الديناميكا المائية المعممة

يقتصر علم الهيدروديناميكا المعمم حاليًا على المسائل أحادية البعد. في مثل هذه الحالات، تُظهر أنظمة الأجسام المتعددة مفهوم التكامل، ويصبح علم الهيدروديناميكا الناشئ على مقياس أويلر هو علم الهيدروديناميكا المعمم بدلًا من علم الهيدروديناميكا الكلاسيكي. ^{[ 5 ]}

تشبه المعادلة المركزية لـ GHD إلى حد كبير كلاً من معادلات أويلر لديناميكا الموائع ومعادلة ليوفيل . وهي تأخذ شكل معادلة تفاضلية تكاملية غير خطية تحكم توزيع فضاء الطور الطيفي للجسيمات شبه الحقيقية${\displaystyle \rho _{\lambda }}$، مقدمة من:

${\displaystyle \partial _{t}\rho _{\lambda }+\partial _{x}\left(v^{\text{eff}}\rho _{\lambda }\right)=0,}$

أين${\displaystyle \rho _{\lambda }(x,\lambda ,t)}$هي كثافة الجسيمات شبه الحقيقية التي تعتمد على المكان، والمعامل الطيفي${\displaystyle \lambda }$(وتسمى أيضًا السرعة) والزمن. السرعة الفعالة${\displaystyle v^{\text{eff}}(x,\lambda ,t)}$تمثل سرعة انتشار إثارات الجسيمات شبه الحقيقية وتعتمد بشكل غير خطي على${\displaystyle \rho _{\lambda }}$أي أن الأمر يعتمد بشكل غير بديهي على التفاعلات.

إذا أُخذت مساهمات مجالات القوى في الاعتبار، فإن المعادلات تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle \partial _{t}\rho _{\lambda }+\partial _{x}\left(v^{\text{eff}}\rho _{\lambda }\right)+\partial _{\lambda }\left(a^{\text{eff}}\rho _{\lambda }\right)=0}$.

المعلمة الطيفية المستمرة${\displaystyle \lambda }$يُحصي هذا الجدول الكائنات التقاربية الممكنة للتفاعلات بين الجسيمات (نظرية التشتت، السوليتونات، إلخ)، بما في ذلك زخمها وحالاتها الداخلية المحتملة. والمجموعة الدقيقة لـ${\displaystyle \lambda }$يعتمد ذلك على الطراز، ولكنه عادةً ما يكون إما${\displaystyle \mathbb {R} }$أو مجموعة فرعية${\displaystyle S\in \mathbb {R} }$وبهذه الطريقة، تصبح الجسيمات شبه جسيمات تعيش الآن في فضاء الطور الطيفي .

بالنسبة لنظام من الجسيمات غير المتفاعلة، يصبح فضاء الطور الطيفي هو فضاء الطور العادي ، ويصبح المعامل الطيفي هو الزخم الكنسي${\displaystyle \lambda \rightarrow p}$وتصبح معادلة الحركة معادلة ليوفيل للجسيم الواحد:

${\displaystyle \partial _{t}\rho +{\dot {x}}\,\partial _{x}\rho +{\dot {p}}\,\partial _{p}\rho =0,}$

أو ما يعادل ذلك

${\displaystyle \partial _{t}\rho +\{\rho ,H\}=0,}$

باستخدام معادلات هاميلتون وأقواس بواسون .

عادة ما يتم حل معادلات GHD عددياً ^{[ 6 ]،} ولكن هذه المعادلات نفسها لها هياكل قابلة للتكامل، وهي عرضة للوصف الهندسي الذي يمكن من خلاله الحصول على حلول في صورة مجموعة من المعادلات التكاملية. ^{[ 7 ]}

تعتمد الديناميكا المائية الكلاسيكية على افتراض أن زمن استرخاء الجسيمات (الزمن اللازم لنظام مضطرب للوصول إلى حالة التوازن ) أصغر بكثير من النطاق الزمني للتغيرات العيانية، أي${\displaystyle \tau _{\text{micro}}\ll \tau _{\text{macro}}}$لذلك لسنا بحاجة إلى تتبع موضع كل جسيم وزخمه${\displaystyle (q_{i},p_{i})}$في الوقت نفسه، لكننا نحتاج فقط إلى تتبع الخصائص الكلية مثل الكثافة.${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$، سرعة${\displaystyle v(\mathbf {r} ,t)}$وكثافة الطاقة${\displaystyle e(\mathbf {r} ,t)}$ويمكن وصف التطور بأكمله بمجموعة من المعادلات التفاضلية الجزئية وتلك الكميات المحفوظة القليلة فقط.

الوضع مختلف في الديناميكا المائية العالمية، حيث لا يمكن إهمال وقت الاسترخاء ولا يمكن استخدام افتراض الاسترخاء بسهولة كما هو الحال في الديناميكا المائية الكلاسيكية.

كمية محفوظة${\displaystyle Q}$بالكثافة المناسبة${\displaystyle q(x)}$يمكن التعبير عنها على النحو التالي

${\displaystyle Q=\int dxq(x),}$

يمكن للمرء الآن أن يدون${\displaystyle n}$قوانين الحفظ ( معادلات الاستمرارية ) لكل كمية محفوظة على النحو التالي:

${\displaystyle \partial _{t}q_{n}+\partial _{x}j_{n}=0.}$

عادةً، تحتوي الأنظمة الهاميلتونية القابلة للتكامل على عدد محدود من الكميات المحفوظة (وهي الهاميلتوني، والزخم، والزخم الزاوي). وتكمن الخاصية المميزة لأنظمة GHD في أن عدد الكميات المحفوظة المستقلة ينمو خطيًا مع حجم النظام. ومن الفروق الأخرى أن النظام غير القابل للتكامل، الذي يبدأ تطوره من حالة غير متوازنة، سيقترب من مجموعة إحصائية - مجموعة جيبس ​​- بينما سيتطور النظام القابل للتكامل إلى مجموعة جيبس ​​المعممة .

${\displaystyle \rho ={\frac {e^{\sum \beta _{n}Q_{n}}}{Z}}}$

أين${\displaystyle {Q_{n}}}$هي عائلة لانهائية من الكميات المحفوظة و${\displaystyle \beta _{n}}$هي كمونات كيميائية معممة.

نظريًا، تُعدّ الميكانيكا الإحصائية غير المتوازنة دقيقة رياضيًا: إذ تتطور مجموعات الأنظمة المعزولة بمرور الوقت وفقًا لمعادلات حتمية مثل معادلة ليوفيل أو مكافئها الكمومي، معادلة فون نيومان . وتنتج هذه المعادلات عن تطبيق معادلات الحركة الميكانيكية بشكل مستقل على كل حالة في المجموعة. وترث معادلات تطور المجموعة هذه الكثير من تعقيد الحركة الميكانيكية الأساسية، ولذا يصعب الحصول على حلول دقيقة. علاوة على ذلك، فإن معادلات تطور المجموعة قابلة للانعكاس تمامًا ولا تُفقد أي معلومات ( يُحفظ إنتروبيا جيبس ​​للمجموعة).