المحاور شبه الرئيسية وشبه الثانوية

في الهندسة ، المحور الأكبر للقطع الناقص هو أطول قطر له : قطعة مستقيمة تمر بالمركز وبؤرتيه ، وتنتهي عند أبعد نقطتين على محيطه . أما نصف المحور الأكبر ( أو نصف القطر الأكبر ) فهو أطول نصف قطر، أو نصف طول المحور الأكبر، ويمتد من المركز، مرورًا بإحدى البؤرتين ، وصولًا إلى المحيط. نصف المحور الأصغر (أو نصف المحور الأصغر ) للقطع الناقص أو الزائد هو قطعة مستقيمة قائمة على نصف المحور الأكبر، وتنتهي عند مركز القطع المخروطي . في حالة الدائرة، يتساوى طول نصفي المحورين مع نصف قطر الدائرة.

يرتبط طول المحور شبه الأكبر $a للقطع الناقص بطول المحور شبه الأصغر$ $b$ من خلال اللامركزية $e$ ونصف الوتر البؤري المستقيم $\ell$ ، كما يلي:

{\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}

نصف المحور الأكبر للقطع الزائد ، بحسب الاصطلاح، يساوي زائد أو ناقص نصف المسافة بين فرعيه. وبالتالي فهو المسافة من المركز إلى أي من رأسي القطع الزائد.

يمكن الحصول على القطع المكافئ كحد لسلسلة من القطوع الناقصة حيث تبقى إحدى البؤرتين ثابتة بينما يُسمح للأخرى بالتحرك بعيدًا بشكل تعسفي في اتجاه واحد، مع الحفاظ على $\ell$ ثابت. وبالتالي فإن $a$ و $b$ يميلان إلى اللانهاية، $a$ أسرع من $b$ .

المحوران الرئيسي والثانوي هما محورا التناظر للمنحنى: في القطع الناقص، يكون المحور الثانوي هو الأقصر؛ وفي القطع الزائد، يكون هو المحور الذي لا يتقاطع مع القطع الزائد.

القطع الناقص

معادلة القطع الناقص هي

{\frac {(xh)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(yk)^{2}}{b^{2}}}=1,

حيث ( h , k ) هو مركز القطع الناقص في الإحداثيات الديكارتية ، حيث يتم إعطاء نقطة عشوائية بواسطة ( x , y ).

المحور شبه الرئيسي هو متوسط قيمتي أقصى وأدنى مسافة $r_{\text{max}}$ و $r_{\text{min}}$ من القطع الناقص من بؤرة - أي من المسافات من البؤرة إلى نهايتي المحور الرئيسي

a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.

في علم الفلك، تُسمى هذه النقاط القصوى بالأوج والحضيض . ^{[ 1 ]}

نصف المحور الأصغر للقطع الناقص هو المتوسط الهندسي لهذه المسافات:

b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.

يُعرَّف انحراف القطع الناقص بأنه

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},

لذا

r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).

والآن، لننظر إلى المعادلة في الإحداثيات القطبية ، مع وجود إحدى البؤرتين عند نقطة الأصل والأخرى على $\theta =\pi$ اتجاه:

r(1+e\cos \theta )=\ell .

متوسط قيمة $r=\ell /(1-e)$ و $r=\ell /(1+e)$ ، ل $\theta =\pi$ و $\theta =0$ يكون

a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.

في القطع الناقص، يكون المحور شبه الرئيسي هو المتوسط الهندسي للمسافة من المركز إلى أي من البؤرتين والمسافة من المركز إلى أي من الدليلين.

يمتد نصف المحور الأصغر للقطع الناقص من مركز القطع الناقص (نقطة تقع في منتصف المسافة بين البؤرتين وعلى الخط الواصل بينهما ) إلى حافته. ويُساوي نصف المحور الأصغر نصف طول المحور الأصغر. أما المحور الأصغر فهو أطول قطعة مستقيمة عمودية على المحور الأكبر، وتصل بين نقطتين على حافة القطع الناقص.

يرتبط المحور شبه الأصغر $b بالمحور شبه الأكبر$ $a$ من خلال اللامركزية $e$ والعضلة المستقيمة شبه العريضة $\ell$ ، كما يلي:

{\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}

يمكن الحصول على القطع المكافئ كحد لسلسلة من القطوع الناقصة حيث تبقى إحدى البؤرتين ثابتة بينما يُسمح للأخرى بالتحرك بعيدًا بشكل تعسفي في اتجاه واحد، مع الحفاظ على $\ell$ ثابت. وبالتالي فإن $a$ و $b$ يميلان إلى اللانهاية، $a$ أسرع من $b$ .

ويمكن أيضًا إيجاد طول المحور شبه الأصغر باستخدام الصيغة التالية: ^{[ 2 ]}

2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},

حيث $f$ هي المسافة بين البؤرتين، و $p$ و $q$ هما المسافتان من كل بؤرة إلى أي نقطة في القطع الناقص.

القطع الزائد

نصف المحور الأكبر للقطع الزائد ، حسب الاصطلاح، يكون زائد أو ناقص نصف المسافة بين الفرعين؛ إذا كان هذا في $اتجاه$ المحور السيني فإن المعادلة هي: ^{[ 3 ]}

{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.

فيما يتعلق بالعضلة المستقيمة شبه العريضة واللامركزية، لدينا

a={\ell \over e^{2}-1}.

يتطابق المحور المستعرض للقطع الزائد مع المحور الرئيسي. ^{[ 4 ]}

في القطع الزائد، يكون هناك محور مرافق أو محور أصغر للطول $2b$ يمكن رسم المحور الأصغر، الموافق للمحور الأصغر للقطع الناقص، عموديًا على المحور المستعرض أو المحور الأكبر، الذي يربط بين رأسي القطع الزائد (نقاط الانعطاف)، ويتقاطع المحوران في مركز القطع الزائد. $(0,\pm b)$ يقع نصف المحور الأصغر عند مستوى خطوط التقارب فوق/تحت رؤوس القطع الزائد. يُسمى كل نصف من المحور الأصغر بنصف المحور الأصغر، وطوله $b$ . وباعتبار طول نصف المحور الأكبر (المسافة من المركز إلى الرأس) $a$ ، يظهر طولا نصف المحور الأصغر ونصف المحور الأكبر في معادلة القطع الزائد بالنسبة لهذين المحورين كما يلي:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

المحور شبه الأصغر هو أيضاً المسافة من إحدى بؤرتي القطع الزائد إلى خط التقارب. ويُطلق عليه غالباً معامل التأثير ، وهو مهم في الفيزياء وعلم الفلك، ويقيس المسافة التي سيخطئ بها الجسيم البؤرة إذا لم يتأثر مساره بالجسم الموجود عند البؤرة.

يرتبط المحور شبه الأصغر والمحور شبه الأكبر من خلال اللامركزية، كما يلي:

b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.

^{[ 5 ]}

لاحظ أنه في القطع الزائد يمكن أن تكون قيمة $b$ أكبر من قيمة $a$ . ^{[ 6 ]}

علم الفلك

الفترة المدارية

في علم الديناميكا الفلكية، تكون الفترة المدارية T $لجسم$ صغير يدور حول جسم مركزي في مدار دائري أو بيضاوي هي: ^{[ 1 ]}

T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},

أين:

يمثل a

طول المحور شبه الرئيسي للمدار،

\mu

هو المعامل القياسي للجاذبية للجسم المركزي.

لاحظ أنه بالنسبة لجميع القطع الناقصة ذات المحور شبه الرئيسي المحدد، فإن الفترة المدارية هي نفسها، بغض النظر عن انحرافها المركزي.

الزخم الزاوي المحدد $h$ لجسم صغير يدور حول جسم مركزي في مدار دائري أو بيضاوي هو ^{[ 1 ]}

h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},

أين:

و

\mu

كما هو موضح أعلاه،

يمثل e

انحراف المدار.

في علم الفلك ، يُعدّ نصف المحور الأكبر أحد أهم العناصر المدارية للمدار ، إلى جانب دورته المدارية . بالنسبة لأجرام النظام الشمسي ، يرتبط نصف المحور الأكبر بدورة المدار بقانون كبلر الثالث ( الذي تم اشتقاقه تجريبياً في الأصل ): ^[¹^]

T^{2}\propto a^{3},

حيث $T$ هي الدورة، و $a$ هو المحور شبه الرئيسي. ويتضح أن هذا الشكل هو تبسيط للشكل العام لمسألة الجسمين ، كما حدده نيوتن : ^{[ 1 ]}

T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},

حيث $G$ هو ثابت الجاذبية ، و $M$ كتلة الجسم المركزي، و $m$ كتلة الجسم الذي يدور حوله. عادةً، تكون كتلة الجسم المركزي أكبر بكثير من كتلة الجسم الذي يدور حوله، بحيث يمكن إهمال $m . وبناءً على هذا الافتراض$ ، وباستخدام وحدات القياس الفلكية الشائعة، نحصل على الصيغة الأبسط التي اكتشفها كيبلر.

يكون مسار الجسم المداري حول مركز الثقل ومساره بالنسبة إلى جسمه الأساسي عبارة عن قطع ناقص. ^{[ 1 ]} يُستخدم المحور شبه الرئيسي أحيانًا في علم الفلك كمسافة بين الجسم الأساسي والجسم الثانوي عندما تكون نسبة كتلة الجسم الأساسي إلى كتلة الجسم الثانوي كبيرة بشكل ملحوظ ( $M\gg m$ وبالتالي، تُعطى معلمات مدارات الكواكب بدلالة مركزية الشمس. ويمكن توضيح الفرق بين المدارات البدائية والمدارات "المطلقة" بشكل أفضل من خلال النظر إلى نظام الأرض والقمر. نسبة الكتلة في هذه الحالة هي81.300 59. تبلغ المسافة المميزة بين الأرض والقمر، وهي نصف المحور الأكبر للمدار القمري الجيومركزي ، 384,400 كم. (وبالنظر إلى انحراف المدار القمري e = 0.0549، فإن نصف محوره الأصغر يبلغ 383,800 كم. وبالتالي، فإن مدار القمر دائري تقريبًا). أما المدار القمري الباريسنتري ، فيبلغ نصف محوره الأكبر 379,730 كم، ويشغل مدار الأرض المعاكس الفرق، وهو 4,670 كم. يبلغ متوسط سرعة القمر المدارية الباريسنترية 1.010 كم/ث، بينما تبلغ سرعة الأرض 0.012 كم/ث. مجموع هاتين السرعتين يعطي متوسط سرعة مدارية قمرية جيومركزية تبلغ 1.022 كم/ث؛ ويمكن الحصول على القيمة نفسها بالنظر إلى قيمة نصف المحور الأكبر الجيومركزي فقط.

متوسط المسافة

كثيراً ما يُقال إن المحور شبه الرئيسي هو المسافة "المتوسطة" بين البؤرة الرئيسية للقطع الناقص والجسم المداري. وهذا ليس دقيقاً تماماً، لأنه يعتمد على ما يُؤخذ منه المتوسط. إذ يمكن أن تختلف المسافة المتوسطة زمنياً وزاوياً للجسم المداري بنسبة تتراوح بين 50 و100% عن المحور شبه الرئيسي للمدار، وذلك تبعاً للانحراف المداري. ^{[ 7 ]}

إن حساب متوسط المسافة على طول الشذوذ اللامركزي يؤدي بالفعل إلى المحور شبه الرئيسي.
ينتج عن حساب المتوسط على الشذوذ الحقيقي (زاوية المدار الحقيقية، المقاسة عند البؤرة) المحور شبه الأصغر $b=a{\sqrt {1-e^{2}}}$ .
يُعطي حساب المتوسط على الشذوذ المتوسط (نسبة الفترة المدارية التي انقضت منذ نقطة الحضيض، معبرًا عنها بزاوية) المتوسط الزمني. $a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,$ .

القيمة المتوسطة زمنياً لمقلوب نصف القطر، $r^{-1}$ ، يكون $a^{-1}$ .

الطاقة؛ حساب المحور شبه الرئيسي من متجهات الحالة

في علم الديناميكا الفلكية ، يمكن حساب نصف المحور الرئيسي $a من$ متجهات الحالة المدارية :

a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}

بالنسبة للمدار الإهليلجي ، وحسب الاصطلاح، يكون نفسه أو

a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}

لمسار زائدي ، و

\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}

( طاقة مدارية محددة ) و

\mu =GM,

( معامل الجاذبية القياسي )، حيث:

v

هي السرعة المدارية الناتجة عن متجه سرعة الجسم الذي يدور في مداره،

يمثل

r

متجه موضع ديكارتي لجسم يدور في إحداثيات إطار مرجعي يتم حساب عناصر المدار بالنسبة له (على سبيل المثال، المدار الاستوائي المركزي للأرض، أو المدار الكسوفي المركزي للشمس).

G

هو ثابت الجاذبية ،

M

هي كتلة الجسم المتأثر بالجاذبية، و

\varepsilon

هي الطاقة النوعية للجسم المداري.

لاحظ أنه بالنسبة لكتلة إجمالية معينة، تكون الطاقة النوعية ونصف المحور الأكبر ثابتين دائمًا، بغض النظر عن الانحراف المركزي أو نسبة الكتل. وعلى العكس، بالنسبة لكتلة إجمالية ونصف محور أكبر ثابتين، تكون الطاقة المدارية النوعية الكلية ثابتة دائمًا. وستظل هذه العبارة صحيحة دائمًا في جميع الظروف.

المحاور شبه الرئيسية وشبه الثانوية لمدارات الكواكب

تُذكر مدارات الكواكب دائمًا كأمثلة رئيسية على الأشكال الإهليلجية ( قانون كبلر الأول ). ومع ذلك، فإن الفرق الطفيف بين نصف المحور الأكبر ونصف المحور الأصغر يُظهر أنها دائرية الشكل تقريبًا. ويستند هذا الفرق (أو النسبة) إلى الانحراف المركزي ويُحسب على النحو التالي: ${\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}$ ، وهو ما ينتج عنه نتائج صغيرة جدًا بالنسبة للانحرافات المدارية النموذجية للكواكب.

يرجع سبب افتراض المدارات الإهليلجية البارزة على الأرجح إلى الفرق الكبير بين نقطتي الأوج والحضيض. ويستند هذا الفرق (أو النسبة) أيضًا إلى الانحراف المركزي، ويتم حسابه على النحو التالي: ${\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}$ . نظرًا للاختلاف الكبير بين الأوج والحضيض، يمكن تصور قانون كبلر الثاني بسهولة.

	الغرابة	المحور شبه الرئيسي أ ( وحدة فلكية )	المحور شبه الأصغر ب ( وحدة فلكية )	اختلاف (٪)	نقطة الحضيض ( وحدة فلكية )	الأوج ( AU )	اختلاف (٪)
الزئبق	0.206	0.38700	0.37870	2.2	0.307	0.467	52
الزهرة	0.007	0.72300	0.72298	0.002	0.718	0.728	1.4
أرض	0.017	1.00000	0.99986	0.014	0.983	1.017	3.5
المريخ	0.093	1.52400	1.51740	0.44	1.382	1.666	21
كوكب المشتري	0.049	5.20440	5.19820	0.12	4.950	5.459	10
زحل	0.057	9.58260	9.56730	0.16	9.041	10.124	12
أورانوس	0.046	19.21840	19.19770	0.11	18.330	20.110	9.7
نبتون	0.010	30.11000	30.10870	0.004	29.820	30.400	1.9

1 وحدة فلكية (AU) تساوي 149.6 مليون كيلومتر.

مراجع

1 2 3 4 5 6 ليسور، جاك جيه؛ دي باتر، إمكي (2019). العلوم الكوكبية الأساسية: الفيزياء والكيمياء وقابلية السكن . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 24-31 . ISBN 9781108411981.
↑ "المحور الأكبر / المحور الأصغر للقطع الناقص" ، مرجع الرياضيات المفتوح، 12 مايو 2013.
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "القطع الناقص" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-08-20 .
↑ "7.1 التوصيف البديل" . www.geom.uiuc.edu . مؤرشف من الأصل بتاريخ 24-10-2018 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 06-09-2007 .
↑ " هندسة المدارات: القطع الناقص، والقطع المكافئ، والقطع الزائد" . www.bogan.ca
↑ "7.1 التوصيف البديل" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 24-10-2018 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 06-09-2007 .
↑ ويليامز، دارين م. (نوفمبر 2003). "متوسط المسافة بين نجم وكوكب في مدار إهليلجي". المجلة الأمريكية للفيزياء . 71 (11): 1198-1200 . Bibcode : 2003AmJPh..71.1198W . doi : 10.1119/1.1578073 .

روابط خارجية

نصف المحورين الأكبر والأصغر للقطع الناقص مع رسوم متحركة تفاعلية

[lissauer2019-1] 1 2 3 4 5 6 ليسور، جاك جيه؛ دي باتر، إمكي (2019). العلوم الكوكبية الأساسية: الفيزياء والكيمياء وقابلية السكن . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 24-31 . ISBN 9781108411981.

[2] "المحور الأكبر / المحور الأصغر للقطع الناقص" ، مرجع الرياضيات المفتوح، 12 مايو 2013.

[3] وايسشتاين، إريك دبليو. "القطع الناقص" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-08-20 .

[4] "7.1 التوصيف البديل" . www.geom.uiuc.edu . مؤرشف من الأصل بتاريخ 24-10-2018 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 06-09-2007 .

[5] " هندسة المدارات: القطع الناقص، والقطع المكافئ، والقطع الزائد" . www.bogan.ca

[6] "7.1 التوصيف البديل" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 24-10-2018 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 06-09-2007 .

[7] ويليامز، دارين م. (نوفمبر 2003). "متوسط المسافة بين نجم وكوكب في مدار إهليلجي". المجلة الأمريكية للفيزياء . 71 (11): 1198-1200 . Bibcode : 2003AmJPh..71.1198W . doi : 10.1119/1.1578073 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]