المتتابعة الهندسية

الموسوعة الحرة
رسم توضيحي يُبيّن ثلاث متواليات هندسية أساسية للنمط 1( r n −1 ) حتى عمق 6 تكرارات. الكتلة الأولى هي كتلة الوحدة، والخط المتقطع يُمثّل المجموع اللانهائي للمتتالية، وهو عدد ستقترب منه المتتالية إلى الأبد ولكنها لن تصل إليه أبدًا: 2، 3/2، و4/3 على التوالي.

المتتابعة الهندسية ، أو ما يُعرف أيضًا بالمتتابعة الهندسية ، هي سلسلة رياضية من الأعداد غير الصفرية، حيث يُحسب كل حد بعد الحد الأول بضرب الحد السابق له في عدد ثابت يُسمى النسبة المشتركة . على سبيل المثال، المتتابعة 2، 6، 18، 54، ... هي متتابعة هندسية بنسبة مشتركة 3. وبالمثل، المتتابعة 10، 5، 2.5، 1.25، ... هي متتابعة هندسية بنسبة مشتركة 1/2.

من أمثلة المتتابعة الهندسية قوى العدد rⁿ التي لها عدد ثابت غير صفري r ، مثل 2k و3 k . والصيغة العامة للمتتابعة الهندسية هي

أ، أر، أر2، أر3، أر4، ...{\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots }

حيث r هي النسبة المشتركة و a هي القيمة الأولية.

يُطلق على مجموع حدود المتتابعة الهندسية اسم المتسلسلة الهندسية . ولأن كل عددين متتاليين في المتتابعة لهما نفس النسبة ، يُقال أيضًا إن حدود المتسلسلة الهندسية متناسبة تناسبًا مستمرًا ، خاصة في سياق الرياضيات اليونانية القديمة ، حيث وُصفت المتتابعات الهندسية بهذه الطريقة بدلًا من وصفها بقوى النسبة المشتركة. [ 1 ]

ملكيات

الحد النوني لمتتابعة هندسية ذات قيمة ابتدائية a = a₁ ونسبة مشتركة r يُعطى بالعلاقة التالية :أن=أرن-1،{\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1},} وبشكل عام أن=أمرن-م.{\displaystyle a_{n}=a_{m}\,r^{nm}.} تُحقق المتتابعات الهندسية علاقة التكرار الخطيأن=رأن-1{\displaystyle a_{n}=r\,a_{n-1}}لكل عدد صحيحن>1.{\displaystyle n>1.} هذا تكرار خطي متجانس من الدرجة الأولى بمعاملات ثابتة .

تُحقق المتتاليات الهندسية أيضًا علاقة التكرار غير الخطية أن=أن-12/أن-2{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}^{2}/a_{n-2}} لكل عدد صحيحن>2{\displaystyle n>2}هذا تكرار غير خطي من الدرجة الثانية بمعاملات ثابتة.

عندما تكون النسبة المشتركة لمتتابعة هندسية موجبة، فإن جميع حدود المتتابعة تشترك في إشارة الحد الأول. أما عندما تكون النسبة المشتركة سالبة، فإن حدود المتتابعة تتناوب بين الموجب والسالب؛ وتُسمى هذه المتتابعة متتابعة متناوبة. على سبيل المثال، المتتابعة 1، -3، 9، -27، 81، -243، ... هي متتابعة هندسية متناوبة، قيمتها الابتدائية 1 ونسبتها المشتركة -3. عندما يكون الحد الابتدائي والنسبة المشتركة أعدادًا مركبة، فإن القيم المركبة للحدود تتبع متتابعة حسابية .

إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أقل من 1، فإنّ الحدود ستتناقص في قيمتها المطلقة وتقترب من الصفر عبر اضمحلال أُسّي . أما إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أكبر من 1، فإنّ الحدود ستزداد في قيمتها المطلقة وتقترب من اللانهاية عبر نمو أُسّي . وإذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة تساوي 1، فإنّ الحدود ستبقى ثابتة في قيمتها إلى أجل غير مسمى، مع إمكانية تغيّر إشاراتها أو وسائطها المركبة.

تُظهر المتتابعات الهندسية نموًا أو تناقصًا أُسّيًا، على عكس المتتابعات الحسابية التي تُظهر نموًا أو تناقصًا خطيًا . وقد اتخذ تي. آر. مالتوس هذه المقارنة أساسًا رياضيًا لكتابه "مقال في مبدأ السكان" . ويرتبط نوعا المتتابعات من خلال الدالة الأسية واللوغاريتم : فرفع كل حد من حدود المتتابعة الحسابية إلى أُسّ ينتج عنه متتابعة هندسية، بينما ينتج عن أخذ لوغاريتم كل حد من حدود المتتابعة الهندسية متتابعة حسابية. وقد دفعت العلاقة التي يوفرها اللوغاريتم بين المتتابعة الهندسية في مُدخلاتها والمتتابعة الحسابية في قيمها، أ. أ. دي ساراسا إلى الربط بين تربيع سان فنسان وتقاليد اللوغاريتمات في التربيعات ، مما أدى إلى ظهور مصطلح "اللوغاريتم الزائدي"، وهو مرادف للوغاريتم الطبيعي.

سلسلة هندسية

رسم توضيحي لسلسلة هندسية لانهائية14+116+164+1256+⋯{\textstyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{256}}+\cdots }إنها متقاربة.

المتسلسلة الهندسية هي متسلسلة مشتقة من عدد حدودهاأ+أر+أر2،⋯+أرن{\displaystyle a+ar+ar^{2},\dots +ar^{n}}[ ٢ ] يمكن أن تكون المتسلسلة الهندسية منتهية أو غير منتهية. المتسلسلة الهندسية غير المنتهية تجمع عددًا لا نهائيًا من حدود المتتابعة الهندسية. قد ينتج عن الحساب نتيجة ( تقارب ) أو عدمها ( تباعد ). تكون المتسلسلة الهندسية غير المنتهية متقاربة إذا كانت القيمة المطلقة لنسبة مشتركة أقل من واحد.|ر|<1{\displaystyle |r|<1}مما يدل على أن الحدود تقترب من الصفر وأن المجاميع الجزئية تصبح أصغر في قيمتها المطلقة. وبالمثل، تكون المتسلسلة الهندسية اللانهائية متباعدة إذا كانت القيمة المطلقة لنسبة مشتركة أكبر من واحد.|ر|>1{\displaystyle |r|>1}[ 3 ] متسلسلة هندسية لانهائية عندما|ر|=1{\displaystyle |r|=1}يوضح أن حدودها لا تصبح أكبر أو أصغر في الحجم، وأن سلسلة المجاميع الجزئية للمتسلسلة لا تتقارب.

منتج

حاصل الضرب اللانهائي لمتتالية هندسية هو حاصل ضرب جميع حدودها. حاصل الضرب الجزئي لمتتالية هندسية حتى الحد ذي الأس .ن{\displaystyle n}يكون

∏ك=0نأر(ك)=أن+1رن(ن+1)/2.{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{(k)}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}.}

متىأ{\displaystyle a}ور{\displaystyle r}إذا كانت أعدادًا حقيقية موجبة، فإن هذا يكافئ أخذ المتوسط ​​الهندسي للحدين الأول والأخير من المتتابعة الجزئية، ثم رفع هذا المتوسط ​​إلى القوة التي تحدد عدد الحدود.ن+1.{\displaystyle n+1.}

∏ك=0نأرك=أن+1رن(ن+1)/2=(أ2رن)ن+1 ل أ≥0،ر≥0.{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{k}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ for }}a\geq 0,r\geq 0.}

يتوافق هذا مع خاصية مماثلة لمجموع حدود متتالية حسابية منتهية : مجموع المتتالية الحسابية يساوي عدد حدودها مضروبًا في المتوسط ​​الحسابي لأول وآخر حد فيها. ويتبع هذا التوافق النمط المعتاد، حيث أن أي متتالية حسابية هي متتالية من لوغاريتمات حدود متتالية هندسية، وأي متتالية هندسية هي متتالية من أسس حدود متتالية حسابية. ومجموع اللوغاريتمات يُقابل حاصل ضرب القيم المرفوعة إلى أسس.

دليل

يتركPن{\displaystyle P_{n}}يمثل المنتج حتى الطاقةن{\displaystyle n}مكتوبة بالكامل،

Pن=أ⋅أر⋅أر2⋯أرن-1⋅أرن{\displaystyle P_{n}=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}.

بإجراء عمليات الضرب وتجميع الحدود المتشابهة،

Pن=أن+1ر1+2+3+⋯+(ن-1)+ن{\displaystyle P_{n}=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}}.

إن أسّ r هو مجموع متتابعة حسابية. وبالتعويض بصيغة هذا المجموع،

Pن=أن+1رن(ن+1)2{\displaystyle P_{n}=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}}،

وهذا يختتم البرهان.

يمكن إعادة ترتيب هذا التعبير إلى

Pن=(أرن2)ن+1.{\displaystyle P_{n}=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}.}

إعادة كتابة a كـأ2{\displaystyle \textstyle {\sqrt {a^{2}}}}و r كـر2{\displaystyle \textstyle {\sqrt {r^{2}}}}مع أن هذا غير صالح لـأ<0{\displaystyle a<0}أور<0،{\displaystyle r<0,}

Pن=(أ2رن)ن+1 ل أ≥0،ر≥0{\displaystyle P_{n}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ for }}a\geq 0,r\geq 0}

وهي الصيغة بدلالة المتوسط ​​الهندسي.

تاريخ

لوح طيني من العصر الأسري المبكر في بلاد ما بين النهرين (حوالي 2900 - حوالي 2350 قبل الميلاد)، يُعرف باسم MS 3047، يحتوي على متتالية هندسية أساسها 3 ومضاعفها 1/2. يُعتقد أنها سومرية ، نسبةً إلى مدينة شوروباك . وهي السجل الوحيد المعروف لمتتالية هندسية من قبل عصر الرياضيات البابلية القديمة الذي بدأ عام 2000 قبل الميلاد. [ 4 ]

يحلل الكتابان الثامن والتاسع من كتاب الأصول لإقليدس المتواليات الهندسية (مثل قوى العدد اثنين ، انظر المقال لمزيد من التفاصيل) ويقدمان العديد من خصائصها. [ 5 ] [ 1 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 أرتمان، بينو (2012) [1999]. "كتاب إقليدس الثامن: الأعداد في التناسب المستمر، هندسة الأعداد". إقليدس: نشأة الرياضيات . نيويورك: سبرينغر. doi : 10.1007/978-1-4612-1412-0_19 . ISBN 978-1-4612-1412-0.
  2. ↑ يونغ، سينثيا ي. (2010). حساب التفاضل والتكامل التمهيدي . جون وايلي وأولاده . ص 966. ISBN  978-0-470-55665-8.
  3. ^ فاربيرج، ديل إي. بورسيل، إدوين J.؛ ريجدون ، ستيفن إي. (2007). حساب التفاضل والتكامل ( الطبعة التاسعة). بيرسون برنتيس هول . ص. 456. ردمك   978-0131469686.
  4. ↑ فريبيرغ، يوران (2007). "المخطوطة 3047: نص جدول رياضي سومري قديم". في: فريبيرغ، يوران (محرر). مجموعة رائعة من النصوص الرياضية البابلية . مصادر ودراسات في تاريخ الرياضيات والعلوم الفيزيائية. نيويورك: سبرينغر. ص 150-153 . doi : 10.1007/978-0-387-48977-3 . ISBN  978-0-387-34543-7MR 2333050​​ 
  5. ↑ هيث، توماس ل. (1956). الكتب الثلاثة عشر من أصول إقليدس (الطبعة الثانية [نسخة طبق الأصل. النشر الأصلي: مطبعة جامعة كامبريدج، 1925] ). نيويورك: منشورات دوفر. 
  • هول ونايت، الجبر المتقدم ، ص  39، رقم ISBN 81-8116-000-2