حلقة (رياضيات)

In the terminology of this article, a ring is defined to have a multiplicative identity, while a structure with the same axiomatic definition but without the requirement for a multiplicative identity is instead called a "rng" (IPA: /rʊŋ/) with a missing "i". For example, the set of even integers with the usual + and ⋅ is a rng, but not a ring. As explained in § History below, many authors apply the term "ring" without requiring a multiplicative identity.

Although ring addition is commutative, ring multiplication is not required to be commutative: ab need not necessarily equal ba. Rings that also satisfy commutativity for multiplication (such as the ring of integers) are called commutative rings. Books on commutative algebra or algebraic geometry often adopt the convention that ring means commutative ring, to simplify terminology.

In a ring, multiplicative inverses are not required to exist. A nonzero ring in which every nonzero element has a multiplicative inverse is called a division ring and a commutative division ring is called a field.

The additive group of a ring is the underlying set equipped with only the operation of addition. Although the definition requires that the additive group be abelian, this can be inferred from the other ring axioms.^[4] The proof makes use of the "1", and does not work in a rng. (For a rng, omitting the axiom of commutativity of addition leaves it inferable from the remaining rng assumptions only for elements that are products: ab + cd = cd + ab.)

Some authors use the term "ring" to refer to structures in which there is no requirement for multiplication to be associative; see the nonassociative ring subsection below.^[5] For these authors, every algebra is a "ring".

تترتب بعض الخصائص الأساسية للحلقة مباشرة من البديهيات:

• الهوية الإضافية فريدة.
• المعكوس الجمعي لكل عنصر فريد.
• العنصر المحايد المضاعف فريد من نوعه.
• لأي عنصر x في حلقة R ، يكون لدينا x 0 = 0 = 0 x (الصفر عنصر امتصاصي بالنسبة للضرب) و (–1) x = – x .
• إذا كان 0 = 1 في حلقة R (أو بشكل عام، 0 هو عنصر الوحدة)، فإن R يحتوي على عنصر واحد فقط، ويسمى حلقة الصفر .
• إذا احتوت حلقة R على الحلقة الصفرية كحلقة فرعية، فإن R نفسها هي الحلقة الصفرية. ^{[ 6 ]}
• تنطبق صيغة ذات الحدين على أي قيمتين x و y تحققان المعادلة xy = yx .

جهّز المجموعة${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}}$مع العمليات التالية:

• المجموع${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$في​${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$يمثل ⁠ باقيقسمة العدد الصحيح x + y على 4 (بما أن x + y أصغر دائمًا من 8 ، فإن هذا الباقي إما x + y أو x + y − 4 ). على سبيل المثال،${\displaystyle {\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}}$و${\displaystyle {\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}.}$
• المنتج${\displaystyle {\overline {x}}\cdot {\overline {y}}}$في​${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$يمثل ⁠ باقيقسمة العدد الصحيح xy على 4. على سبيل المثال،${\displaystyle {\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}}$و${\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}.}$

ثم​${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$⁠ هي حلقة: كل بديهية تتبع من البديهية المقابلة لها لـ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} .}$إذا كان x عددًا صحيحًا، فإن باقي قسمة x على 4 يمكن اعتباره عنصرًا من${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} ,}$وغالباً ما يُشار إلى هذا العنصر بـ " x mod 4 " أو${\displaystyle {\overline {x}},}$وهو ما يتوافق مع الترميز المستخدم للأعداد 0، 1، 2، 3. المعكوس الجمعي لأي عدد${\displaystyle {\overline {x}}}$في​${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$هو​${\displaystyle -{\overline {x}}={\overline {-x}}.}$على سبيل المثال،${\displaystyle -{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.}$

مجموعة المصفوفات المربعة 2×2 ذات المدخلات في الحقل F هي ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in F\right\}.}$

باستخدام عمليتي جمع المصفوفات وضرب المصفوفات ،${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)}$يحقق بديهيات الحلقة المذكورة أعلاه. العنصر${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$هو العنصر المحايد الضربي للحلقة. إذا${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$و${\displaystyle B=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),}$ثم${\displaystyle AB=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$بينما${\displaystyle BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right);}$يوضح هذا المثال أن الحلقة غير تبديلية.

بشكل عام، بالنسبة لأي حلقة R ، سواء كانت تبديلية أم لا، وأي عدد صحيح غير سالب n ، فإن المصفوفات المربعة n × n ذات المدخلات في R تشكل حلقة؛ انظر حلقة المصفوفات .

نشأت دراسة الحلقات من نظرية حلقات كثيرات الحدود ونظرية الأعداد الصحيحة الجبرية . ^{[ 11 ]} في عام 1871، عرّف ريتشارد ديديكيند مفهوم حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي. ^{[ 12 ]} في هذا السياق، قدّم مصطلحي "المثالي" (المستوحى من مفهوم إرنست كومر للعدد المثالي) و"الوحدة النمطية" ودرس خصائصهما. لم يستخدم ديديكيند مصطلح "الحلقة" ولم يُعرّف مفهوم الحلقة في سياق عام.

صاغ ديفيد هيلبرت مصطلح "حلقة الأعداد" (Zahlring) عام 1892، ونُشر عام 1897. ^{[ 13 ]} ووفقًا لهارفي كوهن، استخدم هيلبرت هذا المصطلح لوصف حلقة تتميز بخاصية "العودة المباشرة" إلى عنصر من عناصرها (بمعنى التكافؤ ) . ^{[ 14 ]} تحديدًا، في حلقة الأعداد الجبرية، يمكن كتابة جميع القوى العليا لعدد جبري على شكل توليفة صحيحة من مجموعة ثابتة من القوى الأدنى، وبالتالي فإن القوى "تعود" إلى عناصرها. على سبيل المثال، إذا كان ^a³ - 4a + 1 = 0، فإن:

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}&=4a-1,\\a^{4}&=4a^{2}-a,\\a^{5}&=-a^{2}+16a-4,\\a^{6}&=16a^{2}-8a+1,\\a^{7}&=-8a^{2}+65a-16,\\\vdots \ &\qquad \vdots \end{aligned}}}$

وهكذا دواليك؛ بشكل عام، سيكون a ⁿ عبارة عن تركيبة خطية صحيحة من 1 و a و a ² .

قدّم أبراهام فرانكل أول تعريف بديهي للحلقة عام 1915، ^{[ 15 ] [ 16 ]} لكن بديهياته كانت أكثر صرامة من تلك الواردة في التعريف الحديث. فعلى سبيل المثال، اشترط أن يكون لكل قاسم غير الصفر معكوس ضربي . ^{[ 17 ]} وفي عام 1921، قدّمت إيمي نوثر تعريفًا بديهيًا حديثًا للحلقات التبديلية (مع وبدون 1) ووضعت أسس نظرية الحلقات التبديلية في بحثها "نظرية المثالي في حلقات" (Idealtheorie in Ringbereichen ). ^{[ 18 ]}

استخدم فرانكل مصطلح "الحلقة" للإشارة إلى البنى التي تحتوي على بديهيات تتضمن عنصرًا محايدًا ضربيًا، ^{[ 19 ]} بينما استخدمه نوثر للإشارة إلى البنى التي لا تحتوي على ذلك. ^{[ 18 ]}

اتبعت معظم كتب الجبر، إن لم تكن جميعها، ^{حتى عام 1960 تقريبًا ، منهج} نوثر في عدم اشتراط وجود العنصر ¹ في تعريف "الحلقة". وابتداءً من ستينيات القرن العشرين، أصبح من الشائع بشكل متزايد تضمين الكتب لتعريف "الحلقة" بوجود العنصر ^{1 ، لا سيما} في ^الكتب المتقدمة لمؤلفين بارزين مثل آرتين، ^{وبورباكي} ، وإيزنبد، ^{ولانغ . وهناك} أيضًا ^{كتب نُشرت حتى عام 2022 تستخدم المصطلح دون اشتراط} وجود العنصر 1. وبالمثل، ^لا تشترط موسوعة الرياضيات ^وجود عناصر محايدة في الحلقات . وفي المقالات ^{البحثية} ، غالبًا ^{ما يحدد المؤلفون تعريف الحلقة الذي يستخدمونه في} بداية المقالة ^.

يؤكد غاردنر وويغاندت أنه عند التعامل مع عدة عناصر في فئة الحلقات (بدلاً من العمل مع حلقة ثابتة)، إذا اشترطنا وجود عنصر محايد في جميع الحلقات ، فإن بعض النتائج تشمل عدم وجود مجاميع مباشرة لانهائية للحلقات، وأن المجاميع المباشرة الصحيحة للحلقات ليست حلقات جزئية. ويخلصان إلى أنه "في العديد من فروع نظرية الحلقات، وربما معظمها، فإن اشتراط وجود عنصر محايد غير منطقي، وبالتالي غير مقبول". ^{[ 30 ]} يقدم بونين حجة مضادة مفادها أن المفهوم الطبيعي للحلقات هو الضرب المباشر وليس المجموع المباشر. ومع ذلك، فإن حجته الرئيسية هي أن الحلقات التي لا تحتوي على عنصر محايد ضربي ليست تجميعية تمامًا، بمعنى أنها لا تحتوي على حاصل ضرب أي متتالية منتهية من عناصر الحلقة، بما في ذلك المتتالية الفارغة. ^{[ ج ] [ 31 ]}

يجوز للمؤلفين الذين يتبعون أيًا من الاتفاقيتين لاستخدام مصطلح "حلقة" استخدام أحد المصطلحات التالية للإشارة إلى الأشياء التي تستوفي الاتفاقية الأخرى:

• يتضمن ذلك شرطًا لوجود عنصر محايد ضربي: "حلقة وحدوية"، "حلقة وحدوية"، "حلقة وحدوية"، "حلقة ذات عنصر محايد"، "حلقة ذات عنصر واحد"، ^{[ 32 ]} أو "حلقة ذات  1". ^{[ 33 ]}
• لحذف شرط وجود عنصر محايد ضربي: "rng" ^{[ 34 ]} أو "الحلقة الزائفة" ^{[ 35 ]} على الرغم من أن الأخير قد يكون مربكًا لأنه يحمل معاني أخرى أيضًا.

• المثال النموذجي هو حلقة الأعداد الصحيحة التي تتضمن عمليتي الجمع والضرب.
• الأعداد النسبية والحقيقية والمركبة هي حلقات تبديلية من نوع يسمى الحقول .
• الجبر الترابطي الأحادي على حلقة تبديلية R هو نفسه حلقة بالإضافة إلى كونه وحدة نمطية على R. بعض الأمثلة:
  • الجبر R [ X ] لكثيرات الحدود ذات المعاملات في R .
  • الجبر${\displaystyle R[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}$من متسلسلات القوى الرسمية ذات المعاملات في R.
  • تشكل مجموعة جميع الدوال الحقيقية المتصلة المعرفة على خط الأعداد الحقيقية مجموعة تبديلية${\displaystyle \mathbb {R} }$الجبر . العمليات هي الجمع والضرب النقطي للدوال.
  • ليكن X مجموعة، وليكن R حلقة. عندئذٍ، تشكل مجموعة جميع الدوال من X إلى R حلقة، وهي تبديلية إذا كانت R تبديلية.
• حلقة الأعداد الصحيحة التربيعية ، والإغلاق التكاملي لـ${\displaystyle \mathbb {Z} }$في امتداد تربيعي لـ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$إنها حلقة فرعية من حلقة جميع الأعداد الصحيحة الجبرية .
• حلقة الأعداد الصحيحة المنتهية${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }},}$⁠ حاصل الضرب (اللانهائي) لحلقاتالأعداد الصحيحة p -adic ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$على جميع الأعداد الأولية p .
• حلقة هيك ، الحلقة المتولدة بواسطة عوامل هيك.
• إذا كانت S مجموعة، فإن مجموعة القوى لـ S تصبح حلقة إذا عرّفنا الجمع بأنه الفرق المتناظر بين المجموعات والضرب بأنه التقاطع . هذا مثال على حلقة منطقية .

• لأي حلقة R وأي عدد طبيعي n ، فإن مجموعة جميع المصفوفات المربعة من الرتبة n × n ذات عناصر من R تُشكّل حلقةً تتضمن عمليتي جمع المصفوفات وضربها. عندما n = 1 ، تكون حلقة المصفوفات هذه متماثلة مع R نفسها. أما عندما n > 1 (و R ليست الحلقة الصفرية)، فإن حلقة المصفوفات هذه غير تبديلية.
• إذا كانت G زمرة تبديلية ، فإن التشاكلات الداخلية لـ G تُشكّل حلقة، تُسمى حلقة التشاكلات الداخلية End( G ) لـ G. العمليات في هذه الحلقة هي جمع وتركيب التشاكلات الداخلية. وبشكل أعم، إذا كانت V وحدة نمطية يسارية على حلقة R ، فإن مجموعة جميع التطبيقات الخطية على R تُشكّل حلقة، تُسمى أيضًا حلقة التشاكلات الداخلية ويُرمز لها بـ EndR ( _V ) . 
• حلقة التشاكل الداخلي لمنحنى إهليلجي . وهي حلقة تبديلية إذا تم تعريف المنحنى الإهليلجي على حقل ذي خاصية صفرية.
• إذا كانت G زمرة و R حلقة، فإن حلقة زمرة G على R هي وحدة حرة على R تتخذ G أساسًا لها. يُعرَّف الضرب بالقواعد التالية: عناصر G تتبادل مع عناصر R وتُضرب معًا كما تُضرب في الزمرة G.
• حلقة المؤثرات التفاضلية (بحسب السياق). في الواقع، العديد من الحلقات التي تظهر في التحليل غير تبادلية. على سبيل المثال، معظم جبر باناخ غير تبادلي.

• مجموعة الأعداد الطبيعية${\displaystyle \mathbb {N} }$لا تُشكّل العملية المعتادة حلقة، لأن${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ليست زمرةً أصلاً(ليست كل عناصرها قابلةً للعكس بالنسبة لعملية الجمع - على سبيل المثال، لا يوجد عدد طبيعي يمكن إضافته إلى 3 للحصول على 0 كنتيجة). هناك طريقة طبيعية لتوسيعها إلى حلقة، وذلك بإضافة الأعداد السالبة لإنتاج حلقة الأعداد الصحيحة .${\displaystyle \mathbb {Z} .}$تشكل الأعداد الطبيعية (بما في ذلك 0 ) بنية جبرية تُعرف باسم شبه الحلقة (والتي تحتوي على جميع بديهيات الحلقة باستثناء بديهيات المعكوس الجمعي).
• ليكن R مجموعة جميع الدوال المتصلة على خط الأعداد الحقيقية التي تتلاشى خارج فترة محدودة تعتمد على الدالة، مع الجمع كالمعتاد ولكن مع تعريف الضرب على أنه التفاف :$${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy.}$$إذن R عبارة عن مجموعة عشوائية، ولكنها ليست حلقة: دالة ديراك دلتا لها خاصية العنصر المحايد الضربي، لكنها ليست دالة وبالتالي فهي ليست عنصرًا من R. 

لكل عدد صحيح غير سالب n ، معطى متتالية${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$بالنسبة لـ n عنصرًا من R ، يمكن تعريف الضرب${\displaystyle \textstyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}}$بشكل متكرر: دع P ₀ = 1 ودع P _m = P _{m −1} a _m لـ 1 ≤ m ≤ n .

كحالة خاصة، يمكن تعريف قوى الأعداد الصحيحة غير السالبة لعنصر a من حلقة: a ⁰ = 1 و a ⁿ = a ^{n −1} a لـ n ≥ 1. ثم a ^{m + n} = a ^m a ⁿ لجميع m ، n ≥ 0 .

القاسم الصفري الأيسر للحلقة R هو عنصر a في الحلقة بحيث يوجد عنصر غير صفري b في R بحيث يكون ab = 0. ^{[ د ]} يُعرَّف القاسم الصفري الأيمن بشكل مماثل.

العنصر الصفري هو عنصر a بحيث يكون aⁿ ⁼ 0 لبعض n > 0. ومن أمثلة العناصر الصفرية المصفوفة الصفرية . العنصر الصفري في حلقة غير صفرية هو بالضرورة قاسم للصفر.

كائن متماثل${\displaystyle e}$هو عنصر بحيث يكون ^e² = e . أحد الأمثلة على العنصر المتطابق هو الإسقاط في الجبر الخطي.

الوحدة هي عنصر a له معكوس ضربي ؛ في هذه الحالة يكون المعكوس ^وحيدًا ، ويُرمز له بـ a⁻¹ . مجموعة وحدات الحلقة هي زمرة تحت ضرب الحلقات؛ ويُرمز لهذه الزمرة بـ R ^× أو R * أو U ( R ) . على سبيل المثال، إذا كانت R هي حلقة جميع المصفوفات المربعة من الرتبة n على حقل، فإن R ^× تتكون من مجموعة جميع المصفوفات القابلة للعكس من الرتبة n ، وتُسمى الزمرة الخطية العامة .

تُسمى المجموعة الجزئية S من R حلقة جزئية إذا تحقق أي من الشروط المتكافئة التالية:

• إن الجمع والضرب في R يقتصران على إعطاء العمليات S × S → S مما يجعل S حلقة لها نفس العنصر المحايد الضربي مثل R. 
• 1 ∈ S ; ولجميع x و y في S ، فإن العناصر xy و x + y و −x موجودة في S. 
• يمكن تجهيز S بعمليات تجعلها حلقة بحيث يكون تطبيق التضمين S → R هو تشاكل حلقي.

على سبيل المثال، الخاتم${\displaystyle \mathbb {Z} }$حلقة الأعداد الصحيحة هي حلقة جزئية من حقل الأعداد الحقيقية، وهي أيضاً حلقة جزئية من حلقة كثيرات الحدود .${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$( في كلتا الحالتين، )${\displaystyle \mathbb {Z} }$تحتوي على 1  ، وهو العنصر المحايد الضربي للحلقات الأكبر). من ناحية أخرى، فإن المجموعة الجزئية من الأعداد الزوجية${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$لا تحتوي على عنصر الهوية 1 ، وبالتالي لا تُعتبر حلقة فرعية من ${\displaystyle \mathbb {Z}$ ;} ⁠ يمكن للمرء أن يسمي ⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ومع ذلك، فإن نطاقًا فرعيًا .

تقاطع الحلقات الجزئية هو حلقة جزئية. إذا كانت لدينا مجموعة جزئية E من R ، فإن أصغر حلقة جزئية من R تحتوي على E هي تقاطع جميع الحلقات الجزئية من R التي تحتوي على E ، وتسمى الحلقة الجزئية المولدة بواسطة E.  

بالنسبة للحلقة R ، تُسمى أصغر حلقة جزئية منها بالحلقة المميزة . ويمكن توليدها بجمع نسخ من 1 و -1 . من الممكن أن يكون حاصل ضرب n × 1 = 1 + 1 + ... + 1 ( n مرة) مساويًا للصفر. إذا كان n هو أصغر عدد صحيح موجب يحقق هذا الشرط، يُسمى n حينها بالخاصية المميزة للحلقة R. في بعض الحلقات، لا يكون حاصل ضرب n × 1 مساويًا للصفر أبدًا لأي عدد صحيح موجب n ، وتُسمى هذه الحلقات بالحلقات ذات الخاصية الصفرية .  

بفرض وجود حلقة R ، ولتكن Z( R ) مجموعة جميع العناصر x في R التي تتبادل مع كل عنصر في R : xy = yx لأي y في R. عندئذٍ، Z( R ) هي حلقة جزئية من R ، وتُسمى مركز R. وبشكل أعم، بفرض وجود مجموعة جزئية X من R ، ولتكن S مجموعة جميع العناصر في R التي تتبادل مع كل عنصر في X. عندئذٍ ، S هي حلقة جزئية من R ، وتُسمى مركزية (أو مُبدِّلة) X. المركز هو مركزية الحلقة R بأكملها . يُقال إن عناصر أو مجموعات جزئية من المركز مركزية في R ؛ إذ يُولِّد كل منها (بشكل فردي) حلقة جزئية من المركز.         

ليكن R حلقة. المثالي الأيسر في R هو مجموعة جزئية غير فارغة I من R بحيث أنه لأي عنصرين x و y في I و r في R ، فإن العنصرين x + y و rx ينتميان إلى I. ولنرمز بـ RI إلى R -span لـ I ، أي مجموعة المجاميع المنتهية

${\displaystyle r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n}\quad {\textrm {such}}\;{\textrm {that}}\;r_{i}\in R\;{\textrm {and}}\;x_{i}\in I;}$

إذن ، يكون I مثاليًا يساريًا إذا كان RI ⊆ I. وبالمثل، يكون المثالي الأيمن مجموعة جزئية من I بحيث يكون IR ⊆ I. ويُقال عن المجموعة الجزئية I أنها مثالية ثنائية الجانب أو ببساطة مثالية إذا كانت مثالية يسارية وأيمنية في آنٍ واحد. ويكون المثالي أحادي الجانب أو ثنائي الجانب زمرة جزئية جمعية من R. إذا كانت E مجموعة جزئية من R ، فإن RE مثالي يساري، ويُسمى المثالي الأيسر المُوَلَّد بواسطة E ؛ وهو أصغر مثالي يساري يحتوي على E. وبالمثل، يمكن اعتبار المثالي الأيمن أو المثالي ثنائي الجانب المُوَلَّد بواسطة مجموعة جزئية من R.

إذا كان x ينتمي إلى R ، فإن Rx هو مثالي أيسر، و xR هو مثالي أيمن؛ ويُطلق عليهما المثالي الأيسر الرئيسي والمثالي الأيمن الرئيسي المُوَلَّد بواسطة x . يُكتب المثالي الرئيسي RxR على الصورة ( x ) . على سبيل المثال، تُشكل مجموعة جميع مضاعفات العدد 2 الموجبة والسالبة بالإضافة إلى الصفر مثاليًا في حلقة الأعداد الصحيحة، وهذا المثالي مُوَلَّد بواسطة العدد الصحيح 2. في الواقع، كل مثالي في حلقة الأعداد الصحيحة هو مثالي رئيسي. 

تكون الحلقة بسيطة إذا كانت غير صفرية ولا تحتوي على مثاليات ثنائية الجانب غير صفرية حقيقية. الحلقة البسيطة التبديلية هي حقل بالتحديد.

غالبًا ما تُدرس الحلقات مع وضع شروط خاصة على مُثُلها. على سبيل المثال، تُسمى الحلقة التي لا تحتوي على سلسلة لانهائية متزايدة تمامًا من المُثُل اليسارية حلقة نوثرية يسارية . وتُسمى الحلقة التي لا تحتوي على سلسلة لانهائية متناقصة تمامًا من المُثُل اليسارية حلقة أرتينية يسارية . ومن المثير للدهشة أن الحلقة الأرتينية اليسارية هي حلقة نوثرية يسارية ( نظرية هوبكنز-ليفيتزكي ). مع ذلك، تُشكل الأعداد الصحيحة حلقة نوثرية ليست أرتينية.

بالنسبة للحلقات التبديلية، تُعمم المُثُل المفهوم الكلاسيكي للقسمة وتحليل عدد صحيح إلى أعداد أولية في الجبر. يُسمى المُثُل الحقيقي P في R مُثُلًا أوليًا إذا كان لأي عنصرين${\displaystyle x,y\in R}$لدينا ذلك${\displaystyle xy\in P}$يشير إلى إما${\displaystyle x\in P}$أو${\displaystyle y\in P.}$بصورة مكافئة، يكون P أوليًا إذا كان لأي مثاليين I و J أن IJ ⊆ P يستلزم إما I ⊆ P أو J ⊆ P. توضح هذه الصيغة الأخيرة فكرة المثاليين كتعميمات للعناصر.

التشاكل من حلقة ( R , +, ⋅ ) إلى حلقة ( S , ‡, ∗ ) هو دالة f من R إلى S تحافظ على عمليات الحلقة؛ أي، بحيث تتحقق المتطابقات التالية لجميع a و b في R : 

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(a+b)=f(a)\ddagger f(b)\\&f(a\cdot b)=f(a)*f(b)\\&f(1_{R})=1_{S}\end{aligned}}}$

إذا كان المرء يعمل مع الحلقات ، فإن الشرط الثالث يُحذف.

يقال إن التماثل الحلقي f هو تماثل إذا كان هناك تماثل عكسي لـ f (أي تماثل حلقي هو دالة عكسية )، أو بشكل مكافئ إذا كان تقابليًا .

أمثلة:

• الدالة التي تربط كل عدد صحيح x بباقي قسمته على 4 (عدد ينتمي إلى المجموعة {0، 1، 2، 3} ) هي تشاكل من الحلقة ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$إلى حلقة القسمة${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$( يُعرَّف "حلقة القسمة" أدناه).
• إذا كان u عنصرًا محايدًا في حلقة R ، فإن${\displaystyle R\to R,x\mapsto uxu^{-1}}$هو تماثل حلقي، يسمى التماثل الذاتي الداخلي لـ R.
• ليكن R حلقة تبديلية ذات خاصية أولية p . عندئذٍ يكون x ↦ x ^p تشاكلاً داخلياً حلقياً لـ R يسمى تشاكل فروبينيوس .
• مجموعة غالوا لتمديد الحقل L / K هي مجموعة جميع التشاكلات الذاتية لـ L التي تكون قيودها على K هي الهوية.
• لكل حلقة R ، يوجد تشاكل حلقي وحيد${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$وهناك تماثل حلقي فريد${\displaystyle R\to 0}$⁠ .
• يُطلق على التماثل الجبري من جبر k إلى جبر التماثل الداخلي لفضاء متجهي على k اسم تمثيل الجبر .

بالنظر إلى تشاكل حلقي f  : R → S ، تُسمى مجموعة جميع العناصر التي يُسقطها f إلى 0 نواة f . النواة هي مثالي ثنائي الجانب في R. أما صورة f ، فهي ليست دائمًا مثاليًا، ولكنها دائمًا حلقة جزئية من S.    

إن إعطاء تماثل حلقي من حلقة تبديلية R إلى حلقة A مع صورة موجودة في مركز A هو نفسه إعطاء بنية جبرية على R إلى A ( والتي تعطي على وجه الخصوص بنية A- وحدة). 

مفهوم حلقة القسمة مماثل لمفهوم زمرة القسمة . إذا كانت لدينا حلقة ( R , +, ⋅ ) ومثالي ثنائي الجانب I من ( R , +, ⋅ ) ، ونظرنا إلى I كزمرة جزئية من ( R , +) ، فإن حلقة القسمة R / I هي مجموعة المشاركات لـ I بالإضافة إلى العمليات.

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\\&(a+I)(b+I)=(ab)+I.\end{aligned}}}$

لكل a و b في R. تسمى الحلقة R / I أيضًا حلقة عامل .

كما هو الحال مع زمرة القسمة، يوجد تشاكل قانوني p  : R → R / I ، معطى بالعلاقة x ↦ x + I. وهو شامل ويحقق الخاصية العامة التالية:

• إذا كان f  : R → S تشاكلًا حلقيًا بحيث يكون f ( I ) = 0 ، فإنه يوجد تشاكل وحيد${\displaystyle {\overline {f}}:R/I\to S}$بحيث${\displaystyle f={\overline {f}}\circ p.}$

لأي تشاكل حلقي f  : R → S ، فإن استدعاء الخاصية الشاملة مع I = ker f ينتج عنه تشاكل${\displaystyle {\overline {f}}:R/\ker f\to S}$وهذا يعطي تماثلاً من R / ker f إلى صورة f .

لنفترض أن R و S حلقتان. عندئذٍ يمكن تزويد حاصل ضرب R × S بالبنية الحلقية الطبيعية التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})\\&(r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})\end{aligned}}}$

لكل r₁ _و r₂ في R و s₁ _و s₂ في S. تُسمى الحلقة R × S التي تحتوي _على عمليتي الجمع والضرب المذكورتين أعلاه، بالإضافة إلى العنصر المحايد الضربي ₍ 1، 1) ، بالناتج المباشر لـ R مع S. وينطبق البناء نفسه على أي عائلة من الحلقات: إذا كانت Rᵢ _حلقات مُفهرسة بمجموعة I ، فإن  ${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$هي حلقة تحتوي على عمليات جمع وضرب مكوناتها.

ليكن R حلقة تبديلية و${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}}$أن تكون مُثُلاً عليا بحيث${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)}$عندما يكون i ≠ j ، فإن نظرية الباقي الصينية تنص على وجود تماثل حلقي قانوني: $${\displaystyle R/{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{R/{\mathfrak {a}}_{i}},\qquad x{\bmod {\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}}}\mapsto (x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{1},\ldots ,x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{n}).}$$

يمكن أيضًا اعتبار الضرب المباشر "المحدود" بمثابة مجموع مباشر للمُثُل. ^{[ 36 ]} أي، ليكن${\displaystyle R_{i},1\leq i\leq n}$خواتم،${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$المحتويات المرفقة مع الصور${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$(بخاصة${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$هي حلقات (وإن لم تكن حلقات فرعية). ثم${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$هي مُثُل R و $${\displaystyle R={\mathfrak {a}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {a}}_{n},\quad {\mathfrak {a}}_{i}{\mathfrak {a}}_{j}=0,i\neq j,\quad {\mathfrak {a}}_{i}^{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{i}}$$ كمجموع مباشر للمجموعات الأبيلية (لأن الضرب المنتهي في المجموعات الأبيلية هو نفسه المجموع المباشر). من الواضح أن المجموع المباشر لهذه المُثُل يُعرّف أيضًا ضرب حلقات متماثل مع R. وبالمثل، يمكن تحقيق ما سبق من خلال العناصر المركزية المُتساوية القوة . لنفترض أن R لها التفكيك المذكور أعلاه. عندئذٍ يمكننا كتابة  $${\displaystyle 1=e_{1}+\cdots +e_{n},\quad e_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}.}$$ وفقًا للشروط الواردة في${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},}$لدينا أن eᵢ هي عناصر مركزية متساوية القوة، و eᵢ eⱼ ₌ 0 _، حيث _i ≠ j ( متعامدة). مرة أخرى، يمكن عكس البناء. أي، إذا أُعطيت لنا تجزئة للعدد 1 إلى عناصر مركزية متساوية القوة متعامدة، فلنفرض${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i},}$وهي مثالية ثنائية الجانب. إذا لم يكن كل عنصر e i _{مجموعًا} لعناصر مركزية متعامدة متطابقة، ^{[ e ]} فإن مجموعها المباشر يكون متماثلًا مع R. 

من التطبيقات المهمة للضرب المباشر اللانهائي بناء النهاية الإسقاطية للحلقات (انظر أدناه). ومن التطبيقات الأخرى الضرب المقيد لمجموعة من الحلقات (انظر حلقة أديل ).

بفرض رمز t (يسمى متغيرًا) وحلقة تبديلية R ، فإن مجموعة كثيرات الحدود 

${\displaystyle R[t]=\left\{a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}}$

تُشكّل حلقة تبديلية مع عمليتي الجمع والضرب المعتادتين، وتحتوي على R كحلقة فرعية. تُسمى هذه الحلقة حلقة كثيرات الحدود على R. وبشكل أعم، تُسمى المجموعة ${\displaystyle R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$من جميع كثيرات الحدود في المتغيرات${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$يشكل حلقة تبديلية، تحتوي على${\displaystyle R\left[t_{i}\right]}$كحلقات فرعية.

إذا كان R مجالًا تكامليًا ، فإن R [ t ] هو أيضًا مجال تكاملي؛ ومجال كسوره هو مجال الدوال الكسرية . إذا كان R حلقة نوثرية، فإن R [ t ] هي حلقة نوثرية. إذا كان R مجال تحليل وحيد، فإن R [ t ] هو مجال تحليل وحيد. أخيرًا، يكون R مجالًا إذا وفقط إذا كان R [ t ] مجالًا مثاليًا رئيسيًا.

يترك${\displaystyle R\subseteq S}$لتكن حلقات تبديلية. بالنظر إلى عنصر x من S ، يمكن للمرء أن ينظر في تشاكل الحلقة 

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto f(x)}$

(أي، الاستبدال ). إذا كانت S = R [ t ] و x = t ، فإن f ( t ) = f . ولهذا السبب، يُرمز إلى متعددة الحدود f غالبًا بـ f ( t ) . صورة الخريطة${\displaystyle f\mapsto f(x)}$يُرمز إليه بـ R [ x ] ؛ وهو نفس الشيء مثل الحلقة الفرعية لـ S المتولدة بواسطة R و x . 

مثال:${\displaystyle k\left[t^{2},t^{3}\right]}$يشير إلى صورة التشاكل

${\displaystyle k[x,y]\to k[t],\,f\mapsto f\left(t^{2},t^{3}\right).}$

بمعنى آخر، إنها الجبر الفرعي لـ k [ t ] الناتج عن t ² و t ³ . 

مثال: ليكن f متعدد حدود في متغير واحد، أي عنصرًا في حلقة متعددات الحدود R. عندئذٍ، يكون f ( x + h ) عنصرًا في R [ h ] ، ويكون f ( x + h ) – f ( x ) قابلاً للقسمة على h في تلك الحلقة. نتيجة استبدال h بالصفر في ( f ( x + h ) – f ( x )) / h هي f' ( x ) ، وهي مشتقة f عند x . 

يُعدّ الاستبدال حالة خاصة من الخاصية العامة لحلقة كثيرات الحدود. وتنص هذه الخاصية على ما يلي: إذا كان لدينا تماثل حلقي${\displaystyle \phi :R\to S}$وإذا كان هناك عنصر x في S، فإنه يوجد تشاكل حلقي وحيد${\displaystyle {\overline {\phi }}:R[t]\to S}$بحيث${\displaystyle {\overline {\phi }}(t)=x}$و${\displaystyle {\overline {\phi }}}$[ 37 ^] على سبيل المثال، باختيار أساس، فإن ^{الجبر المتناظر} يحقق الخاصية الشاملة وبالتالي فهو حلقة متعددة الحدود .

على سبيل المثال، لنفترض أن S هي حلقة جميع الدوال من R إلى نفسها؛ الجمع والضرب هما عمليتا جمع وضرب الدوال. ولتكن x دالة التطابق. كل عنصر r في R يُعرّف دالة ثابتة، مما يُؤدي إلى التشاكل R → S. تنص الخاصية العامة على أن هذا التطبيق يمتد بشكل فريد إلى

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto {\overline {f}}}$

( t تُقابل x ) حيث${\displaystyle {\overline {f}}}$هي دالة متعددة الحدود المعرفة بواسطة f . يكون التطبيق الناتج أحاديًا إذا وفقط إذا كانت R لانهائية.

إذا كان لدينا متعدد حدود أحادي غير ثابت f في R [ t ] ، فإنه يوجد حلقة S تحتوي على R بحيث يكون f ناتجًا عن عوامل خطية في S [ t ] . ^{[ 38 ]}

ليكن k حقلاً مغلقاً جبرياً. تنص نظرية هيلبرت للأصفار (نظرية الأصفار) على وجود تناظر طبيعي أحادي بين مجموعة جميع المُثُل الأولية في${\displaystyle k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$ومجموعة الأصناف الفرعية المغلقة لـ k ⁿ . على وجه الخصوص، يمكن معالجة العديد من المسائل المحلية في الهندسة الجبرية من خلال دراسة مولدات المثالي في حلقة متعددة الحدود. (انظر أساس غروبنر ).

توجد بعض التركيبات الأخرى ذات الصلة. حلقة متسلسلة القوى الرسمية${\displaystyle R[\![t]\!]}$يتكون من متسلسلات القوى الرسمية

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R}$

إلى جانب عمليات الضرب والجمع التي تحاكي تلك الخاصة بالمتسلسلات المتقاربة. تحتوي على R [ t ] كحلقة فرعية. لا تتمتع حلقة متسلسلات القوى الرسمية بالخاصية الشاملة لحلقة كثيرات الحدود؛ فقد لا تتقارب المتسلسلة بعد التعويض. الميزة المهمة لحلقة متسلسلات القوى الرسمية على حلقة كثيرات الحدود هي أنها محلية (في الواقع، كاملة ).

ليكن R حلقة (ليست بالضرورة تبديلية). تشكل مجموعة جميع المصفوفات المربعة من الرتبة n ذات العناصر في R حلقةً مع الجمع العنصري والضرب المصفوفي المعتاد. تُسمى هذه الحلقة حلقة المصفوفات ويُرمز لها بـ M _{_n} ( R ) . وبالنسبة لوحدة نمطية يمنى على R، U ، فإن مجموعة جميع التطبيقات الخطية على R من U إلى نفسها تشكل حلقةً مع الجمع الذي هو دالة والضرب الذي هو تركيب دوال ؛ تُسمى هذه الحلقة حلقة التشاكلات الداخلية لـ U ويُرمز لها بـ End _{_R} ( U ) .

كما هو الحال في الجبر الخطي، يمكن تفسير حلقة المصفوفات بشكل أساسي على أنها حلقة تشاكل داخلي:${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R).}$هذه حالة خاصة من الحقيقة التالية: إذا${\displaystyle f:\oplus _{1}^{n}U\to \oplus _{1}^{n}U}$إذا كانت دالة خطية R ، فيمكن كتابة f كمصفوفة ذات عناصر f _ij في S = End _R ( U ) ، مما يؤدي إلى تماثل الحلقة:

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U)\to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto (f_{ij}).}$

أي تماثل حلقي R → S يؤدي إلى M _n ( R ) → M _n ( S ) . ^{[ 39 ]}

تنصّ مبرهنة شور على أنه إذا كانت U وحدة نمطية يمينية بسيطة على R ، فإن End _R ( U ) هي حلقة قسمة. ^{[ 40 ]} إذا${\displaystyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$هو مجموع مباشر لـ m _نسخة من وحدات R البسيطة${\displaystyle U_{i},}$ثم

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i})).}$

تنص نظرية أرتين -ويدربورن على أن أي حلقة شبه بسيطة (انظر أدناه) تكون من هذا الشكل.

الحلقة R وحلقة المصفوفات M _n ( R ) فوقها متكافئتان وفقًا لموريتا : فئة الوحدات النمطية اليمنى لـ R مكافئة لفئة الوحدات النمطية اليمنى فوق M _n ( R ) . ^{[ 39 ]} على وجه الخصوص، تتطابق المثاليّات ثنائية الجانب في R تطابقًا تامًا مع المثاليّات ثنائية الجانب في M _n ( R ) .

لتكن Rᵢ متتالية من الحلقات بحيث تكون _Rᵢ حلقة جزئية من Rᵢⱼ _لكل i . عندئذٍ _يكون اتحاد (أو _{النهاية} المشتركة المُصفّاة ₎ Rᵢ هو الحلقة${\displaystyle \varinjlim R_{i}}$يتم تعريفها على النحو التالي: هي الاتحاد المنفصل لجميع R _i 's modulo علاقة التكافؤ x ~ y إذا وفقط إذا كان x = y في R _i لـ i كبير بما فيه الكفاية .

أمثلة على النهايات المشتركة:

• حلقة متعددة الحدود في عدد لا نهائي من المتغيرات:${\displaystyle R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].}$
• الإغلاق الجبري للحقول المنتهية ذات الخاصية نفسها${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.}$
• حقل الدوال لمتنوعة جبرية على حقل k هو${\displaystyle \varinjlim k[U]}$حيث يمتد الحد على جميع حلقات الإحداثيات k [ U ] للمجموعات الفرعية المفتوحة غير الفارغة U (باختصار، هو ساق حزمة البنية عند النقطة العامة .)

أي حلقة هي النهاية المشتركة (الاتحاد) المُصفاة لحلقاتها الفرعية المولدة بشكل نهائي .

يُعرَّف الحد الإسقاطي (أو الحد المُصفَّى ) للحلقات كما يلي. لنفترض أن لدينا عائلة من الحلقات R _{_i} ، حيث i ، تمتد على الأعداد الصحيحة الموجبة، ولنقل R _{_j} → R _{_i} ، و R_j ≥ i ، بحيث تكون R _{_i} → R _{_i} هي جميع العناصر المحايدّة، ويكون R _k → R _{_j} → R_{_i} هو R _{_k} → R_{_i} عندما k ≥ j ≥ i . عندئذٍ${\displaystyle \varprojlim R_{i}}$هي الحلقة الفرعية لـ${\displaystyle \textstyle \prod R_{i}}$يتكون من ( x _n ) بحيث يتم تعيين x _j إلى x _i تحت R _j → R _i ، j ≥ i .

للحصول على مثال على النهاية الإسقاطية، انظر §  الإكمال .

يُعمم التوطين بناء حقل الكسور لمجال تكاملي إلى حلقة ووحدات اختيارية. بفرض وجود حلقة R (ليست بالضرورة تبديلية) ومجموعة جزئية S من R ، توجد حلقة${\displaystyle R[S^{-1}]}$بالإضافة إلى تماثل الحلقة${\displaystyle R\to R\left[S^{-1}\right]}$التي "تعكس" S ؛ أي أن التشاكل يحول العناصر في S إلى عناصر الوحدة في${\displaystyle R\left[S^{-1}\right],}$وعلاوة على ذلك، فإن أي تشاكل حلقي من R يقوم "بعكس" S يحلل بشكل فريد من خلال${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$^{[ 41 ]} الخاتم${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$يُطلق على ذلك اسم التموضع R بالنسبة إلى S. على سبيل المثال، إذا كانت R حلقة تبديلية و f عنصرًا في R ، فإن التموضع${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]}$يتكون من عناصر من الشكل${\displaystyle r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0}$(على وجه الدقة،${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).}$) ^{[ 42 ]}

يُطبَّق التوطين بشكل متكرر على حلقة تبديلية R بالنسبة لمكمل مثالي أولي (أو اتحاد مثاليات أولية) في R. في هذه الحالة ${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}},}$يكتب المرء غالباً${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ل${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$إذن، هي حلقة محلية ذات مثالي أقصى${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.}$هذا هو سبب استخدام مصطلح "التوطين". حقل الكسور لمجال تكاملي R هو توطين R عند الصفر المثالي الأولي. إذا${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$إذا كان مثاليًا أوليًا في حلقة تبديلية R ، فإن حقل كسور ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$وهو نفسه حقل البقايا للحلقة المحلية${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ويرمز إليه بـ${\displaystyle k({\mathfrak {p}}).}$

إذا كانت M وحدة نمطية يسارية R ، فإن موضع M بالنسبة إلى S يُعطى بتغيير الحلقات${\displaystyle M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M.}$

أهم خصائص التوطين هي التالية: عندما تكون R حلقة تبديلية و S مجموعة جزئية مغلقة ضربيًا

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]}$هي تقابل بين مجموعة جميع المُثُل الأولية في R المنفصلة عن S ومجموعة جميع المُثُل الأولية في${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$^{[ 43 ]}
• ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right],}$f تمر على العناصر في S بترتيب جزئي معطى بواسطة قابلية القسمة. ^{[ 44 ]}
• الموقع دقيق:$${\displaystyle 0\to M'\left[S^{-1}\right]\to M\left[S^{-1}\right]\to M''\left[S^{-1}\right]\to 0}$$دقيق على${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$حينما${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$دقيق على R. 
• على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle 0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0}$يكون دقيقًا لأي مثالي أقصى${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$ثم${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$هو دقيق.
• ملاحظة: لا يُفيد التحديد المكاني في إثبات الوجود الشامل. ومن الأمثلة على ذلك أنه إذا كان نموذجان متماثلين عند جميع المُثُل الأولية، فلا يترتب على ذلك بالضرورة أنهما متماثلان. (إحدى طرق تفسير ذلك هي أن التحديد المكاني يسمح برؤية النموذج كحزمة فوق المُثُل الأولية، والحزمة بطبيعتها مفهوم محلي).

في نظرية الفئات ، يُعادل توطين فئة ما جعل بعض التشكلات متماثلة. يمكن اعتبار عنصر في حلقة تبديلية R بمثابة تشاكل داخلي لأي وحدة نمطية على R. بالتالي، من منظور الفئات، فإن توطين R بالنسبة لمجموعة جزئية S من R هو دالة من فئة الوحدات النمطية على R إلى نفسها، تُحوّل عناصر S ، التي تُعتبر تشاكلات داخلية، إلى تشاكلات ذاتية، وتكون هذه الدالة شاملة بالنسبة لهذه الخاصية. (بالطبع، تُسقط R بعد ذلك إلى${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$ووحدات R تُربط بـ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$-وحدات.)

ليكن R حلقة تبديلية، وليكن I مثاليًا في R. إتمام R عند I هو النهاية الإسقاطية ${\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n};}$إنها حلقة تبديلية. التشاكلات القانونية من R إلى خارج القسمة${\displaystyle R/I^{n}}$يُحفز التماثل${\displaystyle R\to {\hat {R}}.}$يكون التشاكل الأخير أحاديًا إذا كانت R مجالًا تكامليًا نوثريًا و I مثاليًا حقيقيًا، أو إذا كانت R حلقة محلية نوثرية ذات مثالي أعظمي I ، وذلك وفقًا لنظرية كرول للتقاطع . ^{[ 45 ]} يكون هذا البناء مفيدًا بشكل خاص عندما يكون I مثاليًا أعظميًا.

المثال الأساسي هو إتمام ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$عند المثالي الرئيسي ( p ) المتولد بواسطة عدد أولي p ؛ ويسمى حلقة الأعداد الصحيحة p -adic ويرمز له بـ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$يمكن في هذه الحالة إنشاء الإكمال أيضًا من القيمة المطلقة p -adic على${\displaystyle \mathbb {Q} .}$القيمةالمطلقة p - adic على${\displaystyle \mathbb {Q} }$خريطة​${\displaystyle x\mapsto |x|}$من​${\displaystyle \mathbb {Q} }$إلى​​${\displaystyle \mathbb {R} }$مقدم من${\displaystyle |n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}}$أين${\displaystyle v_{p}(n)}$يرمز إلى أسّ p في تحليل العدد الصحيح غير الصفري n إلى عوامله الأولية (نضع أيضًا${\displaystyle |0|_{p}=0}$و${\displaystyle |m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}}$). يحدد دالة مسافة على${\displaystyle \mathbb {Q} }$وإتمام​​${\displaystyle \mathbb {Q} }$يُرمزإلى الفضاء المتري بـ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$وهو حقلٌ أيضاً، لأن عمليات الحقل تمتد إلى الإكمال. الحلقة الفرعية لـ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$المجموعة المكونة من العناصر x حيث | x | _p ≤ 1 متماثلة مع ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$⁠

وبالمثل، فإن حلقة سلسلة القوى الرسمية R [{[ t ]}] هي إكمال R [ t ] عند ( t ) (انظر أيضًا إلى ليمّة هينسل )

تتميز الحلقة الكاملة ببنية أبسط بكثير من الحلقة التبديلية. ويعود ذلك إلى نظرية كوهين للبنية ، التي تنص، باختصار، على أن الحلقة المحلية الكاملة تميل إلى أن تبدو كحلقة متسلسلة قوى رسمية أو خارج قسمتها. من ناحية أخرى، كان التفاعل بين الإغلاق التكاملي والإكمال من أهم الجوانب التي تميز نظرية الحلقات التبديلية الحديثة عن النظرية الكلاسيكية التي طورها علماء مثل نوثر. وقد أدت الأمثلة الشاذة التي وجدها ناجاتا إلى إعادة النظر في أدوار حلقات نوثر، وحفزت، من بين أمور أخرى، تعريف الحلقة الممتازة .

إنّ الطريقة الأكثر عمومية لإنشاء حلقة هي تحديد المولدات والعلاقات. ليكن F حلقة حرة (أي جبرًا حرًا على الأعداد الصحيحة) مع مجموعة الرموز X ، أي أن F تتكون من كثيرات حدود ذات معاملات صحيحة في متغيرات غير تبادلية تنتمي إلى X. تحقق الحلقة الحرة الخاصية العامة: أي دالة من المجموعة X إلى حلقة R تتحلل عبر F بحيث يكون F → R هو التشاكل الحلقي الوحيد. وكما هو الحال في حالة الزمر، يمكن تمثيل كل حلقة كحاصل قسمة لحلقة حرة. ^{[ 46 ]}

الآن، يمكننا فرض علاقات بين الرموز في X عن طريق أخذ خارج القسمة. تحديدًا، إذا كانت E مجموعة جزئية من F ، فإن حلقة القسمة لـ F على المثالي المُوَلَّد بواسطة E تُسمى الحلقة ذات المولدات X والعلاقات E. إذا استخدمنا حلقة، لنقل A ، كحلقة أساسية بدلًا من${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$إذن ، ستكون الحلقة الناتجة فوق A. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle E=\{xy-yx\mid x,y\in X\},}$ثم ستكون الحلقة الناتجة هي حلقة كثيرات الحدود المعتادة بمعاملات في A في متغيرات هي عناصر من X (وهي أيضًا نفس الشيء بالنسبة للجبر المتناظر على A مع الرموز X. )

بمصطلحات نظرية الفئات، فإن التكوين${\displaystyle S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S}$هو الدالة المرافقة اليسرى للدالة النسيانية من فئة الحلقات إلى المجموعة (ويطلق عليها غالبًا اسم دالة الحلقة الحرة).

لتكن A و B جبرين على حلقة تبديلية R. عندئذٍ يكون حاصل الضرب الموتري لوحدات R${\displaystyle A\otimes _{R}B}$هي جبر R مع عملية ضرب تتميز بـ${\displaystyle (x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv.}$

تُسمى الحلقة غير الصفرية التي لا تحتوي على قواسم صفرية غير صفرية مجالًا . ويُسمى المجال التبديلي مجالًا تكامليًا . ومن أهم المجالات التكاملية مجالات المثاليات الرئيسية (PIDs) والحقول. مجال المثاليات الرئيسي هو مجال تكاملي تكون فيه كل مثاليات مثاليات رئيسية. ومن الفئات المهمة للمجالات التكاملية التي تحتوي على مجال مثالي رئيسي مجال التحليل الفريد (UFD)، وهو مجال تكاملي تكون فيه كل عناصره غير الوحدوية ناتج ضرب عناصر أولية (يكون العنصر أوليًا إذا كان يُولّد مثاليًا أوليًا ). والسؤال الأساسي في نظرية الأعداد الجبرية هو مدى فشل حلقة الأعداد الصحيحة (المعممة) في حقل عددي ، حيث يقبل "المثالي" التحليل إلى عوامل أولية، في أن تكون مجالًا مثاليًا رئيسيًا.

من بين النظريات المتعلقة بمجال مثالي رئيسي، تُعدّ نظرية البنية للوحدات المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي هي الأهم . ويمكن توضيح هذه النظرية من خلال التطبيق التالي على الجبر الخطي. ^{[ 47 ]} ليكن V فضاءً متجهيًا محدود الأبعاد على حقل k ، وليكن f  : V → V تطبيقًا خطيًا ذا متعددة حدود دنيا q . بما أن k [ t ] مجال تحليل فريد، فإن q يتحلل إلى قوى لمتعددات حدود غير قابلة للاختزال مختلفة (أي عناصر أولية). $${\displaystyle q=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{s}^{e_{s}}.}$$

تأجير${\displaystyle t\cdot v=f(v),}$نجعل V وحدة نمطية من النوع k [ t ] . تنص نظرية البنية على أن V عبارة عن مجموع مباشر لوحدات نمطية دورية ، كل منها متماثل مع الوحدة النمطية من الشكل${\displaystyle k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right).}$الآن، إذا${\displaystyle p_{i}(t)=t-\lambda _{i},}$عندئذٍ، يمتلك هذا النموذج الدوري (لـ p _i ) أساسًا يُمثَّل فيه تقييد f بمصفوفة جوردان . وبالتالي، إذا كانت k ، على سبيل المثال، مغلقة جبريًا، فإن جميع p _i تكون على الصورة t – λ _i، ويتوافق التفكيك أعلاه مع الشكل القانوني لجوردان لـ f .

في الهندسة الجبرية، تنشأ حالات التداخل غير المحدود (UFDs) بسبب خاصية السلاسة. وبشكل أدق، تكون النقطة في منوع (فوق حقل كامل) سلسة إذا كانت الحلقة المحلية عند تلك النقطة حلقة محلية منتظمة . الحلقة المحلية المنتظمة هي حالة تداخل غير محدود. ^{[ 48 ]}

فيما يلي سلسلة من تضمينات الفئات التي تصف العلاقة بين الحلقات والمجالات والحقول:

الحلقات ⊃ الحلقات ⊃ الحلقات التبادلية ⊃ المجالات التكاملية ⊃ المجالات المغلقة تكامليًا ⊃ مجالات القاسم المشترك الأكبر ⊃ مجالات التحليل الفريد ⊃ مجالات المثالي الرئيسي ⊃ المجالات الإقليدية ⊃ الحقول ⊃ الحقول المغلقة جبريًا

حلقة القسمة هي حلقة يكون فيها كل عنصر غير صفري عنصرًا محايدًا. حلقة القسمة التبديلية هي حقل . ومن الأمثلة البارزة على حلقة قسمة ليست حقلًا حلقة الكواترنيونات . أي مركز في حلقة القسمة هو أيضًا حلقة قسمة. وبالتحديد، مركز حلقة القسمة هو حقل. وقد تبين أن كل مجال منتهٍ (وخاصة حلقة القسمة المنتهية) هو حقل؛ وخاصة تبديلي ( نظرية ويدربورن الصغرى ).

كل وحدة نمطية فوق حلقة القسمة هي وحدة نمطية حرة (لها أساس)؛ وبالتالي، يمكن تنفيذ الكثير من الجبر الخطي على حلقة القسمة بدلاً من الحقل.

تحتل دراسة فئات الاقتران مكانة بارزة في النظرية الكلاسيكية لحلقات القسمة؛ انظر، على سبيل المثال، نظرية كارتان-براور-هوا .

الجبر الدوري ، الذي قدمه إل إي ديكسون ، هو تعميم لجبر الكواترنيون .

الوحدة شبه البسيطة هي مجموع مباشر للوحدات البسيطة. الحلقة شبه البسيطة هي حلقة تكون شبه بسيطة كوحدة يسارية (أو وحدة يمينية) فوق نفسها.

بالنسبة للحقل k ، يكون الجبر k مركزيًا إذا كان مركزه k ، وبسيطًا إذا كان حلقة بسيطة . وبما أن مركز الجبر k البسيط هو حقل، فإن أي جبر k بسيط هو جبر مركزي بسيط فوق مركزه. في هذا القسم، يُفترض أن يكون للجبر المركزي البسيط بُعد محدود. كما أننا نُثبّت الحقل الأساسي في الغالب؛ لذا، يُشير مصطلح "جبر" إلى جبر k . وسنرمز إلى حلقة المصفوفات ذات الحجم n فوق الحلقة R _بالرمز Rⁿ .

تنص نظرية سكوليم -نوثر على أن أي تشاكل ذاتي لجبر بسيط مركزي هو داخلي.

يقال إن جبرين مركزيين بسيطين A و B متشابهان إذا وُجد عددان صحيحان n و m بحيث${\displaystyle A\otimes _{k}k_{n}\approx B\otimes _{k}k_{m}.}$^{[ 49 ]} منذ${\displaystyle k_{n}\otimes _{k}k_{m}\simeq k_{nm},}$التشابه هو علاقة تكافؤ. فئات التشابه [ أ ] مع الضرب${\displaystyle [A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]}$تشكل زمرة تبديلية تسمى زمرة براور لـ k ويرمز لها بـ Br( k ) . وبحسب نظرية آرتين-ويدربورن ، فإن الجبر البسيط المركزي هو حلقة المصفوفات لحلقة القسمة؛ وبالتالي، يتم تمثيل كل فئة تشابه بحلقة قسمة فريدة.

على سبيل المثال، يكون Br( k ) تافهًا إذا كان k حقلًا منتهيًا أو حقلًا مغلقًا جبريًا (بشكل عام حقلًا مغلقًا شبه جبريًا ؛ انظر نظرية Tsen ).${\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbb {R} )}$لها رتبة 2 (حالة خاصة من نظرية فروبينيوس ). وأخيرًا، إذا كان k حقلًا محليًا غير أرخميدسي (على سبيل المثال، ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ثم​​${\displaystyle \operatorname {Br} (k)=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$من خلال الخريطة الثابتة .

الآن، إذا كان F امتدادًا للحقل k ، فإن امتداد القاعدة${\displaystyle -\otimes _{k}F}$يحفز التفاعل Br( k ) → Br( F ) . ويُرمز إلى نواته بـ Br( F / k ) . ويتكون من [ A ] بحيث${\displaystyle A\otimes _{k}F}$هي حلقة مصفوفات فوق F (أي أن A منقسمة بواسطة F ). إذا كان الامتداد منتهيًا وغالوا، فإن Br( F / k ) متماثل قانونيًا مع${\displaystyle H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right).}$^{[ 50 ]}

تعمم جبريات أزومايا مفهوم الجبريات المركزية البسيطة إلى حلقة محلية تبادلية.

إذا كان K حقلاً، فإن التقييم v هو تشاكل زمر من الزمرة الضربية K ^* إلى زمرة أبيلية مرتبة كلياً G بحيث يكون، لأي f و g في K حيث f + g غير صفري، v ( f + g ) ≥ min{ v ( f ), v ( g )}. حلقة التقييم لـ v هي الحلقة الفرعية من K التي تتكون من الصفر وجميع f غير الصفرية التي تحقق v ( f ) ≥ 0 .

أمثلة:

• مجال سلسلة لوران الرسمية${\displaystyle k(\!(t)\!)}$على حقل k، تأتي القيمة v بحيث تكون v ( f ) هي أقل درجة لحد غير صفري في f ؛ حلقة تقييم v هي حلقة متسلسلة القوى الرسمية${\displaystyle k[\![t]\!].}$
• بشكل أعم، بالنظر إلى حقل k ومجموعة أبيلية مرتبة كليًا G ، ليكن${\displaystyle k(\!(G)\!)}$ليكن مجموعة جميع الدوال من G إلى k التي تكون حواملها (مجموعات النقاط التي تكون عندها الدوال غير صفرية) مرتبة ترتيبًا جيدًا . وهو حقلٌ تُعطى فيه عملية الضرب بالالتفاف .$${\displaystyle (f*g)(t)=\sum _{s\in G}f(s)g(t-s).}$$يأتي ذلك أيضًا مع القيمة v بحيث يكون v ( f ) أصغر عنصر في نطاق f . تُسمى الحلقة الفرعية المكونة من عناصر ذات نطاق محدود حلقة المجموعة G (وهذا منطقي حتى لو لم تكن G تبديلية). إذا كانت G حلقة الأعداد الصحيحة، فإننا نستعيد المثال السابق (بتحديد f بالمتسلسلة التي معاملها النوني هو f ( n ) ). 

يمكن ربط حلقة التماثل التكاملي الخاصة بأي فضاء طوبولوجي X.

${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X,\mathbb {Z} ),}$

حلقة متدرجة . توجد أيضًا مجموعات متماثلة.${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$في الفضاء، وقد عُرّفت هذه المجموعات أولاً كأداة مفيدة للتمييز بين أزواج معينة من الفضاءات الطوبولوجية، مثل الكرات والسطوح الحلقية ، التي لا تُناسبها طرق طوبولوجيا المجموعات النقطية . ثم عُرّفت مجموعات التماثل بدلالة مجموعات التماثل بطريقة تُشابه تقريبًا ثنائية الفضاء المتجهي . إن معرفة كل مجموعة تماثل تكاملية على حدة تُعادل معرفة كل مجموعة تماثل تكاملية على حدة، وذلك بفضل نظرية المعامل العام . ومع ذلك، تكمن ميزة مجموعات التماثل في وجود حاصل ضرب طبيعي ، وهو ما يُشابه ملاحظة أنه يُمكن ضرب شكل متعدد الخطية من الرتبة k وشكل متعدد الخطية من الرتبة l نقطيًا للحصول على شكل متعدد الخطية من الرتبة ( k + l ).

يوفر هيكل الحلقة في علم التماثل الأساس لفئات مميزة من حزم الألياف ، ونظرية التقاطع على المشعبات والأصناف الجبرية ، وحساب شوبرت ، وغير ذلك الكثير.

لكل مجموعة حلقة بيرنسايد خاصة بها ، والتي تستخدم حلقة لوصف الطرق المختلفة التي يمكن للمجموعة أن تؤثر بها على مجموعة منتهية. المجموعة الجمعية لحلقة بيرنسايد هي المجموعة الأبيلية الحرة التي أساسها مجموعة التأثيرات المتعدية للمجموعة، وجمعها هو الاتحاد المنفصل للتأثير. التعبير عن تأثير بدلالة الأساس هو تفكيك التأثير إلى مكوناته المتعدية. يمكن التعبير عن الضرب بسهولة بدلالة حلقة التمثيل : يتكون الضرب في حلقة بيرنسايد من كتابة حاصل الضرب الموتري لوحدتي تبديل كوحدة تبديل واحدة. يسمح هيكل الحلقة بطريقة رسمية لطرح تأثير من آخر. بما أن حلقة بيرنسايد مُحتواة كحلقة فرعية ذات فهرس منتهٍ من حلقة التمثيل، يمكن الانتقال بسهولة من إحداهما إلى الأخرى بتمديد المعاملات من الأعداد الصحيحة إلى الأعداد النسبية.

لكل حلقة زمرة أو جبر هوبف حلقة تمثيلها أو "الحلقة الخضراء". الزمرة الجمعية لحلقة التمثيل هي الزمرة الأبيلية الحرة التي أساسها الوحدات غير القابلة للتحليل، وجمعها يُقابله الجمع المباشر. التعبير عن وحدة بدلالة الأساس يعني إيجاد تحليل غير قابل للتحليل لتلك الوحدة. الضرب هو حاصل الضرب الموتري. عندما يكون الجبر شبه بسيط، تكون حلقة التمثيل هي حلقة الخصائص من نظرية الخصائص ، وهي تقريبًا زمرة غروتينديك المعطاة لبنية حلقية.

يرتبط بكل تنوع جبري غير قابل للاختزال حقل دالته . وتتوافق نقاط التنوع الجبري مع حلقات التقييم الموجودة في حقل الدالة والتي تحتوي على حلقة الإحداثيات . يعتمد علم الهندسة الجبرية بشكل كبير على الجبر التبادلي لدراسة المفاهيم الهندسية من حيث خصائص نظرية الحلقات. أما الهندسة الثنائية النسبية فتدرس التطبيقات بين الحلقات الفرعية لحقل الدالة.

لكل مُركّب تبسيطي حلقة وجوه مُرتبطة به، تُسمى أيضًا حلقة ستانلي-رايزنر . تعكس هذه الحلقة العديد من الخصائص التوافقية للمُركّب التبسيطي، لذا فهي ذات أهمية خاصة في التوافقية الجبرية . على وجه الخصوص، استُخدمت الهندسة الجبرية لحلقة ستانلي-رايزنر لتحديد عدد الوجوه في كل بُعد من أبعاد المُضلّعات التبسيطية .

الحلقة العشوائية هي نفسها الحلقة، باستثناء أنه لا يُفترض وجود عنصر محايد ضربي. ^{[ 52 ]}

الحلقة غير الترابطية هي بنية جبرية تحقق جميع بديهيات الحلقة باستثناء خاصية الترابط ووجود عنصر محايد ضربي. ومن الأمثلة البارزة على ذلك جبر لي . توجد نظرية بنية خاصة بهذه الجبر تعمم النتائج المماثلة لجبر لي والجبر الترابطي.

يتم الحصول على شبه الحلقة (أو أحيانًا rig ) عن طريق إضعاف الافتراض بأن ( R , +) هي مجموعة أبيلية إلى الافتراض بأن ( R , +) هي أحادية تبديلية، وإضافة البديهية التي تنص على أن 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 لجميع a في R (لأنها لم تعد تتبع من البديهيات الأخرى).

أمثلة:

• الأعداد الصحيحة غير السالبة${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$مع الجمع والضرب العاديين؛
• شبه الحلقة الاستوائية .

لتكن C فئة ذات جداءات منتهية . ولتكن pt كائنًا نهائيًا في C (جداء فارغ). الكائن الحلقي في C هو كائن R مزود بتشاكلات${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R}$(إضافة)،${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R}$(الضرب)،${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to }}\,R}$(الهوية الجمعية)،${\displaystyle R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R}$(المعكوس الجمعي)، و${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R}$(العنصر المحايد الضربي) الذي يحقق بديهيات الحلقة المعتادة. أو بصورة مكافئة، كائن الحلقة هو كائن R مزود بتحليل عاملي لدالة نقاطه.${\displaystyle h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets} }$من خلال فئة الخواتم:${\displaystyle C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets} .}$

في الهندسة الجبرية، يُعد مخطط الحلقة فوق مخطط أساسي S كائنًا حلقيًا في فئة مخططات S. ومن الأمثلة على ذلك مخطط الحلقة W _n فوق ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$⁠ ، والتي بالنسبة لأي حلقة تبديلية A تعيد الحلقة W _n ( A ) من متجهات ويت المتماثلة p ذات الطول n على A . ^{[ 53 ]}

في الطوبولوجيا الجبرية ، طيف الحلقة هو طيف X بالإضافة إلى عملية ضرب${\displaystyle \mu :X\wedge X\to X}$وخريطة وحدة S → X من طيف الكرة S ، بحيث تتبادل مخططات بديهيات الحلقة حتى التماثل. عمليًا، من الشائع تعريف طيف الحلقة ككائن أحادي في فئة جيدة من الأطياف، مثل فئة الأطياف المتناظرة .