دالة فيجنباوم

في الخريطة اللوجستية،

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),}$

1

لدينا دالة${\displaystyle f_{r}(x)=rx(1-x)}$ونريد دراسة ما يحدث عند تكرار عملية رسم الخريطة عدة مرات. قد تستقر الخريطة عند نقطة ثابتة ، أو دورة ثابتة، أو حالة من الفوضى. عندما تستقر الخريطة في دورة ثابتة مستقرة ذات طول معين، فإنها تستقر عند نقطة ثابتة مستقرة ذات طول معين.${\displaystyle n}$، سنجد أن الرسم البياني لـ${\displaystyle f_{r}^{n}}$ورسم بياني لـ${\displaystyle x\mapsto x}$يتقاطع عند${\displaystyle n}$النقاط، وميل الرسم البياني لـ${\displaystyle f_{r}^{n}}$محصور في${\displaystyle (-1,+1)}$عند تلك التقاطعات.

على سبيل المثال، عندما${\displaystyle r=3.0}$لدينا تقاطع واحد، بميل محدود في${\displaystyle (-1,+1)}$مما يشير إلى أنها نقطة ثابتة مفردة مستقرة.

مثل${\displaystyle r}$زيادة إلى ما هو أبعد${\displaystyle r=3.0}$، تنقسم نقطة التقاطع إلى نقطتين، وهو ما يُعرف بمضاعفة الدورة. على سبيل المثال، عندما${\displaystyle r=3.4}$توجد ثلاث نقاط تقاطع، النقطة الوسطى غير مستقرة، والنقطتان الأخريان مستقرتان.

مثل${\displaystyle r}$الأساليب${\displaystyle r=3.45}$ثم يحدث تضاعف آخر للدورة بنفس الطريقة. وتتكرر مضاعفات الدورة بشكل متزايد، حتى تصل إلى حد معين.${\displaystyle r\approx 3.56994567}$تصبح مضاعفات الفترة لانهائية، وتصبح الخريطة فوضوية. هذا هو مسار مضاعفة الفترة إلى الفوضى .

العلاقة بين${\displaystyle x_{n+2}}$و${\displaystyle x_{n}}$متى${\displaystyle a=2.7}$قبل حدوث تشعب مضاعفة الفترة، يتقارب المدار نحو النقطة الثابتة.${\displaystyle x_{f2}}$.

العلاقة بين${\displaystyle x_{n+2}}$و${\displaystyle x_{n}}$متى${\displaystyle a=3}$ميل المماس عند النقطة الثابتة${\displaystyle x_{f2}}$. يساوي 1 بالضبط، ويحدث تشعب مضاعفة الفترة.

العلاقة بين${\displaystyle x_{n+2}}$و${\displaystyle x_{n}}$متى${\displaystyle a=3.3}$النقطة الثابتة${\displaystyle x_{f2}}$يصبح غير مستقر، وينقسم إلى دورة مستقرة دورية-2.

متى${\displaystyle r=3.0}$لدينا تقاطع واحد، بميل يساوي تمامًا${\displaystyle +1}$مما يشير إلى أنها على وشك أن تخضع لمضاعفة دورية.

متى${\displaystyle r=3.4}$توجد ثلاث نقاط تقاطع، النقطة الوسطى غير مستقرة، والنقطتان الأخريان مستقرتان.

متى${\displaystyle r=3.45}$توجد ثلاث نقاط تقاطع، النقطة الوسطى منها غير مستقرة، أما النقطتان الأخريان فلهما ميل ثابت${\displaystyle +1}$مما يشير إلى أنها على وشك أن تخضع لمضاعفة دورية أخرى.

متى${\displaystyle r\approx 3.56994567}$، هناك عدد لا نهائي من التقاطعات، وقد وصلنا إلى الفوضى عبر مسار مضاعفة الفترة .

بالنظر إلى الصور، يمكن للمرء أن يلاحظ أنه عند نقطة الفوضى${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$منحنى${\displaystyle f_{r^{*}}^{\infty }}$يبدو كشكل كسري. علاوة على ذلك، مع تكرار مضاعفة الدورات${\displaystyle f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots }$، تبدو الرسوم البيانية متشابهة، باستثناء أنها تتقلص باتجاه المنتصف، وتدور بمقدار 180 درجة.

يشير هذا إلى وجود حدٍّ للتوسع: إذا ضاعفنا الدالة بشكل متكرر، ثم قمنا بتوسيعها بمقدار${\displaystyle \alpha }$لثابت معين${\displaystyle \alpha }$:$${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$$ثم عند الحد، سنحصل على دالة${\displaystyle g}$ذلك يرضي${\displaystyle g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))}$علاوة على ذلك، مع تناقص فترات مضاعفة الدورة، تتقارب النسبة بين فترتي مضاعفة الدورة إلى حد معين، وهو ثابت فيجنباوم الأول.${\displaystyle \delta =4.6692016\cdots }$.

الثابت${\displaystyle \alpha }$يمكن إيجادها عدديًا بتجربة العديد من القيم الممكنة. بالنسبة للقيم الخاطئة، لا تتقارب الدالة إلى حد معين، ولكن عندما تكون${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$، يتقارب. هذا هو ثابت فيجنباوم الثاني.

في ظل النظام الفوضوي،${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$، يصبح حد تكرارات الخريطة عبارة عن نطاقات داكنة فوضوية تتخللها نطاقات ساطعة غير فوضوية.

متى${\displaystyle r}$الأساليب${\displaystyle r\approx 3.8494344}$لدينا نهج آخر لمضاعفة الدورات في التعامل مع الفوضى، ولكن هذه المرة مع دورات 3، 6، 12، ... وهذا النهج له نفس ثوابت فيجنباوم.${\displaystyle \delta ,\alpha }$حد${\textstyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$وهي نفس الوظيفة أيضاً. هذا مثال على الشمولية .

يمكننا أيضًا النظر في مسار مضاعفة الفترة ثلاث مرات نحو الفوضى عن طريق اختيار سلسلة من${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots }$بحيث${\displaystyle r_{n}}$وهي أدنى قيمة في الفترة-${\displaystyle 3^{n}}$نافذة مخطط التشعب . على سبيل المثال، لدينا${\displaystyle r_{1}=3.8284,r_{2}=3.85361,\dots }$، مع الحد${\displaystyle r_{\infty }=3.854077963\dots }$. هذا له زوج مختلف من ثوابت فيجنباوم${\displaystyle \delta =55.26\dots ,\alpha =9.277\dots }$[ ^{2 ]} و^​${\displaystyle f_{r}^{\infty }}$يتقارب إلى النقطة الثابتة$${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(f(-x/\alpha )))}$$كمثال آخر، يمتلك التكرار الدوري من الدرجة الرابعة زوجًا من ثوابت فيجنباوم يختلف عن زوج ثوابت التكرار الدوري من الدرجة الثانية، على الرغم من أن التكرار الدوري من الدرجة الرابعة يتحقق من خلال تكرارين دوريين. عرّف بالتفصيل${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots }$بحيث${\displaystyle r_{n}}$وهي أدنى قيمة في الفترة-${\displaystyle 4^{n}}$نافذة مخطط التشعب. ثم لدينا${\displaystyle r_{1}=3.960102,r_{2}=3.9615554,\dots }$، مع الحد${\displaystyle r_{\infty }=3.96155658717\dots }$. هذا له زوج مختلف من ثوابت فيجنباوم${\displaystyle \delta =981.6\dots ,\alpha =38.82\dots }$.

بشكل عام، لكل مسار مضاعف للدورة يؤدي إلى الفوضى زوج خاص به من ثوابت فيجنباوم. في الواقع، يوجد عادةً أكثر من زوج واحد. على سبيل المثال، بالنسبة لدورة 7-pling، يوجد ما لا يقل عن 9 أزواج مختلفة من ثوابت فيجنباوم. ^{[ 2 ]}

عمومًا،${\textstyle 3\delta \approx 2\alpha ^{2}}$وتصبح العلاقة دقيقة عندما يتزايد كلا العددين إلى ما لا نهاية:${\displaystyle \lim \delta /\alpha ^{2}=2/3}$.