نظرية جيلفوند-شنايدر

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تثبت نظرية جيلفوند-شنايدر تجاوز فئة كبيرة من الأعداد.

تاريخ

تم إثبات ذلك بشكل مستقل في الأصل عام 1934 من قبل ألكسندر جيلفوند وثيودور شنايدر . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

إفادة

لوأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}هي أعداد جبريةأ∉{0،1}{\displaystyle a\not \in \{0,1\}}وب{\displaystyle b}إذا كان غير منطقي ، فإن أي قيمة لـأب{\displaystyle a^{b}}هو عدد متسامٍ .

تعليقات

قيمأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}لا تقتصر على الأعداد الحقيقية ؛ يُسمح بالأعداد المركبة (هنا لا تُعتبر الأعداد المركبة نسبية عندما يكون لها جزء تخيلي لا يساوي 0، حتى لو كان كل من الجزء الحقيقي والجزء التخيلي نسبيين).

على العموم،أب=خبرة(بln⁡أ){\displaystyle a^{b}={\text{exp}}(b\ln a)}هي متعددة القيم . وهذا يفسر عبارة "أي قيمة لـ" في نص النظرية.

الصيغة المكافئة للنظرية هي التالية: إذاα{\displaystyle \alpha }وγ{\displaystyle \gamma }هي أعداد جبرية غير صفرية، ونأخذ أي لوغاريتم غير صفري لـα{\displaystyle \alpha }، ثم(ln⁡γ)/(ln⁡α){\displaystyle (\ln \gamma )/(\ln \alpha )}إما أن يكون عقلانيًا أو متعاليًا. ويمكن التعبير عن ذلك بالقول إنه إذاln⁡α{\displaystyle \ln \alpha }،ln⁡γ{\displaystyle \ln \gamma }إذا كانت المتغيرات مستقلة خطيًا على الأعداد النسبية، فإنها تكون مستقلة خطيًا على الأعداد الجبرية. ويُعدّ تعميم هذه العبارة إلى صيغ خطية أكثر عمومية في لوغاريتمات عدة أعداد جبرية من اختصاص نظرية الأعداد المتسامية .

إذا أُزيل الشرط القائل بأن a و b قيمتان جبريتان، فإن العبارة لا تظل صحيحة بشكل عام. على سبيل المثال، (22)2=22⋅2=22=2.{\displaystyle {\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.} هنا،أ{\displaystyle a}يكون22{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}، وهو (كما أثبتت النظرية نفسها) متسامٍ وليس جبريًا. وبالمثل، إذاأ=3{\displaystyle a=3}وب=(ln⁡2)/(ln⁡3){\displaystyle b=(\ln 2)/(\ln 3)}وهو أمر متعالٍ، إذنأب=2{\displaystyle a^{b}=2}هو جبري. توصيف لقيمأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}مما ينتج عنه شيء متعالٍأب{\displaystyle a^{b}}غير معروف.

أثبت كورت ماهلر النظير p -adic للنظرية: إذاأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}فيجص{\displaystyle \mathbf {C} _{p}}، إتمام الإغلاق الجبري لـسؤالص{\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}وهي جبرية علىسؤال{\displaystyle \mathbf {Q} }وإذا|أ-1|ص<1{\displaystyle |a-1|_{p}<1}و|ب-1|ص<1،{\displaystyle |b-1|_{p}<1,}ثم(سجلص⁡أ)/(سجلص⁡ب){\displaystyle (\log _{p}a)/(\log _{p}b)}إما أن يكون عقلانيًا أو متعاليًا، حيثسجلص{\displaystyle \log _{p}}هي دالة اللوغاريتم p -adic .

النتائج المترتبة

إن تجاوز الأعداد التالية يتبع مباشرة من النظرية:

  • ثابت جيلفوند-شنايدر22=2.665144142...{\displaystyle 2^{\sqrt {2}}=2.665144142\ldots }وجذرها التربيعي22=22=1.632526919...{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}=1.632526919\ldots }
  • ثابت جيلفوندهـπ=(هـأناπ)-أنا=(-1)-أنا=23.14069263...{\displaystyle e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots }
  • أناأنا=(هـأناπ2)أنا=هـ-π2=1هـπ=0.207879576...{\displaystyle i^{i}=\left(e^{\frac {i\pi }{2}}\right)^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}={\frac {1}{\sqrt {e^{\pi }}}}=0.207879576\ldots }

التطبيقات

تجيب نظرية جيلفوند-شنايدر بالإيجاب على مشكلة هيلبرت السابعة .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ Gelfond، A. (1934)، “Sur le septième problème de D. Hilbert. (الروسية، الفرنسية)”، سي آر أكاد. الخيال العلمي. يو آر إس إس ، 2 (2): 1–6 ، جي إف إم 60.0163.04 
  2. ^ ألكسندر جلفوند (1934). "في السبعة من مشكلة هيلبرت" . نشرة أكاديمية العلوم لـ URSS، فئة علوم الرياضيات والطبيعة . الدوري السابع (4): 623– 634. جي اف ام 60.0164.01 . 
  3. ^ Gelfond، A. (1934)، “في المشكلة السابعة لـ D. Hilbert. (Sur le septième problème de D. Hilbert.) (الروسية، الفرنسية)”، CR (Doklady) Acad. الخيال العلمي. يو آر إس إس ، 2 : 1–3 ، 4–6 ، زبل 0009.05302 
  4. ^ شنايدر ، ثيودور (1934) ، “Transzendenzunter suchungenperiodischer Funktionen. I. Transzendenz von Potenzen.”، Journal für die Reine und Angewandte Mathematik ، 172 : 65–69 ، Zbl 0010.10501 

للمزيد من القراءة