المتتابعة الحسابية

المتتابعة الحسابية ، أو المتتابعة الخطية ^، هي سلسلة من الأعداد يكون فيها الفرق بين أي حد لاحق والحد السابق له ثابتًا طوال السلسلة. يُسمى هذا الفرق الثابت بالفرق المشترك لتلك المتتابعة الحسابية. على سبيل المثال، المتتابعة ^{5 ، 7، 9، 11، 13 ،} 15، ... هي متتابعة حسابية فرقها المشترك هو 2.

إذا كان الحد الأول من متتابعة حسابية هو${\displaystyle a_{1}}$والفرق المشترك بين الأعضاء المتعاقبين هو${\displaystyle d}$ثم الـ${\displaystyle n}$الحد النوني للمتتالية (${\displaystyle a_{n}}$) معطى بواسطة

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$

يُطلق على الجزء المحدود من المتتابعة الحسابية اسم المتتابعة الحسابية المحدودة ، ويُشار إليها أحيانًا بالمتتابعة الحسابية فقط. ويُطلق على مجموع المتتابعة الحسابية المحدودة اسم المتسلسلة الحسابية .

بحسب حكاية غير مؤكدة المصداقية، ^{[ 2 ]} أعاد كارل فريدريش جاوس ابتكار الصيغة في المدرسة الابتدائية${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$لجمع الأعداد الصحيحة من 1 إلى${\displaystyle n}$، بالنسبة لهذه الحالة${\displaystyle n=100}$عن طريق تجميع الأرقام من طرفي المتتالية في أزواج مجموعها 101 وضربها في عدد الأزواج. وبغض النظر عن صحة هذه الرواية، لم يكن غاوس أول من اكتشف هذه الصيغة. فقد عُرفت قواعد مماثلة في العصور القديمة لدى أرخميدس وهيبسيكليس وديوفانتوس ؛ ^{[ 3 ]} وفي الصين لدى تشانغ تشيوجيان ؛ وفي الهند لدى أريابهاتا وبراهماغوبتا وبهاسكارا الثاني ؛ ^{[ 4 ]} وفي أوروبا في العصور الوسطى لدى ألكوين ، [ ^{5 ]} وديكويل ، [ ^{6 ]} وفيبوناتشي ، [ ^{7 ] وساكروبوسكو} ، ^{[ 8 ] ومفسرين} مجهولين للتلمود يُعرفون باسم التوسافيين . ^{[ 9 ]} ويرى البعض أن أصلها يعود إلى الفيثاغوريين في القرن الخامس قبل الميلاد ^{. [ 10 ]}

يُطلق على مجموع عناصر متتابعة حسابية منتهية اسم متسلسلة حسابية . على سبيل المثال، لننظر إلى المجموع التالي:

${\displaystyle 2+5+8+11+14=40}$

يمكن إيجاد هذا المجموع بسرعة عن طريق أخذ عدد الحدود المضافة ( n) (هنا 5)، وضربه في مجموع الرقم الأول والأخير في المتتابعة (هنا 2 + 14 = 16)، ثم قسمة الناتج على 2:

${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

في الحالة المذكورة أعلاه، ينتج عن ذلك المعادلة التالية:

${\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}$

هذه الصيغة صالحة لأي متتالية حسابية من الأعداد الحقيقية تبدأ بـ${\displaystyle a_{1}}$وينتهي بـ${\displaystyle a_{n}}$. على سبيل المثال،

${\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}$

الاشتقاق

لاستنتاج الصيغة المذكورة أعلاه، ابدأ بالتعبير عن المتسلسلة الحسابية بطريقتين مختلفتين:

${\displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}}$

${\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).}$

إعادة كتابة المصطلحات بترتيب عكسي:

${\displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.}$

بجمع الحدود المتناظرة لكلا طرفي المعادلتين وتقسيم كلا الطرفين على اثنين:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].}$

يمكن تبسيط هذه الصيغة على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{initial term}}+{\text{last term}}).\end{aligned}}}$

علاوة على ذلك، يمكن حساب متوسط ​​قيمة السلسلة عبر ما يلي:${\displaystyle S_{n}/n}$:

${\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

الصيغة هي نفسها أساسًا صيغة متوسط ​​التوزيع المنتظم المنفصل ، حيث تفسر المتتابعة الحسابية على أنها مجموعة من النتائج المحتملة بالتساوي.

يُحدد حاصل ضرب عناصر متتالية حسابية منتهية ذات عنصر ابتدائي a = ₁ ، وفروق مشتركة d ، وعدد إجمالي n من العناصر، في صيغة مغلقة.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)\cdots (a_{1}+(n-1)d)\\[1ex]&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}}{\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \Gamma }$يرمز إلى دالة جاما . الصيغة غير صالحة عندما${\displaystyle a_{1}/d}$سالب أو صفر.

هذا تعميم للحقائق التي مفادها أن نتاج التقدم${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$يُعطى بواسطة المضروب${\displaystyle n!}$وأن المنتج

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}$

للأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

الانحراف المعياري لأي متتابعة حسابية هو

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

أين${\displaystyle n}$يمثل عدد الحدود في المتتابعة و${\displaystyle d}$يمثل الفرق المشترك بين الحدود. الصيغة هي نفسها أساسًا صيغة الانحراف المعياري للتوزيع المنتظم المنفصل ، حيث تُفسر المتتابعة الحسابية على أنها مجموعة من النتائج المتساوية الاحتمال.

تقاطع أي متتابعتين حسابيتين لانهائيتين مضاعفتين إما أن يكون فارغًا أو متتابعة حسابية أخرى، ويمكن إيجاد ذلك باستخدام نظرية الباقي الصينية . إذا كان لكل زوج من المتتابعات في عائلة من المتتابعات الحسابية اللانهائية المضاعفة تقاطع غير فارغ، فإنه يوجد عدد مشترك بينها جميعًا؛ أي أن المتتابعات الحسابية اللانهائية تُشكل عائلة هيلي . ^{[ 11 ]} مع ذلك، قد يكون تقاطع عدد لا نهائي من المتتابعات الحسابية اللانهائية عددًا واحدًا بدلًا من أن يكون متتابعة لانهائية بحد ذاته.

يترك${\displaystyle a(n,k)}$يرمز إلى عدد المجموعات الحسابية الجزئية ذات الطول${\displaystyle k}$يمكن للمرء أن يصنع من المجموعة${\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}$ودع${\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )}$يمكن تعريفها على النحو التالي:

${\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )={\begin{cases}0&{\text{if }}\kappa \mid \eta \\\left(\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]-2\right)\left(\kappa -\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]\right)&{\text{if }}\kappa \not \mid \eta \\\end{cases}}}$

ثم:

${\displaystyle {\begin{aligned}a(n,k)&={\frac {1}{2(k-1)}}\left(n^{2}-(k-1)n+(k-2)+\phi (n+1,k-1)\right)\\&={\frac {1}{2(k-1)}}\left((n-1)(n-(k-2))+\phi (n+1,k-1)\right)\end{aligned}}}$

على سبيل المثال، إذا${\textstyle (n,k)=(7,3)}$يتوقع المرء${\textstyle a(7,3)=9}$المجموعات الجزئية الحسابية، وبالعد المباشر، نرى أن هناك 9 منها؛ هذه هي${\textstyle \{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\},\{4,5,6\},\{5,6,7\},\{1,3,5\},\{3,5,7\},\{2,4,6\},\{1,4,7\}.}$

• المتتابعة الحسابية للمربعات
• المتتابعة الهندسية
• التتابع التوافقي
• العدد المثلثي
• المتتابعة الحسابية الهندسية
• عدم تساوي المتوسطات الحسابية والهندسية
• الأعداد الأولية في المتتابعة الحسابية
• معادلة الفرق الخطي
• المتتابعة الحسابية المعممة ، هي مجموعة من الأعداد الصحيحة تُنشأ كما تُنشأ المتتابعة الحسابية، ولكنها تسمح بعدة اختلافات محتملة.
• المثلثات الهيرونية ذات الأضلاع المتتابعة حسابياً
• مسائل تتضمن متتابعات حسابية
• الاستقلالية
• كثيرات الحدود التي تحسب مجموع قوى المتتابعات الحسابية

• "المتسلسلات الحسابية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "المتتابعة الحسابية" . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "المتسلسلات الحسابية" . عالم الرياضيات .