الهندسة التفاضلية للأسطح

في الرياضيات ، تتعامل الهندسة التفاضلية للأسطح مع الهندسة التفاضلية للأسطح الملساء [ ^أ] مع هياكل إضافية مختلفة، غالبًا ما تكون مقياس ريماني . ^[ب]

تمت دراسة الأسطح على نطاق واسع من وجهات نظر مختلفة: خارجيًا ، فيما يتعلق بتضمينها في الفضاء الإقليدي وجوهريًا ، مما يعكس خصائصها التي تحددها فقط المسافة داخل السطح كما تم قياسها على طول المنحنيات على السطح. أحد المفاهيم الأساسية التي تم التحقيق فيها هو الانحناء الغاوسي ، الذي تمت دراسته لأول مرة بعمق من قبل كارل فريدريش غاوس ، ^[1] الذي أظهر أن الانحناء هو خاصية جوهرية للسطح، بغض النظر عن تضمينه المتساوي القياس في الفضاء الإقليدي.

تنشأ الأسطح بشكل طبيعي كرسوم بيانية لوظائف زوج من المتغيرات ، وتظهر أحيانًا في شكل بارامتري أو كمواضع مرتبطة بمنحنيات الفضاء . لعبت مجموعات لي دورًا مهمًا في دراستها (بروح برنامج إرلانجن )، وهي مجموعات التناظر للمستوى الإقليدي والكرة والمستوى الزائدي . يمكن استخدام مجموعات لي هذه لوصف الأسطح ذات الانحناء الغاوسي الثابت؛ كما أنها توفر عنصرًا أساسيًا في النهج الحديث للهندسة التفاضلية الجوهرية من خلال الاتصالات . من ناحية أخرى، تمت أيضًا دراسة الخصائص الخارجية التي تعتمد على تضمين سطح في الفضاء الإقليدي على نطاق واسع. يتضح هذا بشكل جيد من خلال معادلات أويلر-لاجرانج غير الخطية في حساب التغيرات : على الرغم من أن أويلر طور معادلات المتغير الواحد لفهم الجيوديسيا ، والتي تم تعريفها بشكل مستقل عن التضمين، فإن أحد تطبيقات لاجرانج الرئيسية لمعادلات المتغيرين كان على الأسطح الدنيا ، وهو مفهوم لا يمكن تعريفه إلا من حيث التضمين.

تم حساب أحجام بعض الأسطح التربيعية الدورانية بواسطة أرخميدس . ^[2] قدم تطور حساب التفاضل والتكامل في القرن السابع عشر طريقة أكثر منهجية لحسابها. ^[3] تمت دراسة انحناء الأسطح العامة لأول مرة بواسطة أويلر . في عام 1760 ^[4] أثبت صيغة لانحناء المقطع المستوي لسطح وفي عام 1771 ^[5] اعتبر الأسطح ممثلة في شكل بارامتري. وضع مونج أسس نظريتهم في مذكراته الكلاسيكية تطبيق التحليل على الهندسة والتي ظهرت عام 1795. قدم جاوس المساهمة الحاسمة في نظرية الأسطح في ورقتين رائعتين كتبتا عامي 1825 و1827. ^[1] وقد كان هذا بمثابة انطلاقة جديدة عن التقليد لأنه لأول مرة نظر جاوس في الهندسة الجوهرية للسطح، وهي الخصائص التي يتم تحديدها فقط من خلال المسافات الجيوديسية بين النقاط على السطح بشكل مستقل عن الطريقة الخاصة التي يقع بها السطح في الفضاء الإقليدي المحيط. أثبتت النتيجة المتوجة، نظرية إيجريجيوم لجاوس، أن الانحناء الغاوسي هو ثابت جوهري، أي ثابت تحت تماثلات القياس المحلية . وقد امتدت وجهة النظر هذه إلى مساحات ذات أبعاد أعلى من قبل ريمان وأدت إلى ما يُعرف اليوم بالهندسة الريمانية . كان القرن التاسع عشر هو العصر الذهبي لنظرية الأسطح، سواء من وجهة النظر الطوبولوجية أو الهندسية التفاضلية، حيث كرس معظم المهندسين الرائدين أنفسهم لدراستها. ^{[ بحاجة لمصدر ] جمع} داربو العديد من النتائج في أطروحته المكونة من أربعة مجلدات Théorie des surfaces (1887-1896).

لا يستشهد هذا القسم بأي مصادر . يُرجى المساعدة في تحسين هذا القسم من خلال إضافة الاستشهادات إلى مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها . ( أغسطس 2020 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

من البديهي أن نقول إن ورقة نبات أو سطح زجاج أو شكل وجه، كلها منحنية بطرق معينة، وأن كل هذه الأشكال، حتى بعد تجاهل أي علامات مميزة، لها سمات هندسية معينة تميزها عن بعضها البعض. تهتم الهندسة التفاضلية للأسطح بالفهم الرياضي لمثل هذه الظواهر. أدت دراسة هذا المجال، التي بدأت في شكلها الحديث في القرن الثامن عشر، إلى تطوير هندسة مجردة ذات أبعاد أعلى، مثل الهندسة الريمانية والنسبية العامة . ^{[ بحث أصلي؟ ]}

إن الكائن الرياضي الأساسي هو السطح المنتظم. وعلى الرغم من اختلاف الاتفاقيات في تعريفها الدقيق، فإن هذه الاتفاقيات تشكل فئة عامة من المجموعات الفرعية من الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ( ℝ ³ ) والتي تلتقط جزءًا من المفهوم المألوف لـ "السطح". من خلال تحليل فئة المنحنيات التي تقع على مثل هذا السطح، والدرجة التي تجبرها بها الأسطح على الانحناء في ℝ ³ ، يمكننا ربط كل نقطة من السطح بعددين، يُطلق عليهما الانحناءات الرئيسية. يُطلق على متوسطهما متوسط ​​انحناء السطح، ويُطلق على حاصل ضربهما الانحناء الغاوسي.

هناك العديد من الأمثلة الكلاسيكية للأسطح المنتظمة، بما في ذلك:

• أمثلة مألوفة مثل الطائرات والأسطوانات والكرات
• الأسطح الدنيا ، والتي يتم تعريفها من خلال الخاصية التي تجعل متوسط ​​انحنائها يساوي صفرًا عند كل نقطة. ومن الأمثلة الأكثر شهرة على ذلك الأشكال الحلزونية واللولبية ، على الرغم من اكتشاف المزيد منها. يمكن أيضًا تعريف الأسطح الدنيا من خلال خصائص تتعلق بمساحة السطح ، مع النتيجة التي تتمثل في أنها توفر نموذجًا رياضيًا لشكل أغشية الصابون عند شدها عبر إطار سلكي.
• الأسطح المرسومة ، وهي الأسطح التي يمر عبر كل نقطة منها خط مستقيم واحد على الأقل؛ ومن الأمثلة على ذلك الأسطوانة والقطع الزائد في إحدى الصفائح.

أظهرت نتيجة مفاجئة لكارل فريدريش جاوس ، تُعرف باسم نظرية إيجريجيوم ، أن الانحناء الغاوسي لسطح ما، والذي يتعلق حسب تعريفه بكيفية تغيير المنحنيات على السطح لاتجاهاتها في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن قياسه بالفعل من خلال أطوال المنحنيات الواقعة على الأسطح مع الزوايا المكونة عندما يتقاطع منحنيان على السطح. من الناحية المصطلحية، يعني هذا أنه يمكن حساب الانحناء الغاوسي من الشكل الأساسي الأول (يُسمى أيضًا الموتر المتري ) للسطح. الشكل الأساسي الثاني ، على النقيض من ذلك، هو كائن يشفر كيفية تشوه أطوال وزوايا المنحنيات على السطح عندما يتم دفع المنحنيات بعيدًا عن السطح.

على الرغم من قياس جوانب مختلفة من الطول والزاوية، فإن الشكلين الأساسيين الأول والثاني ليسا مستقلين عن بعضهما البعض، وهما يفيان ببعض القيود التي تسمى معادلات جاوس-كودازي . تؤكد نظرية رئيسية، غالبًا ما تسمى النظرية الأساسية للهندسة التفاضلية للأسطح، أنه كلما استوفى جسمان قيود جاوس-كودازي، فسينشأان كشكلين أساسيين أول وثاني لسطح منتظم.

باستخدام الشكل الأساسي الأول، من الممكن تعريف أشياء جديدة على سطح منتظم. الجيوديسيات هي منحنيات على السطح تلبي معادلة تفاضلية عادية معينة من الدرجة الثانية والتي يتم تحديدها من خلال الشكل الأساسي الأول. وهي مرتبطة بشكل مباشر بدراسة أطوال المنحنيات؛ الجيوديسية ذات الطول القصير بما فيه الكفاية ستكون دائمًا المنحنى الأقصر طولًا على السطح الذي يربط بين نقطتيها النهائيتين. وبالتالي، فإن الجيوديسيات أساسية لمشكلة التحسين المتمثلة في تحديد أقصر مسار بين نقطتين معينتين على سطح منتظم.

يمكن أيضًا تعريف النقل الموازي على طول أي منحنى معين، مما يعطي وصفة لكيفية تشويه متجه مماس للسطح عند نقطة واحدة من المنحنى إلى متجهات مماس عند جميع النقاط الأخرى من المنحنى. يتم تحديد الوصفة بواسطة معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى والتي يتم تحديدها بواسطة الشكل الأساسي الأول.

تتعلق المفاهيم المذكورة أعلاه بشكل أساسي بحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات. وتعتبر نظرية جاوس-بونيه نتيجة أكثر شمولية، حيث تربط بين الانحناء الغاوسي لسطح ما ونوعه الطوبولوجي. وتؤكد هذه النظرية أن القيمة المتوسطة للانحناء الغاوسي تتحدد بالكامل من خلال خاصية أويلر للسطح بالإضافة إلى مساحته السطحية.

أي سطح منتظم هو مثال لكل من متعدد الشعب الريماني وسطح ريمان . في الأساس، كل نظرية الأسطح المنتظمة كما تمت مناقشتها هنا لها تعميم في نظرية متعددات الشعب الريماني ومتعددات الشعب الفرعية الخاصة بها.

من الواضح بديهيًا أن الكرة ناعمة، بينما المخروط أو الهرم، بسبب رؤوسهما أو حوافهما، ليسا كذلك. إن مفهوم "السطح المنتظم" هو صياغة رسمية لمفهوم السطح الأملس. يستخدم التعريف التمثيل المحلي لسطح عبر الخرائط بين الفضاءات الإقليدية . هناك مفهوم قياسي للنعومة لمثل هذه الخرائط؛ تكون الخريطة بين مجموعتين فرعيتين مفتوحتين من الفضاء الإقليدي ناعمة إذا كانت مشتقاتها الجزئية من كل مرتبة موجودة في كل نقطة من المجال. ^{[6] [7] [8]}

فيما يلي ثلاث طرق متكافئة لتقديم التعريف؛ ربما يكون التعريف الأوسط هو الأكثر بديهية من الناحية البصرية، لأنه يقول بشكل أساسي أن السطح المنتظم هو مجموعة فرعية من ℝ ³ والتي هي محليًا الرسم البياني لدالة سلسة (سواء على منطقة في المستوى yz ، أو المستوى xz ، أو المستوى xy ).

الأشياء المستخدمة في التعريف	السطح المنتظم في الفضاء الإقليدي ℝ 3 هو مجموعة جزئية S من ℝ 3 بحيث أن كل نقطة من S لها...
المعلمات المحلية	... جوار مفتوح U ⊂ S حيث توجد مجموعة فرعية مفتوحة V من ℝ 2 وتماثل متماثل f  : V → U بحيث f ، كدالة V → ℝ 3 ، قابلة للاشتقاق بشكل لا نهائي (أي سلسة) لكل نقطة من V ، المشتقتان الجزئيتان ∂ u f و ∂ v f مستقلتان خطيًا كعناصر لـ ℝ 3. [9] [10] [11] [12]
بقع مونج	... جوار مفتوح U ⊂ ℝ 3 حيث توجد مجموعة فرعية مفتوحة V من ℝ 2 ودالة سلسة h  : V → ℝ بحيث ينطبق أحد الآتي: س ∩  U = {( ح ( u , v )، u , v ): ( u , v ) ∈ V } س ∩  U = {( u , h ( u , v ), v ) : ( u , v ) ∈ V } S ∩  U = {( u , v , h ( u , v )) : ( u , v ) ∈ V }.
الوظائف الضمنية	... جوار مفتوح U ⊂ ℝ 3 حيث توجد دالة سلسة F  : U → ℝ مع: س ∩  U = {( س ، ص ، ض ) ∈ U  : ف ( س ، ص ، ض ) = 0 } عند كل نقطة من S ∩  U ، يكون مشتق جزئي واحد على الأقل لـ F غير صفري.

تُعرف التماثلات التي تظهر في التعريف الأول باسم المعلمات المحلية أو أنظمة الإحداثيات المحلية أو المخططات المحلية على S. ^[13] يؤكد تكافؤ التعريفين الأولين أنه حول أي نقطة على سطح منتظم، توجد دائمًا معلمات محلية من النموذج ( u ، v ) ↦ ( h ( u ، v )، u ، v ) ، ( u ، v ) ↦ ( u ، h ( u ، v )، v ) ، أو ( u ، v ) ↦ ( u ، v ، h ( u ، v )) ، والمعروفة باسم بقع مونج. تسمى الدوال F كما في التعريف الثالث بالدوال المحددة المحلية . ويتبع تكافؤ التعريفات الثلاثة نظرية الدالة الضمنية . ^{[14] [15] [16]}

بالنظر إلى أي معاملين محليين f  : V → U و f ′: V ′→ U ′ لسطح منتظم، فإن التركيب f ⁻¹ ∘ f ′ يكون بالضرورة سلسًا كخريطة بين مجموعات فرعية مفتوحة من ℝ ^{2. [17]} يوضح هذا أن أي سطح منتظم له بشكل طبيعي بنية متعدد الشعب الأملس ، مع إعطاء أطلس أملس بواسطة معكوسات المعاملين المحليين.

في النظرية الكلاسيكية للهندسة التفاضلية، عادة ما تتم دراسة الأسطح فقط في الحالة المنتظمة. ^{[7] [18]} ومع ذلك، من الشائع أيضًا دراسة الأسطح غير المنتظمة، حيث قد تفشل المشتقتان الجزئيتان ∂ _u f و ∂ _v f لمعامل محلي في أن تكونا مستقلتين خطيًا . في هذه الحالة، قد يكون لدى S تفردات مثل الحواف الناتئة . تتم دراسة مثل هذه الأسطح عادةً في نظرية التفرد . تحدث أشكال ضعيفة أخرى من الأسطح المنتظمة في التصميم بمساعدة الكمبيوتر ، حيث يتم تقسيم السطح إلى قطع منفصلة، ​​مع فشل مشتقات المعامل المحلي في أن تكون مستمرة حتى على طول الحدود. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

أمثلة بسيطة. مثال بسيط لسطح منتظم هو الكرة ثنائية الأبعاد {( x , y , z ) | x ² + y ² + z ² = 1 }؛ يمكن تغطية هذا السطح بستة رقع مونج (اثنتان من كل نوع من الأنواع الثلاثة المذكورة أعلاه)، مع الأخذ في الاعتبار h ( u , v ) = ± (1 − u ² − v ² ) ^1/2 . ويمكن أيضًا تغطيته بمعلمتين محليتين، باستخدام الإسقاط المجسم . المجموعة {( x , y , z ) : (( x ² + y ² ) ^1/2 − r ) ² + z ² = R ² } هي حلقة دوارة بنصف قطر r و R. إنه سطح منتظم؛ يمكن إعطاء المعلمات المحلية من النموذج

${\displaystyle f(s,t)={\big (}(R\cos s+r)\cos t,(R\cos s+r)\sin t,R\sin s{\big )}.}$

القطع الزائد على ورقتين {( x , y , z ): z ² = 1 + x ² + y ² } هو سطح منتظم؛ يمكن تغطيته برقعتين من مونج، مع h ( u , v ) = ±(1 + u ² + v ² ) ^1/2 . يظهر الحلزون في نظرية الأسطح الدنيا . وهو مغطى بمعلمة محلية واحدة، f ( u , v ) = ( u sin v , u cos v , v ) .

ليكن S سطحًا منتظمًا في ℝ ³ ، وليكن p عنصرًا من S. باستخدام أي من التعريفات المذكورة أعلاه، يمكن للمرء أن يميز متجهات معينة في ℝ ³ على أنها مماسة لـ S عند p ، ومتجهات معينة في ℝ ³ على أنها متعامدة على S عند p .

الأشياء المستخدمة في التعريف	يكون المتجه X في ℝ 3 مماسًا لـ S عند p إذا ...	يكون المتجه n في ℝ 3 عموديًا على S عند p إذا...
المعلمات المحلية	... مع الأخذ في الاعتبار أي معلمة محلية f  : V → S مع p ∈ f ( V ) ، فإن X عبارة عن تركيبة خطية من و${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial u}}{\big |}_{f^{-1}(p)}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial v}}{\big |}_{f^{-1}(p)}}$	... إنه متعامد مع كل متجه مماس لـ S عند p
بقع مونج	... لأي رقعة مونج ( u , v ) ↦ ( u , v , h ( u , v )) التي يشمل نطاقها p ، يكون لدينا ${\displaystyle X^{1}{\frac {\partial h}{\partial u}}+X^{2}{\frac {\partial h}{\partial v}}-X^{3}=0,}$ مع المشتقات الجزئية المقيمة عند النقطة ( p 1 ، p 2 ) . ينطبق التعريف التناظري في حالة رقع مونج للشكلين الآخرين.	... لأي رقعة مونج ( u , v ) ↦ ( u , v , h ( u , v )) التي يشمل نطاقها p ، فإن n مضاعف لـ ( ⁠∂ ح/∂ و⁠ , ⁠∂ ح/∂ ف⁠ ، −1) كما تم تقييمها عند النقطة ( p 1 ، p 2 ) . ينطبق التعريف التناظري في حالة رقع مونج للشكلين الآخرين.
الوظائف الضمنية	... لأي دالة تعريف محلية F التي يحتوي مجالها على p ، فإن X متعامدة مع ∇ F ( p )	... لأي دالة تعريف محلية F التي يحتوي مجالها على p ، فإن n مضاعف لـ ∇ F ( p )

نرى أن الفضاء المماس أو المستوى المماس لـ S عند p ، والذي تم تعريفه بحيث يتكون من جميع المتجهات المماسّة لـ S عند p ، هو فضاء فرعي خطي ثنائي الأبعاد ℝ ³ ؛ وغالبًا ما يُشار إليه بـ T _p S. الفضاء العمودي لـ S عند p ، والذي تم تعريفه بحيث يتكون من جميع المتجهات العمودية لـ S عند p ، هو فضاء فرعي خطي أحادي البعد ℝ ³ وهو متعامد على الفضاء المماس T _p S. وعلى هذا النحو، عند كل نقطة p من S ، يوجد متجهان عموديان بطول وحدة (متجهان عموديان لوحدة). يمكن إعطاء المتجهات العمودية لوحدة عند p من حيث المعلمات المحلية أو رقع مونج أو الدوال التعريفية المحلية، عبر الصيغ

${\displaystyle \pm \left.{\frac {{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}}{{\big \|}{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}{\big \|}}}\right|_{f^{-1}(p)},\qquad \pm \left.{\frac {{\big (}{\frac {\partial h}{\partial u}},{\frac {\partial h}{\partial v}},-1{\big )}}{\sqrt {1+{\big (}{\frac {\partial h}{\partial u}}{\big )}^{2}+{\big (}{\frac {\partial h}{\partial v}}{\big )}^{2}}}}\right|_{(p_{1},p_{2})},\qquad {\text{أو}}\qquad \pm {\frac {\nabla F(p)}{{\big \|}\nabla F(p){\big \|}}},}$

باتباع نفس الترميزات المذكورة في التعريفات السابقة.

من المفيد أيضًا ملاحظة تعريف "جوهري" لمتجهات الظل، وهو نموذجي لتعميم نظرية السطح المنتظم على إعداد متعددات الشعب الملساء . وهو يحدد الفضاء المماس باعتباره فضاء متجه حقيقي ثنائي الأبعاد مجرد، وليس فضاء فرعي خطي لـ ℝ ^3. في هذا التعريف، يقال إن متجه الظل إلى S عند p هو تخصيص، لكل معلمة محلية f  : V → S مع p ∈ f ( V ) ، لعددين X ¹ و X ² ، بحيث لأي معلمة محلية أخرى f ′ : V → S مع p ∈ f ( V ) (ومع الأعداد المقابلة ( X ′) ¹ و ( X ′) ² )، يكون لدينا

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X^{1}\\X^{2}\end{pmatrix}}=A_{f'(p)}{\begin{pmatrix}(X')^{1}\\(X')^{2}\end{pmatrix}},}$

حيث A _{f ′( p )} هي مصفوفة جاكوبي للتعيين f ⁻¹ ∘ f ′ ، المقيمة عند النقطة f ′( p ) . إن مجموعة المتجهات المماسية لـ S عند p لها بطبيعة الحال بنية فضاء متجه ثنائي الأبعاد. يتوافق المتجه المماسي بهذا المعنى مع المتجه المماسي بالمعنى السابق من خلال النظر إلى المتجه

${\displaystyle X^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+X^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}.}$

في ℝ ^3. يضمن الشرط الجاكوبي على X ¹ و X ² ، وفقًا لقاعدة السلسلة ، أن هذا المتجه لا يعتمد على f .

بالنسبة للوظائف السلسة على سطح، فإن حقول المتجهات (أي حقول المتجهات المماسية) لها تفسير مهم كمشغلات أو اشتقاقات من الدرجة الأولى. لنفترض أن لدينا سطحًا منتظمًا ومجموعة فرعية مفتوحة من المستوى ومخطط إحداثيات. إذا كان ، يمكن تحديد المساحة بـ . وبالمثل، يتم تحديد حقول المتجهات على مع حقول المتجهات على . بأخذ المتغيرات القياسية u و v ، يكون حقل المتجه على الشكل ، مع دوال سلسة a و b . إذا كان حقل متجه و دالة سلسة، فإن تكون أيضًا دالة سلسة. عامل التفاضل من الدرجة الأولى هو اشتقاق ، أي أنه يلبي قاعدة لايبنيز ^[19]${\displaystyle S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f:U\rightarrow S}$${\displaystyle V=f(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(V)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X=a\partial _{u}+b\partial _{v}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Xg}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X(gh)=(Xg)h+g(Xh).}$

بالنسبة لحقول المتجهات X و Y، من السهل التحقق من أن المشغل عبارة عن اشتقاق يتوافق مع حقل متجه. يُطلق عليه اسم قوس الكذب . وهو متماثل مائل ويلبي هوية جاكوبي: ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$

${\displaystyle [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.}$

باختصار، حقول المتجهات على أو تشكل جبرًا كاذبًا أسفل قوس الكاذب. ^[20]${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

ليكن S سطحًا منتظمًا في ℝ ^3. مع الأخذ في الاعتبار معلمة محلية f  : V → S وحقل متجه عمودي وحدوي n إلى f ( V ) ، يمكن تعريف الكائنات التالية على أنها دوال ذات قيمة حقيقية أو ذات قيمة مصفوفة على V. يعتمد الشكل الأساسي الأول فقط على f ، وليس على n . يسجل العمود الرابع الطريقة التي تعتمد بها هذه الدوال على f ، من خلال ربط الدوال E ′ و F ′ و G ′ و L ′ وما إلى ذلك، الناشئة عن اختيار مختلف للمعلمة المحلية، f ′: V ′ → S ، بتلك الناشئة عن f . هنا يشير A إلى مصفوفة جاكوبيان f ^–1 ∘ f ′ . العلاقة الأساسية في تحديد صيغ العمود الرابع هي إذن

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f'}{\partial u}}\\{\frac {\partial f'}{\partial v}}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial u}}\\{\frac {\partial f}{\partial v}}\end{pmatrix}},}$

كما هو متبع بقاعدة السلسلة .

مصطلحات	تدوين	تعريف	الاعتماد على المعلمة المحلية
الشكل الأساسي الأول	هـ	${\displaystyle E={\frac {\partial f}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial u}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}A^{T}}$
	ف	${\displaystyle F={\frac {\partial f}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial v}}}$
	ج	${\displaystyle G={\frac {\partial f}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial v}}}$
الشكل الأساسي الثاني	ل	${\displaystyle L={\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}\cdot n}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}L'&M'\\M'&N'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}A^{T}}$
	م	${\displaystyle M={\frac {\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}}\cdot n}$
	ن	${\displaystyle N={\frac {\partial ^{2}f}{\partial v^{2}}}\cdot n}$
عامل الشكل [21]	ص	${\displaystyle P={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle P'=APA^{-1}}$
انحناء غاوسي	ك	${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}}$	${\displaystyle K'=K}$
متوسط ​​الانحناء	ح	${\displaystyle H={\frac {GL-2FM+EN}{2(EG-F^{2})}}}$	${\displaystyle H'=H}$
الانحناءات الرئيسية	${\displaystyle \kappa _{\pm }}$	${\displaystyle H\pm {\sqrt {H^{2}-K}}}$	${\displaystyle \kappa _{\pm }'=\kappa _{\pm }}$

من خلال حساب مباشر باستخدام المصفوفة التي تحدد عامل الشكل، يمكن التحقق من أن الانحناء الغاوسي هو محدد عامل الشكل، وأن متوسط ​​الانحناء هو نصف أثر عامل الشكل، وأن الانحناءات الرئيسية هي القيم الذاتية لعامل الشكل؛ علاوة على ذلك، فإن الانحناء الغاوسي هو حاصل ضرب الانحناءات الرئيسية وأن متوسط ​​الانحناء هو مجموعهما. يمكن أيضًا صياغة هذه الملاحظات على أنها تعريفات لهذه الكائنات. توضح هذه الملاحظات أيضًا أن الصفوف الثلاثة الأخيرة من العمود الرابع تتبع مباشرة من الصف السابق، حيث أن المصفوفات المتشابهة لها محدد وأثر وقيم ذاتية متطابقة. من المهم ملاحظة أن E و G و EG − F ² كلها موجبة بالضرورة. وهذا يضمن أن معكوس المصفوفة في تعريف عامل الشكل محدد جيدًا، وأن الانحناءات الرئيسية هي أرقام حقيقية.

لاحظ أيضًا أن نفي اختيار حقل متجه الوحدة الطبيعي سينفي الشكل الأساسي الثاني، ومشغل الشكل، والانحناء المتوسط، والانحناءات الرئيسية، لكنه سيترك الانحناء الغاوسي دون تغيير. باختصار، أظهر هذا أنه في حالة وجود سطح منتظم S ، يمكن اعتبار الانحناء الغاوسي لـ S دالة ذات قيمة حقيقية على S ؛ وبالنسبة لاختيار حقل متجه الوحدة الطبيعي على كل S ، فإن المنحنيين الرئيسيين والانحناء المتوسط ​​هي أيضًا دوال ذات قيمة حقيقية على S.

هندسيًا، يمكن النظر إلى الشكلين الأساسيين الأول والثاني على أنهما يعطيان معلومات حول كيفية تحرك f ( u ، v ) في ℝ ³ بينما يتحرك ( u ، v ) في V. على وجه الخصوص، يشفر الشكل الأساسي الأول مدى سرعة تحرك f ، بينما يشفر الشكل الأساسي الثاني مدى حركته في اتجاه المتجه العمودي n . بعبارة أخرى، يشفر الشكل الأساسي الثاني عند نقطة p طول الإسقاط المتعامد من S إلى المستوى المماس إلى S عند p ؛ على وجه الخصوص، يعطي الدالة التربيعية التي تقرب هذا الطول بشكل أفضل. يمكن جعل هذا التفكير دقيقًا من خلال الصيغ

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big |}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big |}^{2}-{\big (}Eh^{2}+2Fhk+Gk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0\\\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big (}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big )}\cdot n-{\frac {1}{2}}{\big (}Lh^{2}+2Mhk+Nk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0,\end{aligned}}}$

كما يلي مباشرة من تعريفات الأشكال الأساسية ونظرية تايلور في بعدين. يمكن النظر إلى الانحناءات الرئيسية بالطريقة التالية. عند نقطة معينة p من S ، ضع في اعتبارك مجموعة جميع المستويات التي تحتوي على الخط المتعامد على S. يحتوي كل مستوى من هذه المستويات على منحنى تقاطع مع S ، والذي يمكن اعتباره منحنى مستويًا داخل المستوى نفسه. المنحنيان الرئيسيان عند p هما الحد الأقصى والحد الأدنى للقيم الممكنة لانحناء منحنى المستوى هذا عند p ، حيث يدور المستوى قيد النظر حول الخط العمودي.

يلخص ما يلي حساب الكميات المذكورة أعلاه بالنسبة إلى رقعة مونج f ( u , v ) = ( u , v , h ( u , v )) . هنا يشير h _u و h _v إلى المشتقتين الجزئيتين لـ h ، مع تدوين مماثل للمشتقات الجزئية الثانية. يتم حساب الشكل الأساسي الثاني وجميع الكميات اللاحقة بالنسبة للاختيار المعطى لحقل متجه الوحدة الطبيعي.

كمية	صيغة
حقل متجه الوحدة الطبيعية	${\displaystyle n={\frac {(-h_{u},-h_{v},1)}{\sqrt {1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2}}}}}$
الشكل الأساسي الأول	${\displaystyle {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+h_{u}^{2}&h_{u}h_{v}\\h_{u}h_{v}&1+h_{v}^{2}\end{pmatrix}}}$
الشكل الأساسي الثاني	${\displaystyle {\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2}}}}{\begin{pmatrix}h_{uu}&h_{uv}\\h_{uv}&h_{vv}\end{pmatrix}}}$
عامل الشكل	${\displaystyle P={\frac {1}{(1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2})^{3/2}}}{\begin{pmatrix}h_{uu}(1+h_{v}^{2})-h_{uv}h_{u}h_{v}&h_{uv}(1+h_{v}^{2})-h_{vv}h_{u}h_{v}\\h_{uv}(1+h_{u}^{2})-h_{uu}h_{u}h_{v}&h_{vv}(1+h_{u}^{2})-h_{uv}h_{u}h_{v}\end{pmatrix}}}$
انحناء غاوسي	${\displaystyle K={\frac {h_{uu}h_{vv}-h_{uv}^{2}}{(1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2})^{2}}}}$
متوسط ​​الانحناء	${\displaystyle H={\frac {(1+h_{v}^{2})h_{uu}-2h_{u}h_{v}h_{uv}+(1+h_{u}^{2})h_{vv}}{2(1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2})^{3/2}}}}$

ليكن S سطحًا منتظمًا في ℝ ^3. تُعين رموز Christoffel ، لكل معلمة محلية f  : V → S ، ثماني دوال على V ، يتم تعريفها بواسطة ^[22]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Gamma _{11}^{1}&\Gamma _{12}^{1}&\Gamma _{21}^{1}&\Gamma _{22}^{1}\\\Gamma _{11}^{2}&\Gamma _{12}^{2}&\Gamma _{21}^{2}&\Gamma _{22}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {\partial F}{\partial v}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{\frac {\partial F}{\partial u}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial v}}\end{pmatrix}}.}$

يمكن أيضًا تعريفها بالصيغ التالية، حيث n هو حقل متجه وحدة طبيعي على طول f ( V ) و L و M و N هي المكونات المقابلة للشكل الأساسي الثاني:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}&=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Ln\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}}&=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Mn\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial v^{2}}}&=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Nn.\end{aligned}}}$

المفتاح لهذا التعريف هو أن∂ ف/∂ و⁠ , ⁠∂ ف/∂ ف⁠ ، و n يشكلان أساسًا لـ ℝ ³ عند كل نقطة، والتي بالنسبة لها تحدد كل من المعادلات الثلاث بشكل فريد رموز كريستوفل كإحداثيات للمشتقات الجزئية الثانية لـ f . لا يؤثر اختيار الوحدة الطبيعية على رموز كريستوفل، لأنه إذا تم استبدال n بنفيها، فإن مكونات الشكل الأساسي الثاني تُنفي أيضًا، وبالتاليتظل علامات Ln و Mn و Nn دون تغيير.

يُظهر التعريف الثاني، في سياق المعلمات المحلية، أن رموز كريستوفل طبيعية هندسيًا. وعلى الرغم من أن الصيغ في التعريف الأول تبدو أقل طبيعية، إلا أنها تتمتع بأهمية إظهار أنه يمكن حساب رموز كريستوفل من الشكل الأساسي الأول، وهو ما لا يتضح فورًا من التعريف الثاني. ويمكن التحقق من تكافؤ التعريفات عن طريق استبدال التعريف الأول مباشرة في التعريف الثاني، واستخدام تعريفات E و F و G.

تؤكد معادلات كودازي أن ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial v}}-{\frac {\partial M}{\partial u}}&=L\Gamma _{12}^{1}+M(\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1})-N\Gamma _{11}^{2}\\{\frac {\partial M}{\partial v}}-{\frac {\partial N}{\partial u}}&=L\Gamma _{22}^{1}+M(\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1})-N\Gamma _{12}^{2}.\end{aligned}}}$

يمكن استنباط هذه المعادلات بشكل مباشر من التعريف الثاني لرموز كريستوفيل الموضح أعلاه؛ على سبيل المثال، يتم الحصول على معادلة كودازي الأولى عن طريق التمييز بين المعادلة الأولى بالنسبة إلى v ، والمعادلة الثانية بالنسبة إلى u ، وطرح الاثنتين، وأخذ حاصل الضرب النقطي مع n . تؤكد معادلة جاوس أن ^[24]

${\displaystyle {\begin{aligned}KE&={\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}\\KF&={\frac {\partial \Gamma _{12}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{22}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{1}\\KG&={\frac {\partial \Gamma _{22}^{1}}{\partial u}}-{\frac {\partial \Gamma _{12}^{1}}{\partial v}}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{22}^{1}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{21}^{1}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{22}^{1}\Gamma _{12}^{2}\end{aligned}}}$

يمكن اشتقاق هذه المعادلات على نحو مماثل لمعادلات كودازي، مع استخدام معادلات وينجارتن بدلاً من أخذ حاصل الضرب النقطي مع n . وعلى الرغم من كتابتها على هيئة ثلاث معادلات منفصلة، ​​فإنها متطابقة عندما يتم استبدال تعريفات رموز كريستوفيل، من حيث الشكل الأساسي الأول. هناك العديد من الطرق لكتابة التعبير الناتج، وقد اشتق أحدها في عام 1852 بواسطة بريوشي باستخدام استخدام ماهر للمحددات: ^{[25] [26]}

${\displaystyle K={\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial v^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial u^{2}}}&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial u}}-{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}\\{\frac {\partial F}{\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial v}}&F&G\end{pmatrix}}-{\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}0&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&F&G\end{pmatrix}}.}$

عندما يتم اعتبار رموز كريستوفيل محددة بالشكل الأساسي الأول، فإن معادلات جاوس وكودازي تمثل قيودًا معينة بين الشكلين الأساسيين الأول والثاني. معادلة جاوس جديرة بالملاحظة بشكل خاص، لأنها تُظهر أنه يمكن حساب الانحناء الغاوسي مباشرة من الشكل الأساسي الأول، دون الحاجة إلى أي معلومات أخرى؛ على نحو مكافئ، تقول هذه المعادلة أنه يمكن كتابة LN − M ² في الواقع كدالة لـ E و F و G ، على الرغم من أن المكونات الفردية L و M و N لا يمكنها ذلك. يُعرف هذا باسم نظرية egregium ، وكان اكتشافًا رئيسيًا لكارل فريدريش جاوس . إنه أمر لافت للنظر بشكل خاص عندما يتذكر المرء التعريف الهندسي للانحناء الغاوسي لـ S على أنه محدد بواسطة أقصى وأدنى نصف قطر للدوائر المتذبذبة؛ يبدو أنها محددة بشكل أساسي من خلال هندسة كيفية انحناء S داخل ℝ ³ . ومع ذلك، تُظهِر النظرية أنه يمكن تحديد حاصل ضربهما من الهندسة "الجوهرية" لـ S ، والتي تتعلق فقط بأطوال المنحنيات على طول S والزوايا المتكونة عند تقاطعاتها. وكما قال مارسيل بيرجر : ^[27]

إن هذه النظرية محيرة. [...] إنها من النوع الذي كان من الممكن أن ينتظر عشرات السنين قبل أن يكتشفها عالم رياضيات آخر، وذلك لأنها، على عكس الكثير من التاريخ الفكري، لم تكن في الهواء على الإطلاق. [...] وعلى حد علمنا، لا يوجد دليل هندسي بسيط على نظرية إيجريجيوم اليوم.

يمكن أيضًا التعبير عن معادلات جاوس-كودازي بشكل موجز واستنتاجها بلغة أشكال الاتصال بسبب إيلي كارتان . ^[28] في لغة حساب الموتر ، باستخدام المقاييس الطبيعية والاتصالات على حزم الموتر ، يمكن كتابة معادلة جاوس على النحو التالي: H ² − | h | ² = R ويمكن كتابة معادلتي كودازي على النحو التالي: ∇ ₁ h ₁₂ = ∇ ₂ h ₁₁ و ∇ ₁ h ₂₂ = ∇ ₂ h ₁₂ ؛ يتم امتصاص التعبيرات المعقدة المتعلقة برموز كريستوفيل والشكل الأساسي الأول تمامًا في تعريفات المشتق الموتر المتغير ∇ h والانحناء القياسي R. أثبت بيير بونيه أن الشكلين التربيعيين اللذين يلبيان معادلات جاوس-كودازي يحددان دائمًا سطحًا مدمجًا محليًا بشكل فريد. ^[29] لهذا السبب غالبًا ما تسمى معادلات جاوس-كودازي بالمعادلات الأساسية للأسطح المضمنة، والتي تحدد بدقة من أين تأتي الانحناءات الجوهرية والخارجية. وهي تسمح بالتعميمات على الأسطح المضمنة في متعددات ريمانية أكثر عمومية .

يقال عن التماثل التفاضلي بين المجموعات المفتوحة وفي سطح منتظم أنه تماثل قياس إذا حافظ على المقياس، أي الشكل الأساسي الأول. ^{[30] [31] [32]} وبالتالي، لكل نقطة في متجهين مماسين عند ، توجد مساوات ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle w_{1},\,\,w_{2}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle E(p)w_{1}\cdot w_{1}+2F(p)w_{1}\cdot w_{2}+G(p)w_{2}\cdot w_{2}=E(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{1})+2F(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2})+G(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2}).}$

من حيث المنتج الداخلي القادم من الشكل الأساسي الأول، يمكن إعادة كتابة ذلك على النحو التالي

${\displaystyle (w_{1},w_{2})_{p}=(\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}}$.

من ناحية أخرى، يمكن حساب طول المنحنى المعلمي على النحو التالي:${\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t))}$

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {E{\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+2F{\dot {x}}\cdot {\dot {y}}+G{\dot {y}}\cdot {\dot {y}}}}\,dt}$

وإذا كان المنحنى يقع في ، فإن قواعد تغيير المتغيرات تظهر أن ${\displaystyle U}$

${\displaystyle L(\varphi \circ \gamma )=L(\gamma ).}$

وعلى العكس من ذلك، إذا حافظت على أطوال جميع المعلمات في المنحنيات، فإن ذلك يكون تساوي القياس. في الواقع، بالنسبة للاختيارات المناسبة لـ ، فإن متجهات الظل و تعطي متجهات ظل تعسفية و . يجب أن تكون المساواة صحيحة لجميع اختيارات متجهات الظل و وكذلك و ، بحيث . ^[33]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle {\dot {y}}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle \varphi ^{\prime }(w_{1})}$${\displaystyle \varphi ^{\prime }(w_{2})}$${\displaystyle (\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}=(w_{1},w_{1})_{p}}$

يتم توفير مثال بسيط للقياس المتساوي من خلال معاملين و لمجموعة مفتوحة في أسطح منتظمة و . إذا و و ، فإن القياس المتساوي لـ على . ^[34]${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$${\displaystyle G_{1}=G_{2}}$${\displaystyle \varphi =f_{2}\circ f_{1}^{-1}}$${\displaystyle f_{1}(U)}$${\displaystyle f_{2}(U)}$

تعطي الأسطوانة والمستوى أمثلة على الأسطح التي تكون متساوية القياس محليًا ولكن لا يمكن تمديدها إلى متساوية القياس لأسباب طوبولوجية. ^[35] كمثال آخر، يكون الشكل الحلزوني والشكل الحلزوني متساويين القياس محليًا. ^[36]

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (August 2020) (Learn how and when to remove this message)

يقوم حقل متجه مماسي X على S بتعيين متجه مماسي X _p إلى S عند p لكل p في S. ووفقًا للتعريف "الجوهري" لمتجهات الظل الموضح أعلاه، يقوم حقل متجه مماسي X بتعيين دالتين حقيقيتين X ¹ و X ² على V لكل معلمة محلية f  : V → S ، بحيث

${\displaystyle X_{p}=X^{1}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial u}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+X^{2}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial v}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}}$

لكل p في S. يقال أن X سلسة إذا كانت الدالتان X ¹ و X ² سلستين، لأي اختيار من f . ^[37] وفقًا للتعاريف الأخرى للمتجهات المماسية الواردة أعلاه، يمكن للمرء أيضًا اعتبار حقل متجه مماسي X على S بمثابة خريطة X  : S → ℝ ³ بحيث يكون X ( p ) موجودًا في الفضاء المماس T _p S ⊂ ℝ ³ لكل p في S. كما هو شائع في الموقف الأكثر عمومية للمتعددات الملساء ، يمكن أيضًا تعريف حقول المتجهات المماسية على أنها عوامل تفاضلية معينة على فضاء الدوال الملساء على S.

توفر المشتقات المتغيرة (والتي تسمى أيضًا "المشتقات المماسية") لتوليو ليفي سيفيتا وجريجوريو ريتشي كورباسترو وسيلة للتمييز بين حقول المتجهات المماسية السلسة. بالنظر إلى حقل متجه مماسي X ومتجه مماسي Y إلى S عند p ، فإن المشتقة المتغيرة ∇ _Y X هي متجه مماسي معين إلى S عند p . وبالتالي، إذا كان كل من X و Y حقلي متجه مماسي، فيمكن اعتبار ∇ _Y X أيضًا حقل متجه مماسي؛ بشكل تكراري، إذا كانت X و Y و Z حقول متجه مماسي، فيمكن للمرء حساب ∇ _Z ∇ _Y X ، والذي سيكون حقل متجه مماسي آخر. هناك عدة طرق لتعريف المشتقة المتغيرة؛ الأولى أدناه تستخدم رموز كريستوفيل والتعريف "الجوهري" للمتجهات المماسية، والثانية هندسية بشكل أكثر وضوحًا.

بالنظر إلى حقل متجه مماس X ومتجه مماس Y إلى S عند p ، يتم تعريف ∇ _Y X ليكون متجه مماس إلى p والذي يعين إلى معلمة محلية f  : V → S الرقمين

${\displaystyle (\nabla _{Y}X)^{k}=D_{(Y^{1},Y^{2})}X^{k}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}{\big (}\Gamma _{ij}^{k}X^{j}{\big )}{\Big |}_{f^{-1}(p)}Y^{i},\qquad (k=1,2)}$

حيث D _{( Y ¹ ، Y ² )} هو المشتق الاتجاهي . ^[38] غالبًا ما يتم اختصار ذلك في الشكل الأقل تعقيدًا (∇ _Y X ) ^k = ∂ _Y ( X ^k ) + Y ⁱ Γ ^ك
_جX ^j ، باستخدام تدوين أينشتاين مع فهم مواقع تقييم الوظيفة ضمناً. يتبع هذا وصفة قياسية في الهندسة الريمانية للحصول على اتصال من مقياس ريماني . إنها حقيقة أساسية أن المتجه

${\displaystyle (\nabla _{Y}X)^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+(\nabla _{Y}X)^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}}$

في ℝ ³ مستقل عن اختيار المعلمة المحلية f ، على الرغم من أن التحقق من ذلك أمر مرهق إلى حد ما.

يمكن للمرء أيضًا تعريف المشتقة المتغيرة من خلال النهج الهندسي التالي، والذي لا يستخدم رموز كريستوفل أو المعاملات المحلية. ^{[39] [40] [41]} دع X يكون حقل متجه على S ، يُنظر إليه كدالة S → ℝ ^3. بالنظر إلى أي منحنى c  : ( a , b ) → S ، يمكن للمرء أن يفكر في التركيب X ∘ c  : ( a , b ) → ℝ ^3. كخريطة بين الفضاءات الإقليدية، يمكن تمييزها عند أي قيمة إدخال للحصول على عنصر ( X ∘ c )′( t ) من ℝ ^3. يحدد الإسقاط المتعامد لهذا المتجه على T _{c ( t )} S المشتقة المتغيرة ∇ _{c ′( t )} X. على الرغم من أن هذا تعريف هندسي نظيف للغاية، فمن الضروري إظهار أن النتيجة تعتمد فقط على c ′( t ) و X ، وليس على c و X ؛ يمكن استخدام المعلمات المحلية لهذه الحجة التقنية الصغيرة.

لا يتضح فورًا من التعريف الثاني أن التمايز المتغير يعتمد فقط على الشكل الأساسي الأول لـ S ؛ ومع ذلك، يتضح هذا فورًا من التعريف الأول، حيث يمكن تعريف رموز كريستوفيل مباشرة من الشكل الأساسي الأول. من السهل التحقق من أن التعريفين متكافئان. المفتاح هو أنه عندما ننظر إلى X ¹∂ ف/∂ و+ × ²​​∂ ف/∂ فباعتبارها دالة ذات قيمة ℝ ³ ، فإن اشتقاقها على طول منحنى يؤدي إلى مشتقات جزئية ثانية ∂ ² f ؛ تدخل رموز كريستوفيل بإسقاط متعامد على الفضاء المماس، بسبب صياغة رموز كريستوفيل كمكونات مماسية للمشتقات الثانية لـ f بالنسبة للأساس∂ ف/∂ و⁠ , ⁠∂ ف/∂ ف⁠ ، ن . ^[38] تمت مناقشة هذا في القسم أعلاه.

يمكن التعبير عن الجانب الأيمن من معادلات جاوس الثلاث باستخدام التمايز المتغير. على سبيل المثال، الجانب الأيمن

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}}$

يمكن التعرف عليها باعتبارها الإحداثيات الثانية لـ

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial f}{\partial u}}-\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial f}{\partial u}}}$

بالنسبة إلى الأساس∂ ف/∂ و⁠ , ⁠∂ ف/∂ ف⁠ ، كما يمكن التحقق منه بشكل مباشر باستخدام تعريف التمايز المتغير بواسطة رموز كريستوفل. في لغة الهندسة الريمانية ، يمكن أيضًا صياغة هذه الملاحظة على أنها تقول إن الجانبين الأيمنين لمعادلات جاوس عبارة عن مكونات مختلفة لمنحنى ريتشي لاتصال ليفي-سيفيتا للشكل الأساسي الأول، عند تفسيره كمقياس ريماني .

يتم الحصول على سطح الدوران عن طريق تدوير منحنى في المستوى xz حول المحور z . تشمل هذه الأسطح الكرات والأسطوانات والمخاريط والحلقات والمكعبات . لا تكون القطع الناقص والقطع الزائد والمكافئ عامة كذلك. افترض أن المنحنى له معلمة

${\displaystyle x=c_{1}(s),\,\,z=c_{2}(s)}$

مع رسم s من الفاصلة ( a ، b ) . إذا لم تكن c ₁ تساوي صفرًا أبدًا، وإذا لم تكن c ₁ ′ و c ₂ ′ مساوية للصفر أبدًا، وإذا كانت c ₁ و c ₂ ناعمتين، فإن السطح المقابل للدوران

${\displaystyle S={\Big \{}{\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}\colon s\in (a,b){\text{ and }}t\in \mathbb {R} {\Big \}}}$

سيكون سطحًا منتظمًا في ℝ ^3. يتم إعطاء المعلمة المحلية f  : ( a , b ) × (0, 2π) → S بواسطة

${\displaystyle f(s,t)={\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}.}$

بالنسبة لهذه المعلمة، فإن البيانات الهندسية هي: ^[42]

كمية	صيغة
حقل متجه الوحدة الطبيعية	${\displaystyle n={\frac {{\big (}-c_{2}'(s)\cos t,-c_{2}'(s)\sin t,c_{1}'(s){\big )}}{\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}}$
الشكل الأساسي الأول	${\displaystyle {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}&0\\0&c_{1}(s)^{2}\end{pmatrix}}}$
الشكل الأساسي الثاني	${\displaystyle {\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)}{\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}&0\\0&{\frac {c_{1}(s)c_{2}'(s)}{\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}\end{pmatrix}}}$
الانحناءات الرئيسية	${\displaystyle {\frac {c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)}{{\big (}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}{\big )}^{3/2}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s){\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}}}$
انحناء غاوسي	${\displaystyle K={\frac {c_{2}'(s){\big (}c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s){\big )}}{c_{1}(s){\big (}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}{\big )}^{2}}}}$
متوسط ​​الانحناء	${\displaystyle H={\frac {1}{2}}{\frac {c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)}{{\big (}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}{\big )}^{3/2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s){\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}}.}$

في الحالة الخاصة التي يتم فيها تحديد معلمة المنحنى الأصلي بطول القوس، أي ( c ₁ ′( s )) ² + ( c ₂ ′( s )) ² = 1 ، يمكننا التفاضل لإيجاد c ₁ ′( s ) c ₁ "( s ) + c ₂ ′( s ) c ₂ "( s ) = 0. عند التعويض في الانحناء الغاوسي، نحصل على الانحناء المبسط

${\displaystyle K=-{\frac {c_{1}''(s)}{c_{1}(s)}}\qquad {\text{and}}\qquad H=c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)+{\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s)}}.}$

إن بساطة هذه الصيغة تجعل من السهل بشكل خاص دراسة فئة الأسطح المتماثلة دورانيًا ذات الانحناء الغاوسي الثابت. ^[43] من خلال الاختزال إلى الحالة البديلة التي تكون فيها c ₂ (s) = s ، يمكن للمرء دراسة الأسطح الدنيا المتماثلة دورانيًا، مع النتيجة التي مفادها أن أي سطح من هذا القبيل هو جزء من مستوٍ أو سلك حلزوني مُدرج. ^[44]

يمكن تحديد معلمة كل منحنى ثابت- t على S كجيوديسي؛ ويمكن تحديد معلمة منحنى ثابت- s على S كجيوديسي إذا وفقط إذا كان c ₁ ′(s) يساوي صفرًا. بشكل عام، تخضع الجيوديسيات على S لعلاقة كليروت .

ضع في اعتبارك السطح التربيعي المحدد بواسطة ^[45]

${\displaystyle {x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.}$

هذا السطح يسمح بمعاملة

${\displaystyle x={\sqrt {a(a-u)(a-v) \over (a-b)(a-c)}},\,\,y={\sqrt {b(b-u)(b-v) \over (b-a)(b-c)}},\,\,z={\sqrt {c(c-u)(c-v) \over (c-b)(c-a)}}.}$

يتم إعطاء الانحناء الغاوسي والانحناء المتوسط ​​بواسطة

${\displaystyle K={abc \over u^{2}v^{2}},\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^{3}}}.}$

السطح المحكم هو السطح الذي يمكن توليده من خلال حركة خط مستقيم في E 3. ^{[ 46]} باختيار دليل على السطح، أي منحنى سرعة وحدة سلس c ( t ) متعامد على الخطوط المستقيمة، ثم اختيار u ( t ) ليكون متجه وحدة على طول المنحنى في اتجاه الخطوط، فإن متجه السرعة v = c _t و u يلبي

${\displaystyle u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.}$

يتكون السطح من نقاط

${\displaystyle c(t)+s\cdot u(t)}$

كما أن s و t يختلفان.

ثم إذا

${\displaystyle a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2}}},\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},}$

يتم إعطاء الانحناء الغاوسي والمتوسط ​​بواسطة

${\displaystyle K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2}},\,\,K_{m}=-{r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.}$

يختفي الانحناء الغاوسي للسطح المرسوم إذا وفقط إذا كان كل من u _t و v متناسبين، ^[47] وهذا الشرط يعادل كون السطح غلافًا للمستويات على طول المنحنى الذي يحتوي على المتجه المماس v والمتجه المتعامد u ، أي أن السطح قابل للتطوير على طول المنحنى. ^[48] وبشكل عام، فإن السطح في E ³ له انحناء غاوسي متلاشي بالقرب من نقطة إذا وفقط إذا كان قابلًا للتطوير بالقرب من تلك النقطة. ^[49] (يوجد شرط مكافئ أدناه من حيث المقياس المتري.)

في عام 1760، قام لاجرانج بتوسيع نتائج أويلر في حساب التغيرات التي تتضمن تكاملات في متغير واحد إلى متغيرين. ^[50] كان في ذهنه المشكلة التالية:

بالنظر إلى منحنى مغلق في E ³ ، ابحث عن سطح يكون المنحنى بمثابة حدود له مع الحد الأدنى من المساحة.

يُطلق على هذا السطح اسم السطح الأدنى .

في عام 1776 أظهر جان بابتيست موزنيه أن المعادلة التفاضلية التي استنتجها لاجرانج كانت تعادل اختفاء الانحناء المتوسط ​​للسطح:

يكون السطح ضئيلاً إذا وفقط إذا اختفى متوسط ​​انحنائه.

إن الأسطح الدنيا لها تفسير بسيط في الحياة الواقعية: فهي الشكل الذي تتخذه طبقة الصابون إذا تم غمس إطار سلكي على شكل المنحنى في محلول صابون ثم رفعه بعناية. إن السؤال حول ما إذا كان السطح الدنيا ذو الحدود المحددة موجودًا يسمى مشكلة بلاتو نسبة إلى الفيزيائي البلجيكي جوزيف بلاتو الذي أجرى تجارب على طبقات الصابون في منتصف القرن التاسع عشر. في عام 1930 أعطى جيسي دوغلاس وتيبور رادو إجابة إيجابية لمشكلة بلاتو (حصل دوغلاس على واحدة من أولى ميداليات فيلدز لهذا العمل في عام 1936). ^[51]

هناك العديد من الأمثلة الصريحة للسطح الأدنى المعروفة صراحةً، مثل الكاتنينويد واللولب وسطح شيرك وسطح إينيبر . وقد أجريت أبحاث واسعة النطاق في هذا المجال، ملخصة في أوسيرمان (2002). وعلى وجه الخصوص ، تظهر نتيجة أوسيرمان أنه إذا كان السطح الأدنى غير مستوٍ، فإن صورته تحت خريطة جاوس تكون كثيفة في S ² .

إذا كان السطح له انحناء غاوسي ثابت، فإنه يسمى سطحًا ذو انحناء ثابت . ^[52]

• تحتوي الكرة الوحدوية في E ³ على انحناء غاوسي ثابت +1.
• يحتوي كل من المستوى الإقليدي والأسطوانة على انحناء غاوسي ثابت يساوي 0.
• تحتوي شبه الكرة الوحدوية على انحناء غاوسي ثابت -1 (بصرف النظر عن خط استوائها، أي مفرد ). يمكن الحصول على شبه الكرة عن طريق تدوير مسار حول مقاربه. في عام 1868 أظهر يوجينيو بلترامي أن هندسة شبه الكرة كانت مرتبطة بشكل مباشر بهندسة المستوى الزائدي الأكثر تجريدًا ، والذي اكتشفه بشكل مستقل لوباتشيفسكي (1830) وبولياي (1832). في عام 1840، حصل ف. ميندينغ، أحد طلاب غاوس، على صيغ مثلثية لشبه الكرة مطابقة لتلك الخاصة بالمستوى الزائدي. ^[53] أصبح من الممكن الآن فهم الهندسة الجوهرية لهذا السطح بشكل أفضل من حيث مقياس بوانكاريه على المستوى النصف العلوي أو القرص الوحدوي ، وقد تم وصفها بواسطة نماذج أخرى مثل نموذج كلاين أو نموذج القطع الزائد ، والذي تم الحصول عليه من خلال النظر في القطع الزائد ذي الصفحتين q ( x ، y ، z ) = −1 في فضاء مينكوفسكي ثلاثي الأبعاد ، حيث q ( x ، y ، z ) = x ² + y ² – z ^{2. [54]}

إن الكرة والمستوى والمستوى الزائدي لديهما مجموعة لي متعدية من التناظرات. وهذه الحقيقة النظرية للمجموعة لها عواقب بعيدة المدى، وهي أكثر إثارة للإعجاب بسبب الدور المركزي الذي تلعبه هذه الأسطح الخاصة في هندسة الأسطح، وذلك وفقًا لنظرية التوحيد لبوانكاريه (انظر أدناه).

تشمل الأمثلة الأخرى للأسطح ذات الانحناء الغاوسي 0 المخاريط ، والأسطح القابلة للتطوير المماسية ، وبشكل عام أي سطح قابل للتطوير.

بالنسبة لأي سطح مُضمن في فضاء إقليدي ذي بُعد 3 أو أعلى، من الممكن قياس طول منحنى على السطح والزاوية بين منحنيين ومساحة منطقة على السطح. يتم ترميز هذا الهيكل بشكل لا نهائي في مقياس ريماني على السطح من خلال عناصر الخط وعناصر المساحة . كلاسيكيًا في القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين، كانت الأسطح المُضمنة في R3 فقط ^هي التي تم أخذها في الاعتبار وكان المقياس يُعطى كمصفوفة محددة موجبة 2 × 2 تتغير بسلاسة من نقطة إلى أخرى في معلمة محلية للسطح. تم إضفاء الطابع الرسمي على فكرة المعلمة المحلية وتغيير الإحداثيات لاحقًا من خلال المفهوم المجرد الحالي للمتعدد الشعب ، وهو فضاء طوبولوجي حيث يتم إعطاء الهيكل السلس من خلال المخططات المحلية على المتعدد الشعب، تمامًا كما يتم رسم خريطة كوكب الأرض بواسطة الأطالس اليوم. يلزم إجراء تغييرات في الإحداثيات بين المخططات المختلفة لنفس المنطقة لتكون سلسة. تمامًا كما تشفر خطوط الكنتور على الخرائط الواقعية التغيرات في الارتفاع، مع مراعاة التشوهات المحلية لسطح الأرض لحساب المسافات الحقيقية، فإن المقياس الريماني يصف المسافات والمساحات "بالصغيرة" في كل مخطط محلي. في كل مخطط محلي، يتم إعطاء مقياس ريماني من خلال تعيين مصفوفة محددة موجبة 2 × 2 بسلاسة لكل نقطة؛ عند أخذ مخطط مختلف، يتم تحويل المصفوفة وفقًا لمصفوفة جاكوبي لتغيير الإحداثيات. ثم يكون للمتعدد الشعب بنية متعدد الشعب الريماني ثنائي الأبعاد .

يمكن استخدام dn التفاضلي لخريطة جاوس n لتحديد نوع من الانحناء الخارجي، والمعروف باسم عامل الشكل ^[55] أو خريطة وينجارتن . ظهر هذا العامل لأول مرة ضمنيًا في عمل فيلهلم بلاشكه ثم ظهر صراحةً لاحقًا في أطروحة كتبها بورالي فورتي وبورجاتي. ^[56] نظرًا لأن الفضاء المماس عند كل نقطة x من السطح هو فضاء حاصل ضرب داخلي ، يمكن تعريف عامل الشكل S _x كمشغل خطي على هذا الفضاء بالصيغة

${\displaystyle (S_{x}v,w)=(dn(v),w)}$

بالنسبة لمتجهات الظل v و w (الناتج الداخلي منطقي لأن dn ( v ) و w يقعان في E ³ ). ^[ج] الجانب الأيمن متماثل في v و w ، لذا فإن عامل الشكل مترافق ذاتيًا في فضاء الظل. القيم الذاتية لـ S _x هي مجرد الانحناءات الرئيسية k ₁ و k ₂ عند x . على وجه الخصوص، فإن محدد عامل الشكل عند نقطة ما هو الانحناء الغاوسي، ولكنه يحتوي أيضًا على معلومات أخرى، لأن متوسط ​​الانحناء هو نصف أثر عامل الشكل. متوسط ​​الانحناء هو ثابت خارجي. في الهندسة الجوهرية، تكون الأسطوانة قابلة للتطوير، مما يعني أن كل قطعة منها لا يمكن تمييزها جوهريًا عن قطعة من المستوى لأن انحناء غاوس الخاص بها يتلاشى بشكل متطابق. ومع ذلك، فإن متوسط ​​انحناءها ليس صفراً؛ وبالتالي فهي تختلف خارجيًا عن المستوى.

على نحو مكافئ، يمكن تعريف عامل الشكل كمشغل خطي في المساحات المماسية، S _p :  T _p M → T _p M . إذا كان n حقلًا عموديًا وحدويًا على M وكان v متجهًا مماسًا، فإن

${\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n}$

(لا يوجد اتفاق قياسي حول ما إذا كان يجب استخدام + أو − في التعريف).

بشكل عام، تحدد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية لمشغل الشكل عند كل نقطة الاتجاهات التي ينحني بها السطح عند كل نقطة. تتوافق القيم الذاتية مع الانحناءات الرئيسية للسطح والمتجهات الذاتية هي الاتجاهات الرئيسية المقابلة. تحدد الاتجاهات الرئيسية الاتجاهات التي يجب أن يسلكها المنحنى المضمن في السطح ليكون له انحناء أقصى وأدنى، ويتم تحديد هذه الاتجاهات بواسطة الانحناءات الرئيسية.

تُسمى المنحنيات الموجودة على السطح والتي تقلل الطول بين النقطتين النهائيتين بالجيوديسيات ؛ وهي الشكل الذي يتخذه الشريط المطاطي الممتد بين النقطتين. يتم وصفها رياضيًا باستخدام المعادلات التفاضلية العادية وحساب الاختلافات . تدور الهندسة التفاضلية للأسطح حول دراسة الجيوديسيات. لا يزال السؤال مفتوحًا عما إذا كان كل مقياس ريماني على مخطط محلي ثنائي الأبعاد ينشأ من تضمين في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد: تم استخدام نظرية الجيوديسيات لإظهار أن هذا صحيح في الحالة المهمة عندما تكون مكونات المقياس تحليلية .

بالنظر إلى المسار السلس القطعي c ( t ) = ( x ( t )، y ( t )) في الرسم البياني لـ t في [ a ، b ] ، يتم تحديد طوله بواسطة

${\displaystyle L(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})^{\frac {1}{2}}\,dt}$

والطاقة من خلال

${\displaystyle E(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})\,dt.}$

الطول مستقل عن معلمة المسار. وفقًا لمعادلات أويلر-لاجرانج ، إذا كان c ( t ) مسارًا يقلل الطول، معلمًا بواسطة arclength ، فيجب أن يلبي معادلات أويلر

${\displaystyle {\ddot {x}}+\Gamma _{11}^{1}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{1}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{1}{\dot {y}}^{2}=0}$

${\displaystyle {\ddot {y}}+\Gamma _{11}^{2}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{2}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{2}{\dot {y}}^{2}=0}$

حيث رموز كريستوفل Γ^ك
_جيتم تقديمها بواسطة

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}g^{km}(\partial _{j}g_{im}+\partial _{i}g_{jm}-\partial _{m}g_{ij})}$

حيث g ₁₁ = E و g ₁₂ = F و g ₂₂ = G و g ^ij هي المصفوفة العكسية لـ g _ij . يُطلق على المسار الذي يلبي معادلات أويلر اسم الجيوديسية . وفقًا لمتباينة كوشي-شوارتز، فإن المسار الذي يقلل الطاقة هو مجرد جيوديسية معلمة بطول القوس؛ وبالنسبة لأي جيوديسية، فإن المعامل t يتناسب مع طول القوس. ^[57]

يتم تعريف الانحناء الجيوديسي k _g عند نقطة منحنى c ( t ) ، المعلمة بطول القوس، على سطح موجه على أنه ^[58]

${\displaystyle k_{g}={\ddot {c}}(t)\cdot \mathbf {n} (t).}$

حيث n ( t ) هي الوحدة "الرئيسية" العمودية على المنحنى في السطح، والتي تم إنشاؤها عن طريق تدوير متجه الظل الوحدوي ċ ( t ) عبر زاوية +90 درجة.

• الانحناء الجيوديسي عند نقطة ما هو ثابت جوهري يعتمد فقط على المقياس القريب من النقطة.
• منحنى السرعة الوحدوية على سطح ما يكون منحنى جيوديسي إذا وفقط إذا اختفى انحناؤه الجيوديسي عند جميع النقاط على المنحنى.
• منحنى السرعة الوحدوية c ( t ) في سطح مدفون هو منحنى جيوديسي إذا وفقط إذا كان متجه تسارعه c̈ ( t ) عموديًا على السطح.

يقيس الانحناء الجيوديسي بطريقة دقيقة مدى بعد المنحنى الموجود على السطح عن كونه جيوديسيًا.

عندما تكون F = 0 في مخطط إحداثيات، كما هو الحال مع إحداثيات القطب الجيوديسية التي تمت مناقشتها أدناه، فإن صور الخطوط الموازية للمحورين x و y تكون متعامدة وتوفر إحداثيات متعامدة . إذا كانت H = ( EG ) ^{1 ⁄ 2} ، فإن الانحناء الغاوسي يُعطى بواسطة ^[59]

${\displaystyle K=-{1 \over 2H}\left[\partial _{x}\left({\frac {G_{x}}{H}}\right)+\partial _{y}\left({\frac {E_{y}}{H}}\right)\right].}$

إذا كان بالإضافة إلى ذلك E = 1 ، بحيث يكون H = G ^{1 ⁄ 2} ، فإن الزاوية φ عند التقاطع بين الجيوديسية ( x ( t )، y ( t )) والخط y = ثابت تُعطى بالمعادلة

${\displaystyle \tan \varphi =H\cdot {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}.}$

يتم إعطاء المشتق لـ φ بواسطة صيغة المشتقة الكلاسيكية لغاوس: ^[60]

${\displaystyle {\dot {\varphi }}=-H_{x}\cdot {\dot {y}}.}$

بمجرد إعطاء مقياس على سطح وتثبيت نقطة أساسية، يوجد خط جيوديسي فريد يربط نقطة الأساس بكل نقطة قريبة بدرجة كافية. يحدد اتجاه الخط الجيوديسي عند نقطة الأساس والمسافة بشكل فريد نقطة النهاية الأخرى. وبالتالي، يحدد هذان البتان من البيانات، الاتجاه والحجم، متجهًا مماسًا عند نقطة الأساس. تمسح الخريطة من متجهات الظل إلى نقاط النهاية بسلاسة حيًا لنقطة الأساس وتحدد ما يسمى بالخريطة الأسية ، والتي تحدد مخطط إحداثيات محليًا عند نقطة الأساس تلك. الحي الذي تم مسحه له خصائص مماثلة للكرات في الفضاء الإقليدي، أي أن أي نقطتين فيه متصلتان بجيوديسية فريدة. تسمى هذه الخاصية "التحدب الجيوديسي" وتسمى الإحداثيات إحداثيات عمودية . يمكن إنجاز الحساب الصريح للإحداثيات العمودية من خلال النظر في المعادلة التفاضلية التي تلبيها الجيوديسية. خصائص التحدب هي عواقب لمعضلة جاوس وتعميماتها. بشكل تقريبي، تنص هذه المعضلة على أن الخطوط الجيوديسية التي تبدأ من نقطة القاعدة يجب أن تقطع الكرات ذات نصف القطر الثابت والتي تتركز على نقطة القاعدة بزوايا قائمة. يتم الحصول على إحداثيات القطب الجيوديسية من خلال الجمع بين الخريطة الأسية والإحداثيات القطبية على متجهات الظل عند نقطة القاعدة. ثم يتم إعطاء الانحناء الغاوسي للسطح من خلال الانحراف من الدرجة الثانية للمقياس المتري عند النقطة من المقياس الإقليدي. على وجه الخصوص، الانحناء الغاوسي هو ثابت للمقياس المتري، نظرية إيجريجيوم الشهيرة لغاوس . تأتي طريقة ملائمة لفهم الانحناء من معادلة تفاضلية عادية، نظر فيها غاوس أولاً ثم عممها جاكوبي لاحقًا، والتي تنشأ عن تغيير الإحداثيات الطبيعية حول نقطتين مختلفتين. توفر معادلة غاوس-جاكوبي طريقة أخرى لحساب الانحناء الغاوسي. من الناحية الهندسية، يشرح ما يحدث للجيوديسيات من نقطة أساسية ثابتة عندما تتغير النقطة النهائية على طول جزء منحنى صغير من خلال البيانات المسجلة في حقل جاكوبي ، وهو حقل متجه على طول الجيوديسية. ^[61] بعد قرن وربع من الزمان من جاوس وجاكوبي، قدم مارستون مورس تفسيرًا أكثر مفاهيمية لحقل جاكوبي من حيث المشتقات الثانية لدالة الطاقة على متعدد الشعب هيلبرت اللانهائي الأبعاد للمسارات. ^[62]

تظهر نظرية المعادلات التفاضلية العادية أنه إذا كانت f ( t , v ) سلسة فإن المعادلة التفاضليةدي في دي/د ت⁠ = f ( t , v ) مع الشرط الأولي v (0) = v ₀ له حل فريد لـ | t | صغير بدرجة كافية ويعتمد الحل بسلاسة على t و v _0. وهذا يعني أنه بالنسبة لمتجهات الظل الصغيرة بدرجة كافية v عند نقطة معينة p = ( x ₀ , y ₀ ) ، يوجد خط جيوديسي c _v ( t ) محدد على (−2, 2) مع c _v (0) = ( x ₀ , y ₀ ) و ċ _v (0) = v . علاوة على ذلك، إذا كان | s | ≤ 1 ، فإن c _sv = c _v ( st ) . يتم تعريف الخريطة الأسية بواسطة

exp _p ( v ) = c _v (1)

ويعطي تفاضلًا بين القرص ‖ v ‖ < δ وجوار p ؛ وبشكل عام، فإن الخريطة التي ترسل ( p , v ) إلى exp _p ( v ) تعطي تفاضلًا محليًا على جوار ( p , p ) . تعطي الخريطة الأسية إحداثيات جيوديسية طبيعية بالقرب من p . ^[63]

توجد تقنية قياسية (انظر على سبيل المثال Berger (2004)) لحساب تغير المتغيرات إلى إحداثيات طبيعية u و v عند نقطة ما كتوسع رسمي لسلسلة تايلور . إذا كانت الإحداثيات x و y عند (0,0) متعامدة محليًا، فاكتب

x ( u , v ) = αu + L ( u , v ) + lect ( u , v ) + …

y ( u , v ) = βv + M ( u , v ) + μ ( u , v ) + …

حيث L و M هما حدود متجانسة تربيعية و λ و μ مكعبة في u و v . إذا كانت u و v ثابتتين، فيمكن اعتبار x ( t ) = x ( tu , tv ) و y ( t ) = y ( tu , tv ) حلول متسلسلة قوى رسمية لمعادلات أويلر: وهذا يحدد بشكل فريد α و β و L و M و λ و μ .

في هذه الإحداثيات، تلبي المصفوفة g ( x ) الشرط g (0) = I والخطوط t ↦ tv عبارة عن خطوط جيوديسية عبر 0. تتضمن معادلات أويلر معادلة المصفوفة

ج ( ف ) ف = ف ،

نتيجة رئيسية، تسمى عادةً بمعضلة جاوس . من الناحية الهندسية، تنص على أن

تقطع الخطوط الجيوديسية التي تمر عبر 0 الدوائر التي يقع مركزها عند 0 بشكل عمودي .

بأخذ إحداثيات قطبية ( r ، θ ) ، فإنه يتبع أن المقياس له الشكل

ds ² = dr ² + G ( r , θ ) dθ ² .

في الإحداثيات الجيوديسية، من السهل التحقق من أن الإحداثيات الجيوديسية من خلال صفر تقلل الطول. ثم يتم إعطاء الطوبولوجيا على متعدد الشعب الريماني بواسطة دالة المسافة d ( p ، q ) ، أي الحد الأدنى لأطوال المسارات الملساء المتقطعة بين p و q . يتم تحقيق هذه المسافة محليًا بواسطة الإحداثيات الجيوديسية، بحيث في الإحداثيات العادية d (0، v ) = ‖ v ‖ . إذا تم أخذ نصف القطر δ صغيرًا بدرجة كافية، فإن شحذًا طفيفًا لمبرهنة جاوس يُظهر أن صورة U للقرص ‖ v ‖ < δ تحت الخريطة الأسية محدبة جيوديسيًا ، أي أن أي نقطتين في U متصلتان بجيوديسية فريدة تقع بالكامل داخل U. [ ^{64] [65]}

تُظهِر نظرية جاوس إيجريجيوم ، "النظرية الرائعة"، أن الانحناء الغاوسي لسطح ما يمكن حسابه فقط من حيث المقياس المتري وبالتالي فهو ثابت جوهري للسطح، مستقل عن أي تضمين متساوي القياس في إيجريجيوم ³ ولا يتغير تحت تحويلات الإحداثيات. وعلى وجه الخصوص، تحافظ التماثلات والتماثلات المحلية للأسطح على الانحناء الغاوسي. ^[66]

يمكن التعبير عن هذه النظرية من حيث توسع سلسلة القوى للمقياس، ds ، ويتم إعطاؤها في إحداثيات طبيعية ( u ، v ) على النحو التالي:

ds ² = du ² + dv ² − K ( u dv – v du ) ² /12 + … .

عند أخذ تغيير إحداثي من إحداثيات عادية عند p إلى إحداثيات عادية عند نقطة قريبة q ، نحصل على معادلة ستورم-ليوفيل التي تحققت بواسطة H ( r , θ ) = G ( r , θ ) ^{1 ⁄ 2} ، التي اكتشفها جاوس وعممها جاكوبي لاحقًا ،

ح _{ر ر} = – خ ح .

إن معادلة جاكوبي لتغيير الإحداثيات هذه عند q تساوي H _r . وهذا يعطي طريقة أخرى لتحديد الطبيعة الجوهرية للانحناء الغاوسي. ولأن H ( r , θ ) يمكن تفسيرها على أنها طول عنصر الخط في اتجاه θ ، فإن معادلة جاوس-جاكوبي تظهر أن الانحناء الغاوسي يقيس انتشار الخطوط الجيوديسية على سطح هندسي أثناء ابتعادها عن نقطة ما. ^[67]

على سطح بمقياس محلي

${\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2}}$

ومشغل لابلاس-بلترامي

${\displaystyle \Delta f={1 \over H}\left(\partial _{x}{G \over H}\partial _{x}f-\partial _{x}{F \over H}\partial _{y}f-\partial _{y}{F \over H}\partial _{x}f+\partial _{y}{E \over H}\partial _{y}f\right),}$

حيث H ² = EG − F ² ، يتم إعطاء الانحناء الغاوسي عند نقطة ما بالصيغة ^[68]

${\displaystyle K=-3\lim _{r\rightarrow 0}\Delta (\log r),}$

حيث يشير r إلى المسافة الجيوديسية من النقطة.

في الإحداثيات المتساوية الحرارة ، والتي اعتبرها غاوس لأول مرة، يجب أن يكون المقياس من الشكل الخاص

${\displaystyle ds^{2}=e^{\varphi }(dx^{2}+dy^{2}).\,}$

في هذه الحالة يتم إعطاء عامل لابلاس-بلترامي بواسطة

${\displaystyle \Delta =e^{-\varphi }\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)}$

و φ يلبي معادلة ليوفيل ^[69]

${\displaystyle \Delta \varphi =-2K.\,}$

من المعروف أن الإحداثيات المتساوية الحرارة موجودة في جوار أي نقطة على السطح، على الرغم من أن جميع البراهين حتى الآن تعتمد على نتائج غير تافهة على معادلات تفاضلية جزئية . ^[70] هناك دليل أولي للأسطح الدنيا. ^[71]

على كرة أو قطع زائد ، تكون مساحة المثلث الجيوديسي ، أي المثلث الذي تكون جميع أضلاعه جيوديسية، متناسبة مع الفرق بين مجموع الزوايا الداخلية و π . ثابت التناسب هو مجرد انحناء غاوسي، وهو ثابت لهذه الأسطح. بالنسبة للطور، يكون الفرق صفرًا، مما يعكس حقيقة أن انحناءه الغاوسي يساوي صفرًا. هذه نتائج قياسية في علم المثلثات الكروي والزائدي وعلم المثلثات في المدرسة الثانوية (انظر أدناه). عمم غاوس هذه النتائج على سطح تعسفي من خلال إظهار أن تكامل الانحناء الغاوسي على الجزء الداخلي من مثلث جيوديسي يساوي أيضًا فرق الزاوية أو الزيادة هذه. أظهرت صيغته أنه يمكن حساب الانحناء الغاوسي بالقرب من نقطة ما كحد للمساحة على الزيادة في الزاوية للمثلثات الجيوديسية المتقلصة إلى النقطة. نظرًا لأنه يمكن تحليل أي سطح مغلق إلى مثلثات جيوديسية، يمكن أيضًا استخدام الصيغة لحساب تكامل الانحناء على السطح بالكامل. كحالة خاصة لما يسمى الآن بنظرية جاوس-بونيه ، أثبت جاوس أن هذا التكامل كان دائمًا بشكل ملحوظ 2π مضروبًا في عدد صحيح، وهو ثابت طوبولوجي للسطح يسمى خاصية أويلر . من السهل حساب هذا الثابت تركيبيًا من حيث عدد الرؤوس والحواف والوجوه للمثلثات في التحليل، ويسمى أيضًا التثليث . كان هذا التفاعل بين التحليل والطوبولوجيا رائدًا للعديد من النتائج اللاحقة في الهندسة، والتي بلغت ذروتها في نظرية مؤشر عطية-سينجر . تفرض خصائص الانحناء بشكل خاص قيودًا على طوبولوجيا السطح.

أثبت جاوس أنه إذا كان Δ مثلثًا جيوديسيًا على سطح بزوايا α و β و γ عند الرؤوس A و B و C ، فإن

${\displaystyle \int _{\Delta }K\,dA=\alpha +\beta +\gamma -\pi .}$

في الواقع، عند أخذ إحداثيات القطب الجيوديسي مع الأصل A و AB و AC فإن الأقطار عند الزوايا القطبية 0 و α :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Delta }K\,dA&=\int _{\Delta }KH\,dr\,d\theta =-\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{r_{\theta }}\!H_{rr}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{\alpha }1-H_{r}(r_{\theta },\theta )\,d\theta =\int _{0}^{\alpha }d\theta +\int _{\pi -\beta }^{\gamma }\!\!d\varphi \\&=\alpha +\beta +\gamma -\pi ,\end{aligned}}}$

حيث تتبع المساواة الثانية من معادلة جاوس-جاكوبي والرابعة من صيغة مشتق جاوس في الإحداثيات المتعامدة ( r ، θ ) .

تُظهِر صيغة جاوس أنه يمكن حساب الانحناء عند نقطة ما باعتباره حد الزاوية الزائدة α + β + γ − π على المساحة للمثلثات الجيوديسية الأصغر حجمًا على التوالي بالقرب من النقطة. من الناحية النوعية، يكون السطح منحنيًا بشكل إيجابي أو سلبي وفقًا لإشارة الزاوية الزائدة للمثلثات الجيوديسية الصغيرة بشكل تعسفي. ^[49]

نظرًا لأنه يمكن تمثيل كل متعدد الشعب M ذي الاتجاه المضغوط ثنائي الأبعاد بواسطة مثلثات جيوديسية صغيرة، فمن الطبيعي أن

${\displaystyle \int _{M}KdA=2\pi \,\chi (M)}$

حيث يشير χ ( M ) إلى خاصية أويلر للسطح.

في الواقع، إذا كان هناك F وجوه وحواف E ورؤوس V ، فإن 3 F = 2 E والجانب الأيسر يساوي 2π V – π F = 2π( V – E + F ) = 2π χ ( M ) .

هذه هي نظرية جاوس-بونيه الشهيرة : فهي تُظهر أن تكامل الانحناء الغاوسي هو ثابت طوبولوجي للمتعدد، ألا وهو خاصية أويلر. يمكن تفسير هذه النظرية بعدة طرق؛ ربما كانت إحدى أكثرها شمولاً هي نظرية الفهرس لمشغل تفاضلي إهليلجي على M ، وهي إحدى أبسط حالات نظرية فهرس أتياه-سينجر . نتيجة أخرى ذات صلة، والتي يمكن إثباتها باستخدام نظرية جاوس-بونيه، هي نظرية فهرس بوانكاريه-هوبف لحقول المتجهات على M والتي تختفي عند عدد محدود فقط من النقاط: مجموع الفهارس عند هذه النقاط يساوي خاصية أويلر، حيث يتم تعريف فهرس النقطة على النحو التالي: على دائرة صغيرة حول كل صفر معزول، يحدد حقل المتجه خريطة في الدائرة الوحدوية؛ الفهرس هو مجرد رقم متعرج لهذه الخريطة.) ^{[49] [72] [73]}

إذا كان الانحناء الغاوسي لسطح M موجبًا في كل مكان، فإن خاصية أويلر تكون موجبة، وبالتالي فإن M متماثل الشكل (وبالتالي متغاير الشكل) لـ S ^2. وإذا كان السطح مُضمّنًا بشكل متساوي القياس في E ³ ، فإن خريطة جاوس توفر تغايرًا واضحًا. وكما لاحظ هادامارد ، في هذه الحالة يكون السطح محدبًا ؛ ويمكن اعتبار معيار التحدب هذا تعميمًا ثنائي الأبعاد لمعيار المشتق الثاني المعروف لتحدب المنحنيات المستوية. أثبت هيلبرت أن كل سطح مغلق مُضمّن بشكل متساوي القياس يجب أن يكون له نقطة انحناء موجبة. وبالتالي لا يمكن أبدًا تضمين متعدد الشعب الريماني المغلق ثنائي الأبعاد ذي الانحناء غير الموجب بشكل متساوي القياس في E ³ ؛ ومع ذلك، كما أظهر أدريانو جارسيا باستخدام معادلة بلترامي للتعيينات شبه المطابقة ، فإن هذا ممكن دائمًا لبعض المقاييس المكافئة توافقيًا . ^[74]

الأسطح المتصلة ببساطة ذات الانحناء الثابت 0 و+1 و-1 هي المستوى الإقليدي والكرة الوحدوية في E ³ والمستوى الزائدي . كل منها له مجموعة لي ثلاثية الأبعاد متعدية من تماثلات القياس المحافظة على الاتجاه G ، والتي يمكن استخدامها لدراسة هندستها. يمكن تحديد كل من السطحين غير المضغوطين بالحاصل G / K حيث K هي مجموعة فرعية مضغوطة قصوى لـ G. هنا K متماثلة لـ SO(2) . أي متعدد شعب ريماني مغلق آخر ثنائي الشعب M ذو انحناء غاوسي ثابت، بعد قياس المقياس بعامل ثابت إذا لزم الأمر، سيكون له أحد هذه الأسطح الثلاثة كمساحة تغطية عالمية له . في الحالة القابلة للتوجيه، يمكن تحديد المجموعة الأساسية Γ لـ M بمجموعة فرعية موحدة خالية من الالتواء لـ G ويمكن بعد ذلك تحديد M بمساحة المجموعة المزدوجة Γ \ G / K. في حالة الكرة والمستوى الإقليدي، فإن الأمثلة الممكنة الوحيدة هي الكرة نفسها والحلقات التي تم الحصول عليها كحصص لـ R ² بواسطة مجموعات فرعية منفصلة من الرتبة 2. بالنسبة للأسطح المغلقة من جنس g ≥ 2 ، فإن مساحة معاملات أسطح ريمان التي تم الحصول عليها حيث يتغير Γ على جميع هذه المجموعات الفرعية، ولها بعد حقيقي 6 g − 6. [ ^{75] وفقًا} لنظرية التوحيد لبوانكاريه ، فإن أي متعدد شعب مغلق قابل للتوجيه 2 يكون مكافئًا مطابقًا لسطح ذي انحناء ثابت 0 أو +1 أو -1. بعبارة أخرى، من خلال ضرب المقياس بعامل مقياس موجب، يمكن جعل الانحناء الغاوسي يأخذ قيمة واحدة بالضبط من هذه القيم (إشارة خاصية أويلر لـ M ). ^[76]

في حالة المستوى الإقليدي، تكون مجموعة التناظر هي مجموعة الحركة الإقليدية ، وهي حاصل الضرب شبه المباشر للمجموعة ثنائية الأبعاد للترجمات بواسطة مجموعة الدوران. ^[77] الجيوديسيات هي خطوط مستقيمة ويتم ترميز الهندسة في الصيغ الأولية لعلم المثلثات ، مثل قاعدة جيب التمام للمثلث ذي الأضلاع a و b و c والزوايا α و β و γ :

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma .}$

يمكن الحصول على حلقات مسطحة عن طريق أخذ حاصل قسمة R ² بواسطة شبكة ، أي مجموعة فرعية أبيلية حرة من الرتبة 2. لا تحتوي هذه الأسطح المغلقة على تضمينات متساوية القياس في E ^3. ومع ذلك، فإنها تسمح بالتضمينات متساوية القياس في E ⁴ ؛ في أسهل الحالات ، يتبع هذا من حقيقة أن الحلقة هي حاصل ضرب دائرتين ويمكن تضمين كل دائرة بشكل متساوي القياس في E ^{2. [78]}

مجموعة القياس المتساوي للكرة الوحدوية S ² في E ³ هي المجموعة المتعامدة O(3) ، مع مجموعة الدوران SO(3) كمجموعة فرعية من القياسات المتساوية التي تحافظ على الاتجاه. وهي حاصل الضرب المباشر لـ SO(3) مع الخريطة المضادة ، مما يرسل x إلى -x . ^[79] تعمل المجموعة SO(3) بشكل انتقالي على S ^2. يمكن تحديد المجموعة الفرعية المستقرة لمتجه الوحدة (0,0,1) باستخدام SO(2) ، بحيث يكون S 2 ⁼ SO(3)/SO(2) .

الخطوط الجيوديسية بين نقطتين على الكرة هي أقواس الدائرة العظمى مع هذه النقاط النهائية المعطاة. إذا لم تكن النقاط متقابلة، فهناك أقصر خط جيوديسي فريد بين النقطتين. يمكن أيضًا وصف الخطوط الجيوديسية نظريًا كمجموعة: كل خط جيوديسي عبر القطب الشمالي (0,0,1) هو مدار المجموعة الفرعية للدوران حول محور عبر نقاط متقابلة على خط الاستواء.

المثلث الكروي هو مثلث جيوديسي على الكرة. وهو محدد بالنقاط A و B و C على الكرة ذات الأضلاع BC و CA و AB المكونة من أقواس دائرة كبيرة بطول أقل من π . إذا كانت أطوال الأضلاع هي a و b و c والزوايا بين الأضلاع α و β و γ ، فإن قانون جيب التمام الكروي ينص على أن

${\displaystyle \cos c=\cos a\,\cos b+\sin a\,\sin b\,\cos \gamma .}$

مساحة المثلث تعطى بواسطة

المساحة = α + β + γ − π .

باستخدام الإسقاط المجسم من القطب الشمالي، يمكن تحديد الكرة باستخدام المستوى المركب الممتد C ∪ {∞} . تُعطى الخريطة الصريحة بواسطة

${\displaystyle \pi (x,y,z)={x+iy \over 1-z}\equiv u+iv.}$

بموجب هذه المراسلات، تتوافق كل دورة لـ S ² مع تحويل موبيوس في SU(2) ، وهي إشارة فريدة حتى. ^[80] وفيما يتعلق بالإحداثيات ( u ، v ) في المستوى المركب، يصبح المقياس الكروي ^[81]

${\displaystyle ds^{2}={4(du^{2}+dv^{2}) \over (1+u^{2}+v^{2})^{2}}.}$

الكرة الوحدوية هي السطح المغلق الوحيد القابل للتوجيه مع انحناء ثابت +1. يمكن تحديد الحاصل SO(3)/O(2) بالمستوى الإسقاطي الحقيقي . إنه غير قابل للتوجيه ويمكن وصفه بأنه حاصل S ² بواسطة الخريطة المضادة (الضرب في −1). الكرة متصلة ببساطة، بينما يحتوي المستوى الإسقاطي الحقيقي على المجموعة الأساسية Z _2. المجموعات الفرعية المحدودة لـ SO(3) ، المقابلة للمجموعات الفرعية المحدودة لـ O(2) ومجموعات التماثل للمجسمات الأفلاطونية ، لا تعمل بحرية على S ² ، وبالتالي فإن الحصص المقابلة ليست متعددات شعب ثنائية، بل مجرد أوربيفولدز .

تمت مناقشة الهندسة غير الإقليدية ^[82] لأول مرة في رسائل جاوس، الذي أجرى حسابات واسعة النطاق في مطلع القرن التاسع عشر، والتي على الرغم من تداولها بشكل خاص، قرر عدم طباعتها. في عام 1830، نشر لوباتشيفسكي وبشكل مستقل في عام 1832، بولياي ، ابن أحد مراسلي جاوس، نسخًا تركيبية من هذه الهندسة الجديدة، والتي تعرضوا لانتقادات شديدة بسببها. ومع ذلك، لم يكن حتى عام 1868 أن قدم بلترامي، وتبعه كلاين في عام 1871 وبوانكاريه في عام 1882، نماذج تحليلية ملموسة لما أطلق عليه كلاين الهندسة الزائدية . كانت النماذج الأربعة للهندسة الزائدية ثنائية الأبعاد التي ظهرت هي:

• نموذج بلترامي-كلاين ؛
• قرص بوانكاريه ؛
• النصف العلوي من مستوى بوانكاريه ؛
• نموذج القطع الزائد لويلهلم كيلينج في فضاء مينكوفسكي ثلاثي الأبعاد .

النموذج الأول، الذي يعتمد على القرص، يتميز بأن الخطوط الجيوديسية هي في الواقع مقاطع مستقيمة (أي تقاطعات الخطوط الإقليدية مع القرص الوحدوي المفتوح). أما النموذج الأخير فيتميز بأنه يعطي بنية موازية تمامًا للكرة الوحدوية في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. ولكن بسبب تطبيقها في التحليل المعقد والهندسة، فإن نماذج بوانكاريه هي الأكثر استخدامًا: فهي قابلة للتبادل بفضل تحويلات موبيوس بين القرص والنصف العلوي من المستوى.

يترك

${\displaystyle D=\{z\,\colon |z|<1\}}$

يكون قرص بوانكاريه في المستوى المركب باستخدام مقياس بوانكاريه

${\displaystyle ds^{2}={4(dx^{2}+dy^{2}) \over (1-x^{2}-y^{2})^{2}}.}$

في الإحداثيات القطبية ( r ، θ ) يتم إعطاء المقياس بواسطة

${\displaystyle ds^{2}={4(dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}) \over (1-r^{2})^{2}}.}$

طول المنحنى γ :[ a , b ] → D يعطى بالصيغة

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{a}^{b}{2|\gamma ^{\prime }(t)|\,dt \over 1-|\gamma (t)|^{2}}.}$

المجموعة G = SU(1,1) المعطاة بواسطة

${\displaystyle G=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,\,|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\}}$

يعمل بشكل انتقالي عن طريق تحويلات موبيوس على D والمجموعة الفرعية المستقرة 0 هي مجموعة الدوران

${\displaystyle K=\left\{{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&{\overline {\zeta }}\end{pmatrix}}:\zeta \in \mathbf {C} ,\,|\zeta |=1\right\}.}$

مجموعة الحاصل SU(1,1)/± I هي مجموعة تماثلات الحفاظ على الاتجاه لـ D. أي نقطتين z و w في D متصلتان بخط جيوديسي فريد، يُعطى بواسطة جزء الدائرة أو الخط المستقيم المار عبر z و w والمتعامد على دائرة الحدود. المسافة بين z و w تُعطى بواسطة

${\displaystyle d(z,w)=2\tanh ^{-1}{\frac {|z-w|}{|1-{\overline {w}}z|}}.}$

على وجه الخصوص d (0, r ) = 2 tanh ⁻¹ r و c ( t ) = ⁠1/2⁠ tanh t هو الخط الجيوديسي من خلال 0 على طول المحور الحقيقي، مع معلمة بطول القوس.

الطوبولوجيا التي تم تعريفها بواسطة هذا المقياس تعادل الطوبولوجيا الإقليدية المعتادة، على الرغم من أنها كمساحة مترية ( D ، d ) مكتملة.

المثلث الزائدي هو مثلث جيوديسي لهذا المقياس: أي ثلاث نقاط في D هي رؤوس مثلث زائدي. إذا كانت الأضلاع بطول a و b و c مع زوايا مقابلة α و β و γ ، فإن قاعدة جيب التمام الزائدي تنص على أن

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\,\cosh b-\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma .}$

مساحة المثلث الزائدي تعطى بواسطة ^[83]

المساحة = π – α – β – γ .

قرص الوحدة والنصف العلوي من المستوى

${\displaystyle H=\{w=x+iy\,\colon \,y>0\}}$

متكافئة توافقيًا من خلال تحويلات موبيوس

${\displaystyle w=i{1+z \over 1-z},\,\,z={w-i \over w+i}.}$

بموجب هذه المراسلات، يتوافق تأثير SL(2,R) بواسطة تحويلات موبيوس على H مع تأثير SU(1,1) على D. يصبح المقياس على H

${\displaystyle ds^{2}={dx^{2}+dy^{2} \over y^{2}}.}$

نظرًا لأن الخطوط أو الدوائر محفوظة في تحويلات موبيوس، فإن الجيوديسيات توصف مرة أخرى بخطوط أو دوائر متعامدة على المحور الحقيقي.

القرص الوحدوي بمقياس بوانكاريه هو متعدد الشعب الريماني ثنائي الأبعاد الموجه والمتصل ببساطة مع انحناء ثابت −1. أي سطح مغلق موجه M بهذه الخاصية له D كمساحة تغطية عالمية. يمكن تحديد مجموعته الأساسية بمجموعة فرعية مدمجة خالية من الالتواء Γ من SU(1,1) ، على النحو التالي

${\displaystyle M=\Gamma \backslash G/K.}$

في هذه الحالة، Γ هي مجموعة معروضة بشكل نهائي . يتم ترميز المولدات والعلاقات في مضلع جيوديسي أساسي محدب جيوديسيًا في D (أو H ) يتوافق هندسيًا مع الجيوديسيات المغلقة على M.

أمثلة .

• سطح بولزا من الجنس 2؛
• الرباعي كلاين من الجنس 3؛
• سطح ماكبث من الجنس 7؛
• الثلاثية الأولى لهورويتز من الجنس 14.

بالنظر إلى سطح مغلق موجه M مع انحناء غاوسي K ، يمكن تغيير المقياس على M بشكل مطابق عن طريق قياسه بعامل e ^{2 u} . ثم يتم إعطاء الانحناء الغاوسي الجديد K′ بواسطة

${\displaystyle K^{\prime }(x)=e^{-2u}(K(x)-\Delta u),}$

حيث Δ هو لابلاسيان للمقياس المتري الأصلي. وبالتالي، لإظهار أن سطحًا معينًا مكافئًا توافقيًا لمقياس متري ذي انحناء ثابت K′ ، يكفي حل البديل التالي لمعادلة ليوفيل :

${\displaystyle \Delta u=K^{\prime }e^{2u}+K(x).}$

عندما يكون لـ M خاصية أويلر تساوي 0، فإنها تكون متماثلة مع حلقة ، K′ = 0 ، لذا فإن هذا يعادل حل

${\displaystyle \Delta u=K(x).}$

وفقًا لنظرية القطع الناقص القياسية، يكون هذا ممكنًا لأن تكامل K على M يساوي صفرًا، وفقًا لنظرية جاوس-بونيه. ^[84]

عندما يكون لـ M خاصية أويلر سلبية، K′ = −1 ، فإن المعادلة التي يجب حلها هي:

${\displaystyle \Delta u=-e^{2u}+K(x).}$

باستخدام استمرارية الخريطة الأسية على فضاء سوبوليف بسبب نيل ترودنجر ، يمكن حل هذه المعادلة غير الخطية دائمًا. ^[85]

وأخيرًا، في حالة الكرة 2، K′ = 1 وتصبح المعادلة:

${\displaystyle \Delta u=e^{2u}+K(x).}$

حتى الآن لم يتم تحليل هذه المعادلة غير الخطية بشكل مباشر، على الرغم من أن النتائج الكلاسيكية مثل نظرية ريمان-روش تشير إلى أنها تحتوي دائمًا على حل. ^[86] طريقة تدفق ريتشي ، التي طورها ريتشارد س. هاملتون ، تقدم دليلاً آخر على الوجود بناءً على معادلات التفاضل الجزئي غير الخطية لإثبات الوجود. ^[87] في الواقع، يتم تعريف تدفق ريتشي على المقاييس المطابقة على S ² على الدوال u ( x ، t ) بواسطة

${\displaystyle u_{t}=4\pi -K'(x,t)=4\pi -e^{-2u}(K(x)-\Delta u).}$

بعد مرور وقت محدود، أظهر تشاو أن K′ تصبح موجبة؛ ومن الممكن بعد ذلك استخدام النتائج السابقة لهاملتون لإظهار أن K′ تتقارب إلى +1. ^[88] قبل هذه النتائج على تدفق ريتشي، قدم أوسجود وفيليبس وسارناك (1988) نهجًا بديلًا وأبسط من الناحية الفنية للتوحيد استنادًا إلى التدفق على مقاييس ريمان g المحددة بواسطة log det Δ _g .

يمكن إيجاد دليل باستخدام العوامل الإهليلجية، الذي اكتُشف عام 1988، في دينج (2001). دع G تكون دالة جرين على S ² التي تحقق Δ G = 1 + 4π δ _P ، حيث δ _P هو مقياس النقطة عند نقطة ثابتة P لـ S ^2. المعادلة Δ v = 2 K – 2 لها حل سلس v ، لأن الجانب الأيمن له عدد صحيح 0 وفقًا لنظرية جاوس-بونيه. وبالتالي فإن φ = 2 G + v تحقق Δ φ = 2 K بعيدًا عن P. ويترتب على ذلك أن g ₁ = e ^φ g هي مترية كاملة ذات انحناء ثابت 0 على المكمل لـ P ، وبالتالي فهي متساوية القياس بالنسبة للمستوى. وبالتركيب مع الإسقاط المجسم ، يترتب على ذلك وجود دالة سلسة u بحيث يكون لـ e ^{2 u} g انحناء غاوسي +1 على المكمل لـ P. تمتد الدالة u تلقائيًا إلى دالة سلسة على كامل S ^{2. [d} ]

كان النهج الكلاسيكي لغاوس للهندسة التفاضلية للأسطح هو النهج الأولي القياسي ^[89] والذي سبق ظهور مفاهيم متعدد الشعب الريماني التي بدأها برنهارد ريمان في منتصف القرن التاسع عشر والاتصال الذي طوره توليو ليفي سيفيتا وإيلي كارتان وهيرمان ويل في أوائل القرن العشرين. أعطى مفهوم الاتصال والمشتق المتغير والنقل الموازي طريقة أكثر مفاهيمية وتوحيدًا لفهم الانحناء، والتي لم تسمح فقط بالتعميمات على متعددات الأبعاد الأعلى ولكنها قدمت أيضًا أداة مهمة لتحديد الثوابت الهندسية الجديدة، والتي تسمى الفئات المميزة . ^[90] النهج الذي يستخدم المشتقات المتغيرة والاتصالات هو النهج المعتمد في الوقت الحاضر في الكتب المدرسية الأكثر تقدمًا. ^[91]

يمكن تعريف الوصلات على السطح من وجهات نظر مختلفة متكافئة ولكنها مهمة بنفس القدر. ربما يكون من الأسهل فهم الوصلة الريمانية أو وصلة ليفي-سيفيتا ^[92] من حيث حقول متجه الرفع ، والتي تعتبر مشغلات تفاضلية من الدرجة الأولى تعمل على الدوال على المتشعب، إلى مشغلات تفاضلية على الحزمة المماسية أو حزمة الإطار . في حالة السطح المضمن، يتم وصف الرفع إلى مشغل على حقول متجهة، تسمى المشتقة المتغيرة ، ببساطة شديدة من حيث الإسقاط المتعامد. في الواقع، يمكن اعتبار حقل متجه على سطح مضمن في R ³ كدالة من السطح إلى R ^3. يعمل حقل متجه آخر كمكون لمشغل تفاضلي حكيم. لن يكون حقل المتجه الناتج مماسًا للسطح، ولكن يمكن تصحيح ذلك بأخذ إسقاطه المتعامد على الفضاء المماس عند كل نقطة من السطح. وكما أدرك ريتشي وليفي -سيفيتا في مطلع القرن العشرين، فإن هذه العملية تعتمد فقط على النظام المتري ويمكن التعبير عنها محليًا من حيث رموز كريستوفيل.

كان النقل الموازي للمتجهات الظلية على طول منحنى في السطح هو التقدم الرئيسي التالي في هذا الموضوع، وذلك بفضل ليفي-سيفيتا . ^[49] وهو مرتبط بالمفهوم السابق للمشتقة المتغيرة، لأنه أحادي التماثل لمعادلة التفاضل العادية على المنحنى التي تحددها المشتقة المتغيرة فيما يتعلق بمتجه السرعة للمنحنى. يمكن أيضًا وصف النقل الموازي على طول الخطوط الجيوديسية، "الخطوط المستقيمة" للسطح، بسهولة مباشرة. يتم نقل المتجه في المستوى المماس على طول الخط الجيوديسي كحقل متجه فريد بطول ثابت ويشكل زاوية ثابتة مع متجه السرعة للخط الجيوديسي. بالنسبة للمنحنى العام، يجب تعديل هذه العملية باستخدام انحناء الخط الجيوديسي، الذي يقيس مدى انحراف المنحنى عن كونه خطًا جيوديسيًا. ^[64]

يقال إن الحقل المتجهي v ( t ) على طول منحنى السرعة الوحدوية c ( t ) ، مع انحناء جيوديسي k _g ( t ) ، متوازي على طول المنحنى إذا

• لها طول ثابت
• الزاوية θ ( t ) التي تصنعها مع متجه السرعة ċ ( t ) تلبي

${\displaystyle {\dot {\theta }}(t)=-k_{g}(t)}$

وهذا يستعيد قاعدة النقل الموازي على طول منحنى جيوديسي أو جيوديسي مجزأ، لأنه في هذه الحالة k _g = 0 ، بحيث تظل الزاوية θ ( t ) ثابتة على أي جزء جيوديسي. ويترتب على وجود النقل الموازي أنه يمكن حساب θ ( t ) كتكامل للانحناء الجيوديسي. ولأنه يعتمد بالتالي بشكل مستمر على معيار L ^{2 لـ} k _g ، فإنه يتبع ذلك أنه يمكن الحصول على النقل الموازي لمنحنى تعسفي كحد للنقل الموازي عند تقريب المنحنيات الجيوديسية المجزأة. ^[93]

وبالتالي يمكن وصف الاتصال من حيث مسارات الرفع في المشعب إلى المسارات في حزمة الإطار المماس أو المتعامد، وبالتالي إضفاء الطابع الرسمي على النظرية الكلاسيكية لـ " الإطار المتحرك "، التي يفضلها المؤلفون الفرنسيون. ^[94] تؤدي عمليات رفع الحلقات حول نقطة ما إلى ظهور مجموعة الهولونومي عند تلك النقطة. يمكن استعادة الانحناء الغاوسي عند نقطة ما من النقل الموازي حول حلقات أصغر حجمًا بشكل متزايد عند النقطة. وبالمثل، يمكن حساب الانحناء مباشرة على مستوى لا متناهي الصغر من حيث أقواس لي لحقول المتجهات المرفوعة.

يقدم نهج كارتان وويل، باستخدام أشكال الاتصال 1 على حزمة الإطار الخاصة بـ M ، طريقة ثالثة لفهم الاتصال الريماني. لاحظوا أن النقل الموازي يملي رفع مسار في السطح إلى مسار في حزمة الإطار بحيث تقع متجهاته المماسية في فضاء فرعي خاص من البعد المشترك 1 في الفضاء المماس ثلاثي الأبعاد لحزمة الإطار. يتم تعريف الإسقاط على هذا الفضاء الفرعي من خلال شكل تفاضلي 1 على حزمة الإطار المتعامد، شكل الاتصال . مكّن هذا من ترميز خصائص انحناء السطح في أشكال تفاضلية على حزمة الإطار والصيغ التي تنطوي على مشتقاتها الخارجية .

هذا النهج بسيط بشكل خاص بالنسبة للسطح المضمن. وبفضل نتيجة كوباياشي (1956)، فإن شكل الاتصال 1 على سطح مضمن في الفضاء الإقليدي E ³ هو مجرد الانسحاب تحت خريطة جاوس لشكل الاتصال 1 على S ^{2. [95]} باستخدام تحديد S ² بالفضاء المتجانس SO(3)/SO(2) ، فإن شكل الاتصال 1 هو مجرد مكون من شكل مورير-كارتان 1 على SO(3) . ^[96]

على الرغم من أن توصيف الانحناء لا يتضمن سوى الهندسة المحلية لسطح ما، إلا أن هناك جوانب عالمية مهمة مثل نظرية جاوس-بونيه ، ونظرية التوحيد ، ونظرية فون مانجولدت-هادامارد، ونظرية قابلية التضمين. هناك جوانب أخرى مهمة للهندسة العالمية للأسطح. ^[97] وتشمل هذه:

• نصف قطر الحقن ، يُعرَّف بأنه أكبر قيمة r بحيث تكون نقطتان على مسافة أقل من r متصلتين بخط جيوديسي فريد. أثبت فيلهلم كلينجنبرج في عام 1959 أن نصف قطر الحقن لسطح مغلق محدد من الأسفل بالحد الأدنى لـ δ = ⁠π/√ سوبر كوطول أصغر خط جيوديسي مغلق له. وقد أدى هذا إلى تحسين نظرية بونيه التي أظهرت في عام 1855 أن قطر السطح المغلق ذي الانحناء الغاوسي الموجب يكون دائمًا محدودًا من الأعلى بـ δ ؛ بعبارة أخرى، لا يمكن أن يكون للخط الجيوديسي الذي يدرك المسافة المترية بين نقطتين طول أكبر من δ .
• الصلابة . في عام 1927 أثبت كوهن-فوسن أن شكلين بيضاويين - سطحين مغلقين بانحناء غاوسي موجب - متساوي القياس متطابقان بالضرورة بقياس متساوي E ³ . علاوة على ذلك، فإن السطح المغلق المضمن ذو الانحناء الغوسي الموجب ومتوسط ​​الانحناء الثابت هو بالضرورة كرة؛ وبالمثل يجب أن يكون السطح المضمن المغلق ذو الانحناء الغوسي الثابت كرة (ليبمان 1899). أظهر هاينز هوبف في عام 1950 أن السطح المضمن المغلق ذو الانحناء المتوسط ​​الثابت والجنس 0، أي متماثل الشكل مع الكرة، هو بالضرورة كرة؛ وبعد خمس سنوات أزال ألكسندروف الافتراض الطوبولوجي. في الثمانينيات، بنى وينتي أطواقًا مغمورة ذات متوسط ​​انحناء ثابت في الفضاء الإقليدي 3.
• تخمين كاراثيودوري : ينص هذا التخمين على أن السطح المحدب المغلق القابل للاشتقاق ثلاث مرات يسمح بوجود نقطتين سريتين على الأقل . كان أول عمل على هذا التخمين في عام 1924 بواسطة هانز هامبورغر ، الذي لاحظ أنه يتبع من الادعاء الأقوى التالي: مؤشر نصف عدد صحيح لتقسيم الانحناء الرئيسي لسرة معزولة هو واحد على الأكثر.
• انحناء غاوسي صفري : السطح الكامل في E ³ ذو الانحناء الغوسي الصفري يجب أن يكون أسطوانة أو مستو.
• نظرية هيلبرت (1901): لا يمكن غمر أي سطح كامل ذو انحناء سلبي ثابت بشكل متساوي القياس في E ³ .

• تخمين ويلمور . ينص هذا التخمين على أن تكامل مربع متوسط ​​انحناء حلقة مغمورة في E ³ يجب أن يكون محدودًا من الأسفل بـ 2π ^2. ومن المعروف أن التكامل ثابت موبيوس. وقد تم حله في عام 2012 بواسطة فرناندو كودا ماركيز وأندريه نيفز . ^[98]
• المتباينات المتساوية المحيط . في عام 1939 أثبت شميدت أن المتباينة المتساوية المحيط الكلاسيكية للمنحنيات في المستوى الإقليدي صالحة أيضًا على الكرة أو في المستوى الزائدي: أي أنه أظهر أنه من بين جميع المنحنيات المغلقة التي تحد مجالًا من مساحة ثابتة، يتم تقليل المحيط بمقدار عندما يكون المنحنى دائرة للمقياس المتري. في بعد واحد أعلى، من المعروف أنه من بين جميع الأسطح المغلقة في E ³ الناشئة كحدود لمجال محدود بحجم الوحدة، يتم تقليل مساحة السطح للكرة الإقليدية.
• متباينات الانقباض لمنحنيات على الأسطح . في حالة وجود سطح مغلق، يتم تعريف انقباضه بأنه أصغر طول لأي منحنى مغلق غير قابل للانكماش على السطح. في عام 1949،أثبت لوينر متباينة طورية للمقاييس على الطور، أي أن مساحة الطور على مربع انقباضه محدودة من الأسفل بـ ⁠√ 3/2⁠ ، مع المساواة في حالة الانحناء الثابت (المسطح). يتم إعطاء نتيجة مماثلة من خلال متباينة Pu للمستوى الإسقاطي الحقيقي من عام 1952، مع حد أدنى ⁠2/πكما تم التوصل إلى ذلك في حالة الانحناء الثابت. بالنسبة لزجاجة كلاين ، حصل بلاتر وبافارد لاحقًا على حد أدنى يبلغ√ 8/πبالنسبة لسطح مغلق من جنس g ، أظهر هيبدا وبوراجو أن النسبة محدودة أدناه بـ1/2⁠ . بعد ثلاث سنوات، وجد ميخائيل جروموف حدًا أدنى معطى بزمن ثابت g ^{1 ⁄ 2} ، على الرغم من أن هذا ليس مثاليًا. حدود عليا وسفلى حادة بشكل مقارب تعطى بزمن ثابت ⁠ج/(سجل ج ) ²يرجع الفضل في ذلك إلى جروموف وبوسير-سارناك، ويمكن العثور عليها في كاتز (2007). هناك أيضًا نسخة للمقاييس على الكرة، تأخذ في الاعتبار طول أصغر خط جيوديسي مغلق للانقباض . افترض جروموف حدًا أدنى لـ1/2 √ 3في عام 1980 : أفضل نتيجة حتى الآن هي الحد الأدنى لـ1/8تم الحصول عليها بواسطة ريجينا روتمان في عام 2006. ^[99]

إن أحد أكثر المسوحات التمهيدية شمولاً للموضوع، والتي ترسم التطور التاريخي من قبل جاوس إلى العصر الحديث، هو الذي قام به بيرجر (2004). وقد تم تقديم روايات عن النظرية الكلاسيكية في آيزنهارت (2004)، وكريسيج (1991)، وسترويك (1988)؛ وقد تكون الكتب المدرسية الجامعية الحديثة والمليئة بالرسوم التوضيحية التي كتبها جراي وأبينا وسلامون (2006)، وبريسلي (2001)، وويلسون (2008) أكثر سهولة في الوصول إليها. ويمكن العثور على رواية سهلة الوصول للنظرية الكلاسيكية في هيلبرت وكوهن-فوسن (1952). ويمكن العثور على معالجات أكثر تطوراً على مستوى الدراسات العليا باستخدام الاتصال الريماني على السطح في سينجر وثورب (1967)، ودو كارمو (2016)، وأونيل (2006).

• متجه الظل
• سطح زول

• أندروز، بن؛ برايان، بول (2010)، "حدود الانحناء من خلال المقارنة المتساوية المحيطية لتدفق ريتشي الطبيعي على الكرتين"، معادلات التفاضل الجزئي ، 39 (3-4): 419-428، arXiv : 0908.3606 ، doi :10.1007/s00526-010-0315-5، S2CID  1095459
• أرنولد، السادس (1989)، الأساليب الرياضية في الميكانيكا الكلاسيكية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 60 (الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ، رقم ISBN 978-0-387-90314-9؛ ترجمها من اللغة الروسية ك. فوجتمان و أ. وينشتاين.
• بيرجر، مارسيل (2004)، رؤية بانورامية للهندسة الريمانية ، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 978-3-540-65317-2
• بيرجر، ميلفين س. (1977)، التحليل اللاخطي والتحليل الوظيفي ، أكاديميك بريس، رقم ISBN 978-0-12-090350-4
• بونولا، روبرتو؛ كارسلو، إتش إس؛ إنريكي، ف. (1955)، الهندسة غير الإقليدية: دراسة نقدية وتاريخية لتطورها ، دوفر، ISBN 978-0-486-60027-7
• بوثبي، ويليام م. (1986)، مقدمة إلى المتشعبات القابلة للتفاضل والهندسة الريمانية ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد 120 (الطبعة الثانية)، أكاديميك بريس، رقم ISBN 0121160521
• كارتان، إيلي (1983)، هندسة الفضاءات الريمانية، دار نشر ماث ساينس، رقم ISBN 978-0-915692-34-7; مترجم من الطبعة الثانية من Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann (1951) بقلم جيمس جلازبروك.
• كارتان، إيلي (2001)، الهندسة الريمانية في إطار متعامد (من المحاضرات التي ألقاها إي كارتان في السوربون في عامي 1926-1927) (PDF) ، مجلة العلوم العالمية، رقم ISBN 978-981-02-4746-1 ^{[ رابط معطل ]} ؛ ترجمة من الروسية بقلم VV Goldberg مع مقدمة بقلم SS Chern .
• كارتان، هنري (1971)، حساب التفاضل (بالفرنسية)، هيرمان ، ISBN 9780395120330
• تشن، شيو شيونغ؛ لو، بينج؛ تيان، جانج (2006)، "ملاحظة حول توحيد أسطح ريمان بواسطة تدفق ريتشي"، وقائع AMS ، 134 (11): 3391–3393، doi : 10.1090/S0002-9939-06-08360-2
• تشيرن، إس إس (1967)، المنحنيات والأسطح في الفضاءات الإقليدية ، دراسات في الرياضيات، الجمعية الرياضية الأمريكية
• تشاو، ب. (1991)، "تدفق ريتشي على كرة ذات 2 كرة"، مجلة الهندسة التفاضلية ، 33 (2): 325-334، doi : 10.4310/jdg/1214446319
• كورانت، ريتشارد (1950)، مبدأ دي ريتشليت، رسم الخرائط المطابقة والأسطح الدنيا ، جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 978-0-486-44552-6
• داربوكس، غاستون ، دروس في النظرية العامة للأسطح ، غوتييه فيلارالمجلد الأول (1887)، المجلد الثاني (1915) [1889]، المجلد الثالث (1894)، المجلد الرابع (1896).
• دينج، دبليو. (2001)، "إثبات نظرية التوحيد على S ² "، مجلة المعادلات التفاضلية الجزئية ، 14 : 247-250
• دو كارمو، مانفريدو ب. (2016)، الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح (الطبعة الثانية المنقحة والمحدثة)، مينولا، نيويورك: دوفر للنشر، المحدودة، رقم ISBN 978-0-486-80699-0
• كارمو، مانفريدو (1992)، الهندسة الريمانية ، الرياضيات: النظرية والتطبيقات، بيركهاوزر، ISBN 0-8176-3490-8
• آيزنهارت، لوثر فاهلير (2004)، أطروحة حول الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح (إعادة طباعة طبعة 1909)، دار دوفر للنشر، رقم ISBN 0-486-43820-1
• Euler، Leonhard (1760)، “Recherches sur la courbure des Surfaces”، مذكرات أكاديمية العلوم في برلين ، 16 (نشرت 1767): 119-143.
• Euler، Leonhard (1771)، “De Solidis quorum superficiem in Planum explicare licet”، Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae ، 16 (نشرت 1772): 3–34.
• جاوس، كارل فريدريش (1902)، تحقيقات عامة للأسطح المنحنية لعامي 1825 و1827، مكتبة جامعة برينستونتمت الترجمة بواسطة AM Hiltebeitel وJC Morehead؛ "Disquisitiones Generales circa superficies curvas"، Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Residentiores Vol. السادس (1827)، الصفحات من 99 إلى 146.
  • Gauss, Carl Friedrich (1965), General Investigations of Curved Surfaces , ترجمة AM Hiltebeitel; JC Morehead, Hewlett, NY: Raven Press, OCLC  228665499.
  • جاوس، كارل فريدريش (2005)، تحقيقات عامة حول الأسطح المنحنية ، تم تحريرها بمقدمة جديدة وملاحظات بقلم بيتر بيسيك، مينولا، نيويورك: منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-44645-5.
• جراي، ألفريد؛ أبينيا، إلسا؛ سالامون، سيمون (2006)، الهندسة التفاضلية الحديثة للمنحنيات والأسطح باستخدام برنامج ماثيماتيكا® ، دراسات في الرياضيات المتقدمة (الطبعة الثالثة)، بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان وهول/سي آر سي، رقم ISBN 978-1-58488-448-4
• هان، تشينج؛ هونغ، جيا-شينغ (2006)، التضمين المتساوي القياس للمتعددات الريمانية في الفضاءات الإقليدية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 978-0-8218-4071-9
• هيلجاسون، سيجوردور (1978)، الهندسة التفاضلية، مجموعات لاي، والمساحات المتماثلة ، أكاديميك بريس، نيويورك، ISBN 978-0-12-338460-7
• هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، ستيفان (1952)، الهندسة والخيال (الطبعة الثانية)، نيويورك: تشيلسي، ISBN 978-0-8284-1087-8
• هيتشين، نايجل (2013)، هندسة الأسطح (PDF)
• هوبف، هاينز (1989)، محاضرات عن الهندسة التفاضلية في الرياضيات ، مذكرات محاضرات في الرياضيات، المجلد 1000، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 978-3-540-51497-8
• إيمايوشي، ي.؛ تانيجوتشي، م. (1992)، مقدمة إلى فضاءات تيكمولر ، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 978-0-387-70088-5
• آيفي، توماس أ.؛ لاندسبيرج، جيه إم (2003)، كارتان للمبتدئين: الهندسة التفاضلية عبر الإطارات المتحركة والأنظمة الخارجية ، دراسات عليا في الرياضيات، المجلد 61، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 978-0-8218-3375-9
• كاتز، ميخائيل ج. (2007)، الهندسة الانقباضية والطوبولوجيا ، المسوحات والدراسات الرياضية، المجلد 137، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 978-0-8218-4177-8
• ميلنور، ج. (1963). نظرية مورس . حوليات دراسات الرياضيات. المجلد 51. برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. MR  0163331. Zbl  0108.10401.
• كوباياشي، شوشيتشي (1956)، "الاتصالات المستحثة والفضاء الريماني المضمن"، مجلة ناغويا للرياضيات ، 10 : 15-25، doi : 10.1017/S0027763000000052
• كوباياشي ، شوشيشي (1957)، “نظرية الاتصالات”، Annali di Matematica Pura ed Applicata ، السلسلة 4، 43 : 119–194، دوى : 10.1007 / BF02411907 ، S2CID  120972987,
• كوباياشي، شوشيتشي؛ نوميزو، كاتسومي (1963)، أساسيات الهندسة التفاضلية، المجلد الأول ، وايلي إنترساينس، رقم ISBN 978-0-470-49648-0
• كوباياشي، شوشيشي؛ نوميزو، كاتسومي (1969)، أسس الهندسة التفاضلية، المجلد. II ، وايلي إنترساينس، ISBN 978-0-470-49648-0
• كريسيج، إروين (1991)، الهندسة التفاضلية ، دوفر، ISBN 978-0-486-66721-8
• كوهنيل، ولفجانج (2006)، الهندسة التفاضلية: المنحنيات - الأسطح - المتشعبات ، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 978-0-8218-3988-1
• Levi-Civita، Tullio (1917)، “Nozione di موازية في una varietà qualunque”، Rend. سيرك. حصيرة. باليرمو ، 42 : 173-205، دوى :10.1007 / BF03014898، S2CID  122088291
• أونيل، باريت (2006)، الهندسة التفاضلية الأولية (الطبعة الثانية المنقحة)، أمستردام: إلسفير/أكاديميك بريس، رقم ISBN 0-12-088735-5
• أوسجود، ب.؛ فيليبس، ر.؛ سارناك، ب. (1988)، "القيم المتطرفة لمحددات لابلاسيان"، مجلة التحليل الوظيفي ، 80 : 148-211، doi : 10.1016/0022-1236(88)90070-5
• أوسيرمان، روبرت (2002)، مسح للأسطح الدنيا ، دوفر، ISBN 978-0-486-49514-9
• يان ر. بورتيوس (2001) التمايز الهندسي: لذكاء المنحنيات والأسطح ، مطبعة جامعة كامبريدج ISBN 0-521-00264-8 . 
• بريسلي، أندرو (2001)، الهندسة التفاضلية الأولية ، سلسلة الرياضيات الجامعية سبرينغر، سبرينغر فيرلاغ، رقم ISBN 978-1-85233-152-8
• ساكس، جيه؛ أولينبيك، كارين (1981)، "وجود غمرات ضئيلة للكرات ذات الكرتين"، مجلة الرياضيات ، 112 (1): 1-24، doi :10.2307/1971131، JSTOR  1971131
• سينجر، إيزادور م .؛ ثورب، جون أ. (1967)، ملاحظات محاضرات حول الطوبولوجيا الأولية والهندسة ، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 978-0-387-90202-9
• سبيفاك، مايكل (1965)، حساب التفاضل والتكامل على المتشعبات. نهج حديث للنظريات الكلاسيكية لحساب التفاضل والتكامل المتقدم ، دبليو إيه بنيامين
• ستيلويل، جون (1996)، مصادر الهندسة الزائدية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 978-0-8218-0558-9
• سترويك، ديرك (1987)، تاريخ موجز للرياضيات (الطبعة الرابعة)، منشورات دوفر، رقم ISBN 0486602559
• سترويك، ديرك ج. (1988) [1961]، محاضرات في الهندسة التفاضلية الكلاسيكية (إعادة طباعة الطبعة الثانية)، نيويورك: دوفر للنشر، رقم ISBN 0-486-65609-8
• تايلور، مايكل إي. (1996أ)، المعادلات التفاضلية الجزئية الجزء الثاني: دراسات نوعية للمعادلات الخطية ، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 978-1-4419-7051-0
• تايلور، مايكل إي. (1996ب)، المعادلات التفاضلية الجزئية III: المعادلات غير الخطية ، Springer-Verlag، ISBN 978-1-4419-7048-0
• ثورب، جون أ. (1994)، مواضيع أولية في الهندسة التفاضلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، سبرينغر فيرلاغ، رقم ISBN 0387903577
• توبونوجوف، فيكتور أ. (2005)، الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح: دليل موجز ، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 978-0-8176-4384-3
• فاليرون، جورج (1986)، الهندسة التفاضلية الكلاسيكية للمنحنيات والأسطح ، دار نشر ماث ساينس، رقم ISBN 978-0-915692-39-2النص الكامل للكتاب
• وارنر، فرانك دبليو. (1983)، أساسيات المتشعبات القابلة للاشتقاق ومجموعات لاي ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 94، سبرينغر، رقم ISBN 0-387-90894-3
• ويلز، رو (2017)، الهندسة التفاضلية والمعقدة: الأصول والتجريدات والتضمينات ، سبرينغر، رقم ISBN 9783319581842
• ويلسون، بيلهام (2008)، الفضاء المنحني: من الهندسة الكلاسيكية إلى الهندسة التفاضلية الأولية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-71390-0

• الوسائط المتعلقة بالهندسة التفاضلية للأسطح في ويكيميديا ​​كومنز