دوائر أبولونيوس

ليكن d1 و d2 عددين حقيقيين موجبين غير متساويين. ولتكن C نقطة التقسيم الداخلية للقطعة المستقيمة AB _بنسبة d1 : d2 ، ولتكن  _D نقطة التقسيم الخارجية للقطعة _{المستقيمة AB} بنفس النسبة _، d1 : d2 _. 

$${\displaystyle {\overrightarrow {PC}}={\frac {d_{2}{\overrightarrow {PA}}+d_{1}{\overrightarrow {PB}}}{d_{2}+d_{1}}},\quad {\overrightarrow {PD}}={\frac {d_{2}{\overrightarrow {PA}}-d_{1}{\overrightarrow {PB}}}{d_{2}-d_{1}}}.}$$

ثم، $$\begin{aligned}&PA:PB=d_{1}:d_{2}.\\\Leftrightarrow {}&d_{2}|{\overrightarrow {PA}}|=d_{1}|{\overrightarrow {PB}}|.\\\Leftrightarrow {}&d_{2}^{2}|{\overrightarrow {PA}}|^{2}=d_{1}^{2}|{\overrightarrow {PB}}|^{2}.\\\Leftrightarrow {}&(d_{2}{\overrightarrow {PA}}+d_{1}{\overrightarrow {PB}})\cdot (d_{2}{\overrightarrow {PA}}-d_{1}{\overrightarrow {PB}})=0.\\\Leftrightarrow {}&{\frac {d_{2}{\overrightarrow {PA}}+d_{1}{\overrightarrow {PB}}}{d_{2}+d_{1}}}\cdot {\frac {d_{2}{\overrightarrow {PA}}-d_{1}{\overrightarrow {PB}}}{d_{2}-d_{1}}}=0.\\\Leftrightarrow {}&{\overrightarrow {PC}}\cdot {\overrightarrow {PD}}=0.\\\Leftrightarrow {}&{\overrightarrow {PC}}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {PD}}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {PC}}\perp {\overrightarrow {PD}}.\\\Leftrightarrow {}&P=C\vee P=D\vee \angle CPD=90^{\circ }.\end{aligned}}}$$

لذلك، تقع النقطة P على الدائرة التي قطرها CD .

لنبدأ بالنظر إلى النقطة C على القطعة المستقيمة بين A و B ، والتي تحقق النسبة. بحسب التعريف $${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$$ ومن عكس نظرية منصف الزاوية ، فإن الزاويتين α = ∠ APC و β = ∠ CPB متساويتان.

ثم نأخذ النقطة الأخرى D على امتداد الخط AB التي تحقق النسبة. $${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AD|}{|BD|}}.}$$ لنأخذ نقطة أخرى Q في أي مكان على امتداد الخط AP . وبحسب عكس نظرية منصف الزاوية، فإن الخط PD ينصف الزاوية الخارجية ∠QPB. ومن ثم، فإن γ = ∠BPD و δ = ∠QPD متساويتان ، و β + γ = 90 ° . وبالتالي ، بحسب نظرية طاليس ، تقع النقطة P على الدائرة التي قطرها CD .

تُعنى مسألة مطاردة أبولونيوس بتحديد ما إذا كانت سفينة تغادر نقطة A بسرعة vA ستعترض سفينة أخرى تغادر نقطة _B بسرعة vB . يُحسب الحد الأدنى لزمن التقاطع بين السفينتين باستخدام مسارات خطية مستقيمة. إذا كانت سرعات السفينتين ثابتة، فإن نسبة سرعتيهما تُعرف بالرمز _μ . إذا اصطدمت السفينتان أو التقتا عند نقطة مستقبلية I ، فإن المسافة بينهما تُحدد بالمعادلة: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle a=\mu b}$$

والمسافات المعنية هي :

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\b&={\sqrt {(dx)^{2}+y^{2}}}\end{aligned}}}$$

بالتعويض عن a و b وتربيع كلا الطرفين، نحصل على:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=\mu ^{2}b^{2}\\x^{2}+y^{2}&=\mu ^{2}\left[(dx)^{2}+y^{2}\right]\\&=\mu ^{2}\left[d^{2}+x^{2}-2dx+y^{2}\right]\\&=x^{2}\mu ^{2}+y^{2}\mu ^{2}+d^{2}\mu ^{2}-2dx\mu ^{2}\end{aligned}}}$$

بالانتقال إلى الجانب الأيسر: $${\displaystyle x^{2}-x^{2}\mu ^{2}+y^{2}-y^{2}\mu ^{2}-d^{2}\mu ^{2}+2dx\mu ^{2}=0}$$

التحليل إلى عوامل: $${\displaystyle x^{2}(1-\mu ^{2})+y^{2}(1-\mu ^{2})-d^{2}\mu ^{2}+2dx\mu ^{2}=0}$$

القسمة على${\displaystyle 1-\mu ^{2}}$ : $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}+{\frac {2dx\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}=0}$$

إكمال المربع: $${\displaystyle \left(x+{\frac {d\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}-{\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}-{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}+y^{2}=0}$$

انقل الحدود غير المربعة إلى الجانب الأيمن: $$\displaystyle \begin{aligned}\left(x+{\frac {d\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}+y^{2}&={\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}+{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\\[2pt]&={\frac {d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}+{\frac {d^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}{\frac {(1-\mu ^{2})}{(1-\mu ^{2})}}\\[2pt]&={\frac {d^{2}\mu ^{4}+d^{2}\mu \{2}-d^{2}\mu ^{4}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}\\[2pt]&={\frac {d^{2}\mu ^{2}}{(1-\mu ^{2})^{2}}}\end{aligned}}}$$

ثم: $${\displaystyle \left(x+{\frac {d\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {d\mu }{1-\mu ^{2}}}\right)^{2}}$$

لذلك، يجب أن تقع النقطة على دائرة كما حددها أبولونيوس، مع اعتبار نقاط البداية بمثابة البؤرتين.