نظرية بناء حزمة الألياف

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة
يمكن إنشاء شريط موبيوس عن طريق لصق غير تافه لحزمتين تافهتين على مجموعتين جزئيتين مفتوحتين U و V من الدائرة S1 . عند لصقهما بشكل تافه (مع gUV = 1 ) ، نحصل على الحزمة التافهة، ولكن مع اللصق غير التافه gUV = 1 على أحد التداخلين و gUV = -1 على التداخل الثاني، نحصل على الحزمة غير التافهة E ، وهي شريط موبيوس. يمكن تصور ذلك على أنه "التواء" لأحد المخططات المحلية.

في الرياضيات ، تُعرف نظرية بناء حزمة الألياف بأنها نظرية تُنشئ حزمة ألياف ذات زمرة هيكلية من فضاء أساسي مُعطى، وألياف، وزمرة، ومجموعة مناسبة من دوال الانتقال . كما تُحدد النظرية الشروط التي بموجبها تكون حزمتان من هذا النوع متماثلتين .

تُستخدم هذه النظرية في بناء الحزمة المرتبطة ، حيث يبدأ المرء بحزمة معينة ويغير الألياف فقط، مع الحفاظ على جميع البيانات الأخرى كما هي.

بيان رسمي

وجود

ليكن X و F فضاءين طوبولوجيين ، ولتكن G زمرة طوبولوجية ذات تأثير يساري متصل على F. بفرض غطاء مفتوح { Uᵢ } لـ X ومجموعة من الدوال المتصلة

تأناج:يوأنا∩يوج→جي{\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G}

مُعرَّفة على كل تداخل غير فارغ، بحيث يكون شرط الدورة المشتركة

تأناك(x)=تأناج(x)تجك(x)∀x∈يوأنا∩يوج∩يوك{\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x)\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}

يثبت ذلك، يوجد حزمة ألياف E → X مع ألياف F ومجموعة هيكلية G قابلة للتبسيط على { U i } مع دوال انتقال t ij .

التماثل

لتكن E ′ حزمة ليفية أخرى لها نفس الفضاء الأساسي، والليف، ومجموعة البنية، والجوار التافهة، ولكن دوال انتقال t′ij . إذا كان تأثير G على F أمينًا ، فإن E ′ و E متماثلتان إذا وفقط إذا وُجدت دوال

تأنا:يوأنا→جي{\displaystyle t_{i}:U_{i}\to G}

بحيث

تأناج′(x)=تأنا(x)-1تأناج(x)تج(x)∀x∈يوأنا∩يوج.{\displaystyle t'_{ij}(x)=t_{i}(x)^{-1}t_{ij}(x)t_{j}(x)\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j}.}

أي تحويل المقياس على بيانات الانتقال.

على وجه الخصوص، إذا توفرت لدينا قاعدة، وليف، ومجموعة هيكلية، وتأثير المجموعة على الليف، وجوارات تافهة، ومجموعة من دوال الانتقال، وكان التأثير أمينًا، فإن أي حزمتين من الألياف يتم إنشاؤهما تكونان متماثلتين. ولإثبات ذلك، استخدم اتجاه "إذا" في نظرية التماثل معتأنا(x)=1جي{\displaystyle t_{i}(x)=1_{G}}، أين1جي∈جي{\displaystyle 1_{G}\in G}هو عنصر الهوية لـجي{\displaystyle G}بمعنى آخر، يكون البناء فريدًا حتى التماثل .

فئة ناعمة

تنطبق النظريتان المذكورتان أعلاه في الفئة الطوبولوجية . وينطبق زوج مماثل من النظريات في الفئة الملساء ، حيث X و Y متعددات شعب ملساء ، و G زمرة لي ذات تأثير يساري أملس على Y، وجميع التطبيقات t ij ملساء.

بناء

يتم إثبات الوجود بشكل بنائي من خلال بناء المعادل القياسي في نظرية الفئات .

خذ الاتحاد المنفصل لمساحات المنتجيوأنا×F{\displaystyle U_{i}\times F}

تي=∐أنا∈أنايوأنا×F={(أنا،x،y):أنا∈أنا،x∈يوأنا،y∈F}.{\displaystyle T=\coprod _{i\in I}U_{i}\times F=\{(i,x,y):i\in I,x\in U_{i},y\in F\}.}

عرّف علاقة التكافؤ

(ج،x،y)∼(أنا،x،تأناج(x)⋅y)∀x∈يوأنا∩يوج،y∈F.{\displaystyle (j,x,y)\sim (i,x,t_{ij}(x)\cdot y)\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j},y\in F.}

خذ ناتج القسمةهـ:=تي/∼{\displaystyle E:=T/\sim }، مع خريطة الإسقاطπ:هـ→X،π([(أنا،x،y)])=x{\displaystyle \pi :E\to X,\quad \pi ([(i,x,y)])=x}التبسيطات المحلية هي

ϕأنا:π-1(يوأنا)→يوأنا×F،ϕأنا-1(x،y)=[(أنا،x،y)].{\displaystyle \phi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times F,\quad \phi _{i}^{-1}(x,y)=[(i,x,y)].}

الحزمة المرتبطة

ليكن E → X حزمة ليفية ذات ليف F ومجموعة بنية G ، وليكن F ′ فضاءً يساريًا آخر على G. يمكن تكوين حزمة مرتبطة E ′ → X ذات ليف F ′ ومجموعة بنية G بأخذ أي تبسيط محلي لـ E واستبدال F بـ F ′ في نظرية البناء. إذا اعتبرنا F ′ هو G مع تطبيق الضرب اليساري، فسنحصل على الحزمة الرئيسية المرتبطة .

مراجع

  • شارب، ر. و. (1997). الهندسة التفاضلية: تعميم كارتان لبرنامج إرلانجن لكلاين . نيويورك: سبرينغر. ISBN 0-387-94732-9.
  • ستينرود، نورمان (1951). طوبولوجيا حزم الألياف . برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0-691-00548-6.{{cite book}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) انظر الجزء الأول، §2.10 و §3.