأشكال الثلاثة: النجمة ، والليمونة ، والنجمة الوحشية (المشتقة من نجمة الليمون ). ^{[ 5 ]} تُسمى هذه النقاط أيضًا بسُرّات داربوكس (D1 _، D2 _، D3 ₎ تكريمًا لغاستون داربوكس ، أول من أجرى دراسة منهجية في المجلد 4، صفحة  455، من كتابه "دروس" (1896).

• تكوينات خطوط الانحناء بالقرب من السرة
• 
  ليمون - د ₁
• 
  مونستار - دي ₂
• 
  ستار - دي ₃

في هذه الأشكال، تمثل المنحنيات الحمراء خطوط الانحناء لمجموعة واحدة من الاتجاهات الرئيسية، والمنحنيات الزرقاء للمجموعة الأخرى.

عندما يكون لخط انحناء قيمة قصوى محلية من نفس الانحناء الرئيسي، فإن المنحنى يحتوي على نقطة حافة . ​​تشكل نقاط الحافة هذه منحنيات على السطح تُسمى حوافًا . تمر منحنيات الحافة عبر السرة. بالنسبة لنمط النجمة، يمر إما 3 خطوط حافة أو خط حافة واحد عبر السرة، أما بالنسبة لنمط النجمة الوحشية والليمون، فيمر خط حافة واحد فقط. ^{[ 6 ]}

تُحدد اتجاهات الانحناء الرئيسية، إلى جانب متجه السطح العمودي، إطار توجيه ثلاثي الأبعاد عند نقطة على السطح. على سبيل المثال، على أسطوانة، يكون السطح مستويًا (موازيًا لمحور الأسطوانة) على طول متجه وحدة معين. ويعني وجود إطار توجيه كهذا عند كل نقطة على السطح أنه يمكن تحديد أي دوران للأسطح بمرور الوقت ببساطة من خلال النظر في التغير في أطر التوجيه المقابلة. وقد أدى ذلك إلى تطوير خوارزميات تقدير حركة نقطة سطحية واحدة وخوارزميات تجزئة في مجال رؤية الحاسوب. ^{[ 7 ]}

• نصف قطر الأرض#المقاطع الرئيسية
• نظرية أويلر (الهندسة التفاضلية)

• داربوكس، جاستون (1896) [1887]. دروس حول النظرية العامة للأسطح . غوتييه فيلارز.
• غوغنهايمر، هاينريش (1977). "الفصل العاشر: الأسطح". الهندسة التفاضلية . دوفر. ISBN 0-486-63433-7.
• كوباياشي، شوشيتشي ونوميزو ، كاتسومي (1996). أسس الهندسة التفاضلية ، المجلد 2 (  طبعة جديدة). وايلي-إنترساينس. ISBN 0-471-15732-5.
• سبيفاك، مايكل (1999). مقدمة شاملة في الهندسة التفاضلية (المجلد 3) . دار النشر: انشر أو اندثر. رقم ISBN 0-914098-72-1.
• سوتومايور، ج. (1993). "يا elipsóide de Monge" (PDF) . Revista Matemática Universitária . 15 : 33 - 47.
• سوتومايور، ج. (2007). "Ellipsoide de Monge y las líneas de Curvatura" . مواد الرياضيات . 01 : 1-25 .

• تعليقات تاريخية على شكل مونج الإهليلجي وتكوين خطوط الانحناء على الأسطح المغمورة في الفضاء ثلاثي ^{الأبعاد} R³