توزيع فريشي

يُعد توزيع فريشيه ، المعروف أيضًا باسم توزيع ويبول المعكوس ، ^{[ 2 ] [ 3 ]} حالة خاصة من توزيع القيمة القصوى المعمم . وله دالة التوزيع التراكمي.

${\displaystyle \ \Pr(\ X\leq x\ )=e^{-x^{-\alpha }}~{\text{ إذا كان }}~x>0~.}$

حيث α > 0 هو مُعامل الشكل . ويمكن تعميمه ليشمل مُعامل الموقع m (الحد الأدنى) ومُعامل المقياس s > 0 مع دالة التوزيع التراكمي.

${\displaystyle \ \Pr(\ X\leq x\ )=\exp \left[\ -\left({\tfrac {\ xm\ }{s}}\right)^{-\alpha }\ \right]~~{\text{ إذا }}~x>m~.}$

^{[ 4 ]} وقد تم إجراء المزيد من العمل من قبل فيشر وتيبت في عام 1928 ومن قبل غامبل في عام 1958. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

المعامل الوحيد Fréchet، مع المعامل${\displaystyle \ \alpha }$، له عزم معياري

${\displaystyle \mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)\ \operatorname {d} x=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {k}{\alpha }}}e^{-t}\ \operatorname {d} t\ ,}$

(مع${\displaystyle \ t=x^{-\alpha }\ }$) مُعرّف فقط لـ${\displaystyle \ k<\alpha \$ :}

${\displaystyle \ \mu _{k}=\Gamma \left(1-{\frac {k}{\alpha }}\right)\ }$

أين${\displaystyle \ \Gamma \left(z\right)\ }$هي دالة جاما .

بخاصة:

• ل${\displaystyle \alpha >1}$المتوقع هو​${\displaystyle E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }})}$
• ل${\displaystyle \alpha >2}$التباين هو​${\displaystyle {\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}.}$

الكمية​${\displaystyle q_{y}}$من النظام${\displaystyle y}$يمكن التعبير عنها من خلال معكوس التوزيع،

${\displaystyle q_{y}=F^{-1}(y)=\left(-\log _{e}y\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$.

وبالتحديد، الوسيط هو:

${\displaystyle q_{1/2}=(\log _{e}2)^{-{\frac {1}{\alpha }}}.}$

نمط التوزيع هو${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}.}$

وخاصة بالنسبة لـ Frechet ذي الثلاثة معلمات، فإن الربع الأول هو${\displaystyle q_{1}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log(4)}}}}$والربع الثالث ${\displaystyle q_{3}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log({\frac {4}{3}})}}}.}$

كما أن الكميات المئوية للمتوسط ​​والمنوال هي:

${\displaystyle F(mean)=\exp \left(-\Gamma ^{-\alpha }\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)}$

${\displaystyle F(mode)=\exp \left(-{\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right).}$

• يُعد توزيع فريشيه توزيعًا مستقرًا أقصى
• معكوس متغير عشوائي يتبع توزيع فريشيه هو توزيع مستقر أدنى

تقوم دالة التوزيع التراكمي لتوزيع فريشيه بحل معادلة فرضية الاستقرار الأقصى .

تشمل علاقات القياس ما يلي:

• لو${\displaystyle \ X\sim U(\ 0,1\ )\ }$( توزيع منتظم مستمر ) إذن${\displaystyle \ m+s\cdot {\Bigl (}-\log _{e}\!(X)\ {\Bigr )}^{\frac {-1\;}{\alpha }}\sim {\textsf {Frechet}}(\alpha ,s,m)\ }$
• لو${\displaystyle \ X\sim {\textsf {Frechet}}(\ \alpha ,s,m=0\ )\ }$ثم يكون مقلوبه موزعًا وفقًا لتوزيع ويبول :${\displaystyle \ {\frac {\ 1\ }{X}}\sim {\textsf {Weibull}}\!\left(\ k=\alpha ,\lambda ={\tfrac {1}{s}}\ \right)\ }$
• لو${\displaystyle \ X\sim {\textsf {Frechet}}(\alpha ,s,m)\ }$ثم${\displaystyle \ k\ X+b\sim {\textrm {Frechet}}(\ \alpha ,ks,k\ m+b\ )\ }$
• لو${\displaystyle \ X_{i}\sim {\textsf {Frechet}}(\ \alpha ,s,m\ )\ }$و${\displaystyle \ Y=\max\{\ X_{1},\ldots ,X_{n}\ \}\ }$ثم${\displaystyle \ Y\sim {\textsf {Frechet}}(\ \alpha ,n^{\tfrac {1}{\alpha }}s,m\ )\ }$

• في علم المياه ، يُطبَّق توزيع فريشيه على الظواهر المناخية المتطرفة، مثل أعلى معدلات هطول الأمطار السنوية في يوم واحد وتصريف الأنهار. ^{[ 7 ]} يوضح هذا الشكل مثالًا على تطبيق توزيع فريشيه على أعلى معدلات هطول الأمطار السنوية في يوم واحد في سلطنة عُمان ، مع إظهار نطاق الثقة بنسبة 90% بناءً على التوزيع ذي الحدين . يتم تمثيل التكرارات التراكمية لبيانات هطول الأمطار برسم المواقع كجزء من تحليل التكرار التراكمي . مع ذلك، في معظم التطبيقات الهيدرولوجية، يتم تطبيق التوزيع باستخدام توزيع القيمة القصوى المعمم ، لتجنب فرض افتراض عدم وجود حد أدنى للتوزيع (كما هو مطلوب في توزيع فريشيه).
• في تحليل منحنى الانخفاض ، يمكن وصف نمط الانخفاض في بيانات السلاسل الزمنية لمعدل إنتاج النفط أو الغاز بمرور الوقت لبئر ما بواسطة توزيع فريشيه. ^{[ 8 ]}
• تتمثل إحدى طرق تقييم ما إذا كان التوزيع متعدد المتغيرات مرتبطًا أو مستقلًا تقاربيًا في تحويل البيانات إلى هوامش فريشيه القياسية باستخدام التحويل${\displaystyle Z_{i}=-1/\log F_{i}(X_{i})}$ثم تحويل الإحداثيات من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات شبه القطبية${\displaystyle (R,W)=(Z_{1}+Z_{2},Z_{1}/(Z_{1}+Z_{2}))}$قيم${\displaystyle R\gg 1}$تتوافق مع البيانات المتطرفة التي يكون فيها أحد مكوناتها على الأقل كبيرًا بينما${\displaystyle W}$تقريبًا، يشير الرقم 1 أو 0 إلى أن أحد المكونات فقط هو المتطرف.
• في علم الاقتصاد، يتم استخدامه لنمذجة المكون الخاص بتفضيلات الأفراد للمنتجات المختلفة ( التنظيم الصناعي )، أو المواقع ( الاقتصاد الحضري )، أو الشركات ( اقتصاد العمل ).

• توزيع غامبل من النوع الثاني
• نظرية فيشر-تيبت-غنيدينكو

• كوتز، س.؛ ناداراجا، س. (2000). توزيعات القيم المتطرفة: النظرية والتطبيقات . وورلد ساينتيفيك. ISBN 1-86094-224-5.