العوامل الهابطة والصاعدة

في الرياضيات ، يُعرَّف المضروب التنازلي (ويُسمى أحيانًا المضروب النازل ، أو ^{حاصل الضرب} التتابعي التنازلي ^، أو المضروب السفلي ) بأنه متعدد الحدود$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ عوامل}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(xk).\end{aligned}}}$$

يُعرَّف المضروب التصاعدي (ويُسمى أحيانًا دالة بوخامر ، أو متعدد حدود بوخامر ، أو ^{المضروب} التصاعدي ، ^{أو حاصل} الضرب التسلسلي التصاعدي ، أو المضروب العلوي ) على النحو التالي:$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n)}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ عوامل}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{aligned}}}$$

تُعتبر قيمة كل منها 1 ( ناتج فارغ ) عندما${\displaystyle n=0}$تُسمى هذه الرموز مجتمعة بالقوى العاملية . ^{[ 2 ]}

رمز بوخامر ، الذي قدمه ليو أوغست بوخامر ، هو الترميز${\displaystyle (x)_{n}}$حيث n عدد صحيح غير سالب . وقد يُمثل هذا العدد المضروب التصاعدي أو التنازلي، مع اختلاف الاصطلاحات المستخدمة بين المقالات والمؤلفين. وقد استخدم بوتشامر نفسه هذا العدد المضروب التصاعدي أو التنازلي.${\displaystyle (x)_{n}}$بمعنى آخر، وهو أن يدل على معامل ذي الحدين${\displaystyle {\tbinom {x}{n}}}$[ ^{3 ]​}

في هذه المقالة، الرمز${\displaystyle (x)_{n}}$يُستخدم لتمثيل المضروب المتناقص، والرمز${\displaystyle x^{(n)}}$يُستخدم هذا الرمز للدلالة على المضروب التصاعدي. تُستخدم هذه الاصطلاحات في علم التوافيق ، ^{[ 4 ]} على الرغم من استخدام رموز كنوت للخط السفلي والخط العلوي${\displaystyle x^{\underline {n}}}$و${\displaystyle x^{\overline {n}}}$تزداد شعبيتها. ^{[ 2 ] [ 5 ]} في نظرية الدوال الخاصة (وخاصة الدالة فوق الهندسية ) وفي المرجع القياسي أبراموفيتز وستيجون ، رمز بوخامر${\displaystyle (x)_{n}}$يُستخدم لتمثيل المضروب المتزايد. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

متى${\displaystyle x}$هو عدد صحيح موجب، وهو المضروب المتناقص${\displaystyle (x)_{n}}$يُعطي عدد التباديل من الرتبة n ، وهي متواليات من${\displaystyle n}$عناصر مميزة) من${\displaystyle x}$مجموعة من العناصر، أو ما يعادلها عدد الدوال الأحادية من مجموعة بحجم${\displaystyle n}$إلى مجموعة من الأحجام${\displaystyle x}$العامل التصاعدي${\displaystyle x^{(n)}}$يعطي عدد أقسام${\displaystyle n}$مجموعة العناصر في${\displaystyle x}$تسلسلات مرتبة (قد تكون فارغة). ^{[ أ ]}

فيما يلي بعض المعادلات الهابطة الأولى: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x)_{0}&&&=1\\(x)_{1}&&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1)&&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&&=x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{alignedat}}}$$

فيما يلي بعض العوامل التصاعدية الأولى: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x^{(0)}&&&=1\\x^{(1)}&&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1)&&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{alignedat}}}$$

المعاملات التي تظهر في التوسعات هي أعداد ستيرلينغ من النوع الأول ؛ انظر §  معاملات الاتصال والهويات أدناه.

عندما يكون المتغير${\displaystyle x}$هو عدد صحيح موجب، العدد${\displaystyle (x)_{n}}$يساوي عدد التباديل من الرتبة n لمجموعة من x عنصرًا ، أي عدد طرق اختيار قائمة مرتبة بطول${\displaystyle n}$يتكون من عناصر مميزة مستمدة من مجموعة ذات حجم${\displaystyle x}$. على سبيل المثال،${\displaystyle (8)_{3}=8\times 7\times 6=336}$يمثل هذا عدد منصات التتويج المختلفة الممكنة، وتوزيع الميداليات الذهبية والفضية والبرونزية في سباق يضم ثمانية أشخاص. من ناحية أخرى،${\displaystyle x^{(n)}}$هو "عدد طرق الترتيب"${\displaystyle n}$الأعلام على${\displaystyle x}$"أعمدة الأعلام"، ^{[ 8 ]} حيث يجب استخدام جميع الأعلام، ويمكن أن يحتوي كل عمود علم على أي عدد من الأعلام. وبالمثل، هذا هو عدد طرق تقسيم مجموعة بحجم${\displaystyle n}$(الأعلام) إلى${\displaystyle x}$أجزاء منفصلة (أعمدة الأعلام)، مع ترتيب خطي للعناصر في كل جزء (ترتيب الأعلام على كل عمود).

ترتبط العوامل الصاعدة والهابطة ببعضها البعض ببساطة: $$$$$ترتبط مضروبات الأعداد الصحيحة التنازلية والتصاعدية ارتباطًا مباشرًا بالمضروب العادي : $$\displaystyle \begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!}{(mn)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned}}}$$^{[ 9 ]} هوية مفيدة لمجاميع المضروب المتناقص$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(k)_{m}={\frac {(n)_{m+1}}{m+1}}.}$$ترتبط المضروبات المتزايدة للأعداد النصفية ارتباطًا مباشرًا بالمضروب المزدوج${\displaystyle m!!=m(m-2)(m-4)\cdots }$: $$\displaystyle \begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},\quad \left[{\frac {2m+1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^{n}(2m-1)!!}}.\end{aligned}}}$$يمكن استخدام المضروب التنازلي والمضروب التصاعدي للتعبير عن معامل ذي الحدين : $$\displaystyle \begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^{(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}}$$وبالتالي، فإن العديد من المتطابقات المتعلقة بمعاملات ذات الحدين تنتقل إلى المضروب المتناقص والمتزايد.

تكون العوامل الصاعدة والهابطة محددة جيدًا في أي حلقة أحادية ، وبالتالي${\displaystyle x}$يمكن اعتبارها، على سبيل المثال، عددًا مركبًا ، بما في ذلك الأعداد الصحيحة السالبة، أو متعددة الحدود ذات المعاملات المركبة، أو أي دالة ذات قيم مركبة .

ترتبط المضروبات الهابطة والصاعدة ارتباطًا وثيقًا بأعداد ستيرلينغ . في الواقع، يكشف فكّ حاصل الضرب عن أعداد ستيرلينغ من النوع الأول.$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{k}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}\\\end{aligned}}}$$وتستخدم العلاقات العكسية أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.\end{aligned}}}$$ترتبط المضروبات الهابطة والمضروبات الصاعدة ببعضها البعض من خلال أعداد لاه.${\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}$[ ^{10 ]​}$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}\\(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-1)^{n-k}x^{(k)}\end{aligned}}}$$بما أن المضروب المتناقص هو أساس لحلقة كثيرات الحدود ، يمكن للمرء أن يعبر عن حاصل ضرب اثنين منها كتركيبة خطية من المضروب المتناقص: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}k!\cdot (x)_{m+n-k}\ .}$$المعاملات${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!}$وتسمى هذه المعاملات بمعاملات الاتصال ، ولها تفسير توافقي على أنها عدد الطرق لتحديد (أو "ربط") k عنصرًا من مجموعة بحجم m ومجموعة بحجم n .

توجد أيضًا صيغة ربط لنسبة مضروبين متزايدين معطاة على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},\quad {\text{for }}n\geq i.}$$بالإضافة إلى ذلك، يمكننا توسيع قوانين الأسس المعممة والقوى الصاعدة والهابطة السالبة من خلال الهويات التالية: ^{[ 12 ] (ص 52)}$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}=(x)_{n}(x-n)_{m}\\[6pt]x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}=x^{(n)}(x+n)^{(m)}\\[6pt]x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (x-n)}{\Gamma (x)}}={\frac {(x-n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}}\\[6pt](x)_{-n}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+n+1)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1}{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}\end{aligned}}}$$وأخيرًا، توفر صيغ المضاعفة والضرب للمضروب التنازلي والمضروب التصاعدي العلاقات التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n}&{\text{ for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt]x^{(k+mn)}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)}&{\text{ for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right)&{\text{ for }}x&\neq 0\\[6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\end{aligned}}}$$

يظهر المضروب المتناقص في صيغة تمثل كثيرات الحدود باستخدام عامل الفرق الأمامي${\displaystyle \operatorname {\Delta } f(x)~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f(x+1)-f(x),}$وهو في شكله نظير دقيق لنظرية تايلور : قارن متسلسلة تايلور من حساب التفاضل والتكامل الظلي

$${\displaystyle \qquad f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {1}{n!}}\operatorname {\Delta } _{x}^{n}f(x){\bigg \vert }_{x=0}(t)_{n}\qquad }$$

مع السلسلة المقابلة من حساب التفاضل والتكامل

$${\displaystyle \qquad f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left[{\frac {d}{dx}}\right]^{n}f(x){\bigg \vert }_{x=0}t^{n}~.}$$

في هذه الصيغة وفي العديد من المواضع الأخرى، المضروب المتناقص${\displaystyle (x)_{n}}$يلعب دور في حساب التفاضل والتكامل للفروق المحدودة${\displaystyle x^{n}}$في حساب التفاضل والتكامل. كمثال آخر، لاحظ التشابه في${\displaystyle ~\operatorname {\Delta } (x)_{n}=n(x)_{n-1}~}$ل${\displaystyle ~{\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}~.}$

توجد علاقة مماثلة بالنسبة للمضروب الصاعد ومؤثر الفرق العكسي.

يُعرف علم دراسة التناظرات من هذا النوع بحساب الظلال . وتُقدّم نظرية متتابعات كثيرات الحدود من النوع ذي الحدين ومتتابعات شيفر نظرية عامة تشمل هذه العلاقات، بما في ذلك دوال المضروب الهابطة والصاعدة . وتُعدّ دوال المضروب الهابطة والصاعدة متتابعات شيفر من النوع ذي الحدين، كما هو موضح في العلاقات التالية:

$${\displaystyle \ {\begin{aligned}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{n-j}(b)_{j}\\[6pt](a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{(n-j)}b^{(j)}\end{aligned}}\ }$$

حيث تكون المعاملات هي نفسها الموجودة في نظرية ذات الحدين .

وبالمثل، فإن الدالة المولدة لكثيرات حدود بوخامر تُعادل الدالة الأسية الظلية.

$${\displaystyle \ \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=(1+t)^{x},}$$

منذ

$${\displaystyle \ \operatorname {\Delta } _{x}(1+t)^{x}=t\cdot (1+t)^{x}~.}$$

صيغة بديلة للمضروب المتزايد $${\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$ وبالنسبة للعامل المتناقص $${\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$ يعود هذا إلى أ. كابيلي (1893) ول. توسكانو (1939) على التوالي. ^{[ 2 ]} يقترح غراهام، وكنوث، وباتاشنيك ^{[ 12 ] (الصفحتان 47 و 48)} نطق هذه التعبيرات على أنها " x مرفوعة إلى m صاعدة" و" x مرفوعة إلى m هابطة" على التوالي.

صيغة بديلة للمضروب المتزايد${\displaystyle x^{(n)}}$الأقل شيوعاً${\displaystyle (x)_{n}^{+}~.}$متى${\displaystyle (x)_{n}^{+}}$يُستخدم الرمز للدلالة على المضروب التصاعدي، وهو الترميز${\displaystyle (x)_{n}^{-}}$يُستخدم عادةً للعامل التنازلي العادي، لتجنب الالتباس. ^{[ 3 ]}

يوجد لرمز بوخامر نسخة معممة تُسمى رمز بوخامر المعمم ، وتُستخدم في التحليل متعدد المتغيرات . كما يوجد نظير له يُسمى رمز بوخامر- q .

لأي دالة حسابية ثابتة${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$والمعاملات الرمزية x و t ، والمنتجات العاملية المعممة ذات الصلة من الشكل

$${\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}$$

يمكن دراستها من وجهة نظر فئات أعداد ستيرلينغ المعممة من النوع الأول المحددة بواسطة المعاملات التالية لقوى x في توسعات ( x ) _{n و f و t،} ثم بواسطة علاقة التكرار المثلثية المقابلة التالية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=\left[x^{k-1}\right](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}$$

تحقق هذه المعاملات عددًا من الخصائص المماثلة لتلك الخاصة بأعداد ستيرلينغ من النوع الأول بالإضافة إلى علاقات التكرار والمعادلات الوظيفية المتعلقة بأعداد التوافقيات f ، ^{[ 13 ]}$${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}\,.}$$

• رمز بوخامر k
• هوية فاندرموند

• وايسشتاين، إريك دبليو. "رمز بوخامر" . عالم الرياضيات .