معادلة بولتزمان

تُسمى مجموعة جميع المواضع r والزخمات الممكنة p فضاء الطور للنظام؛ أي مجموعة من ثلاث إحداثيات لكل موضع x و y و z ، وثلاث إحداثيات أخرى لكل مركبة زخم p _{_x} و p_y و p _{_z}. هذا الفضاء سداسي الأبعاد : أي نقطة فيه هي ( r , p ) = ( x , y, z, p_x, p _{_y} , p_{_z} ) ، وكل إحداثية مُعَلمة بالزمن t . يُكتب العنصر التفاضلي ذو الصلة على النحو التالي _:$${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}.}$$

بما أن احتمال وجود N جزيء، والتي جميعها لها r و p ضمن${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$في صلب المعادلة، يكمن السؤال المطروح، وهو كمية f التي تعطي هذا الاحتمال لكل وحدة حجم من فضاء الطور، أو الاحتمال لكل وحدة طول مكعبة لكل وحدة زخم مكعبة، عند لحظة زمنية t . هذه دالة كثافة احتمالية : f ( r , p , t ) ، معرفة بحيث، $${\displaystyle dN=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$$ هو عدد الجزيئات التي تقع جميع مواقعها داخل عنصر حجمي${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }$حول r والزخم الواقع داخل عنصر فضاء الزخم${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$حول p ، عند الزمن t . ^{[ 5 ]} التكامل على منطقة من فضاء الموضع وفضاء الزخم يعطي العدد الإجمالي للجسيمات التي لها مواضع وزخم في تلك المنطقة:

$${\displaystyle {\begin{align}N&=\int \limits _{\mathrm {momenta}}d^{3}\mathbf {p} \int \limits _{\mathrm {positions} }d^{3}\mathbf {r} \,f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\\[5pt]&=\iiint \limits _ {\mathrm {momenta}}\quad \iiint \limits _{\mathrm {positions} }f(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)\,dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}\end{محاذاة}}}$$

وهو تكامل سداسي . بينما ترتبط الدالة f بعدد من الجسيمات، فإن فضاء الطور خاص بجسيم واحد (وليس جميعها، كما هو الحال عادةً في _{الأنظمة} الحتمية متعددة الأجسام)، حيث أن قيمة r و p واحدة فقط هي محل الدراسة . ولا يشمل التحليل استخدام r₁ _, p₁ للجسيم 1، _و r₂ , p₂ _للجسيم 2 ، وهكذا حتى rₙ _, pₙ للجسيم _N.

يُفترض أن الجسيمات في النظام متطابقة (أي أن لكل منها كتلة متطابقة m ). بالنسبة لمزيج من أكثر من نوع كيميائي واحد ، يلزم توزيع واحد لكل نوع، كما هو موضح أدناه.

ويمكن كتابة المعادلة العامة على النحو التالي ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{force}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{diff}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},}$$

حيث يُمثل مصطلح "القوة" القوى المؤثرة على الجسيمات بفعل مؤثرات خارجية (وليس بفعل الجسيمات نفسها)، بينما يُمثل مصطلح "الفرق" انتشار الجسيمات ، و"التصادم" مصطلح التصادم الذي يُفسر القوى المؤثرة بين الجسيمات أثناء التصادم. ترد أدناه تعابير كل مصطلح في الجانب الأيمن. ^{[ 6 ]}

لاحظ أن بعض المؤلفين يستخدمون سرعة الجسيم v بدلاً من الزخم p ؛ فهما مرتبطان في تعريف الزخم بالعلاقة p = m v .

بقسمة ( 3 ) على dt والتعويض في ( 2 ) نحصل على:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }}$$

في هذا السياق، يُمثل F ( r , t ) مجال القوة المؤثر على الجسيمات في المائع، و m كتلة الجسيمات. يُضاف الحد الموجود على الجانب الأيمن لوصف تأثير التصادمات بين الجسيمات؛ فإذا كان يساوي صفرًا ، فإن الجسيمات لا تتصادم. تُعرف معادلة بولتزمان عديمة التصادم، حيث تُستبدل التصادمات الفردية بتفاعلات مُجمّعة طويلة المدى، مثل تفاعلات كولوم ، باسم معادلة فلاسوف .

هذه المعادلة أكثر فائدة من المعادلة الرئيسية المذكورة أعلاه، إلا أنها لا تزال غير مكتملة، إذ لا يمكن حل f إلا بمعرفة حد التصادم فيها . ولا يمكن إيجاد هذا الحد بسهولة أو بشكل عام كباقي الحدود، فهو حد إحصائي يمثل تصادمات الجسيمات، ويتطلب معرفة الإحصاءات التي تخضع لها الجسيمات، مثل توزيعات ماكسويل-بولتزمان ، وفيرمي-ديراك، وبوز -أينشتاين .

تمثلت إحدى الأفكار الرئيسية التي طبقها بولتزمان في تحديد حد التصادم الناتج حصريًا عن تصادمات ثنائية بين جسيمات يُفترض أنها غير مترابطة قبل التصادم. وقد أشار بولتزمان إلى هذا الافتراض باسم "فرضية ستوسزاهلانسات " ويُعرف أيضًا باسم " فرضية الفوضى الجزيئية ". وبموجب هذا الافتراض، يمكن كتابة حد التصادم كتكامل في فضاء الزخم على حاصل ضرب دوال توزيع الجسيمات المفردة: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)=\iint gI(g,\Omega )[f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} '_{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} '_{B},t)-f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{B},t)]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p} _{B},}$$ حيث يمثل p _A و p _B زخم أي جسيمين (يُشار إليهما بـ A و B للتسهيل) قبل التصادم (لحد الفقد) أو بعد التصادم (لحد الكسب)، ويمثل p ′ _A و p ′ _B زخم بعد التصادم (لحد الفقد) أو قبل التصادم (لحد الكسب). $${\displaystyle g=\left|{\frac {\mathbf {p} _{B}}{m}}-{\frac {\mathbf {p} _{A}}{m}}\right|=\left|{\frac {\mathbf {p} '_{B}}{m}}-{\frac {\mathbf {p} '_{A}}{m}}\right|}$$ يمثل مقدار السرعة النسبية ، و I ( g , Ω) هو المقطع التفاضلي للتصادم، حيث تنحرف الزخمات النسبية للجسيمات المتصادمة بزاوية θ إلى عنصر الزاوية المجسمة dΩ ، نتيجةً للتصادم. لاحظ أن g دالة _لـ pA _و pB ، وأن p′A _و p′B دالتان _لـ pA _{و pB} و θ ( المضمنة في dΩ ) .

بما أن جزءًا كبيرًا من صعوبة حل معادلة بولتزمان ينبع من حد التصادم المعقد، فقد بُذلت محاولات لنمذجة هذا الحد وتبسيطه. أشهر نموذج معادلة هو نموذج بهاتناغار، غروس، وكروك. ^{​​[ 7 ]} يفترض تقريب بهاتناغار، غروس، وكروك أن تأثير التصادمات الجزيئية هو إعادة دالة التوزيع غير المتوازنة عند نقطة في الفضاء الفيزيائي إلى دالة توزيع ماكسويلية متوازنة، وأن معدل حدوث ذلك يتناسب مع تردد التصادمات الجزيئية. وبالتالي، تُعدّل معادلة بولتزمان إلى صيغة بهاتناغار، غروس، وكروك.

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\nu (f_{0}-f),}$$

أين${\displaystyle \nu }$هو تردد تصادم الجزيئات، و${\displaystyle f_{0}}$هي دالة التوزيع الماكسويلي المحلي بالنظر إلى درجة حرارة الغاز عند هذه النقطة في الفضاء. ويُطلق على هذا أيضًا اسم "تقريب زمن الاسترخاء".

يمكن استخدام معادلة بولتزمان لاستنتاج قوانين حفظ ديناميكيات الموائع للكتلة والشحنة والزخم والطاقة. ^{[ 8 ] : 163} بالنسبة لمائع يتكون من نوع واحد فقط من الجسيمات، تُعطى كثافة العدد n بالعلاقة التالية:$${\displaystyle n=\int f\,d^{3}\mathbf {p} .}$$

متوسط ​​قيمة أي دالة A هو $${\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{n}}\int Af\,d^{3}\mathbf {p} .}$$

بما أن معادلات الحفظ تتضمن موترات، فسيتم استخدام اصطلاح جمع أينشتاين حيث تشير المؤشرات المتكررة في الناتج إلى الجمع على تلك المؤشرات.${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto x_{i}}$و${\displaystyle \mathbf {p} \mapsto p_{i}=mv_{i}}$، أين${\displaystyle v_{i}}$يمثل متجه سرعة الجسيم. عرّف${\displaystyle A(p_{i})}$كدالة ما للزخم${\displaystyle p_{i}}$فقط، والتي تبقى قيمتها الإجمالية محفوظة في حالة التصادم. افترض أيضًا أن القوة${\displaystyle F_{i}}$هي دالة للموضع فقط، وأن f تساوي صفرًا لـ${\displaystyle p_{i}\to \pm \infty }$بضرب معادلة بولتزمان في A وإجراء التكامل على الزخم، نحصل على أربعة حدود، والتي يمكن التعبير عنها باستخدام التكامل بالتجزئة على النحو التالي:

$${\displaystyle \int A{\frac {\partial f}{\partial t}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial t}}(n\langle A\rangle ),}$$

$${\displaystyle \int {\frac {p_{j}A}{m}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {1}{m}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n\langle Ap_{j}\rangle ),}$$

$${\displaystyle \int AF_{j}{\frac {\partial f}{\partial p_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} =-nF_{j}\left\langle {\frac {\partial A}{\partial p_{j}}}\right\rangle ,}$$

$${\displaystyle \int A\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial t}}_{\text{coll}}(n\langle A\rangle )=0,}$$

حيث يكون الحد الأخير صفراً، لأن A محفوظ في حالة التصادم. تتوافق قيم A مع لحظات السرعة.${\displaystyle v_{i}}$(والزخم)${\displaystyle p_{i}}$(لأنها مرتبطة خطيًا).

في ميكانيكا هاميلتون ، غالبًا ما تُكتب معادلة بولتزمان بشكل عام على النحو التالي: $${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}[f]=\mathbf {C} [f],}$$ حيث L هو مؤثر ليوفيل (لاحظ أن مؤثر ليوفيل مُعرَّف عبر الهاميلتوني في المقالة المرتبطة وليس عبر القوى) الذي يصف تطور حجم فضاء الطور، و C هو مؤثر التصادم. الشكل غير النسبي لـ L هو $${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}$$

من الممكن صياغة معادلات بولتزمان الكمومية النسبية للأنظمة الكمومية النسبية التي لا يُحفظ فيها عدد الجسيمات في التصادمات. ولهذا تطبيقات عديدة في علم الكونيات الفيزيائي ، ^{[ 9 ]} بما في ذلك تكوين العناصر الخفيفة في التخليق النووي للانفجار العظيم ، وإنتاج المادة المظلمة ، وتكوين الباريونات . ليس من الواضح مسبقًا إمكانية وصف حالة النظام الكمومي بكثافة فضاء الطور الكلاسيكية f . مع ذلك، يوجد تعميم مُحدد جيدًا لـ f في فئة واسعة من التطبيقات ، وهو حل لمعادلة بولتزمان فعّالة يمكن اشتقاقها من المبادئ الأساسية لنظرية الحقل الكمومي . ^{[ 10 ]}

تُستخدم معادلة بولتزمان في ديناميكيات المجرات. يمكن تقريب المجرة، في ظل افتراضات معينة، على أنها سائل متصل؛ ويتم تمثيل توزيع كتلتها حينها بالدالة f ؛ وفي المجرات، تكون التصادمات الفيزيائية بين النجوم نادرة للغاية، ويمكن إهمال تأثير التصادمات الجاذبية لفترات زمنية أطول بكثير من عمر الكون .

تعميمها في النسبية العامة هو ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }[f]=p^{\alpha }{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial f}{\partial p^{\alpha }}}=C[f],}$$ حيث Γ ^α _βγ هو رمز كريستوفيل من النوع الثاني (بافتراض عدم وجود قوى خارجية، بحيث تتحرك الجسيمات على طول الخطوط الجيوديسية في غياب التصادمات)، مع ملاحظة دقيقة وهامة مفادها أن الكثافة دالة في فضاء الطور المختلط المتغاير-المتغاير ( xi , pi ⁾ بدلاً _من فضاء ^الطور المتغاير بالكامل ( xi , pi ^{) . [ 15 ] [ 16 ]}

في علم الكونيات الفيزيائي، استُخدم النهج المتغير تمامًا لدراسة إشعاع الخلفية الكونية الميكروي. ^{[ 17 ]} وبشكل أعم، غالبًا ما تحاول دراسة العمليات في الكون المبكر مراعاة تأثيرات ميكانيكا الكم والنسبية العامة . ^{[ 9 ]} في الوسط شديد الكثافة الذي تشكل من البلازما البدائية بعد الانفجار العظيم ، تُخلق الجسيمات وتُفنى باستمرار. في مثل هذه البيئة، يمكن أن يؤثر التماسك الكمي والامتداد المكاني للدالة الموجية على الديناميكيات، مما يجعل من المشكوك فيه ما إذا كان توزيع فضاء الطور الكلاسيكي f الذي يظهر في معادلة بولتزمان مناسبًا لوصف النظام. ومع ذلك، في كثير من الحالات، من الممكن اشتقاق معادلة بولتزمان فعالة لدالة توزيع معممة من المبادئ الأساسية لنظرية الحقل الكمي . ^{[ 10 ]} يشمل ذلك تكوين العناصر الخفيفة في التخليق النووي للانفجار العظيم ، وإنتاج المادة المظلمة ، وتكوين الباريونات .