نموذج التوافقيات الكروية للجيوبوتنشال

في الجيوفيزياء والجيوديسيا الفيزيائية ، يُعدّ نموذج الجهد الجيوديسي تحليلًا نظريًا لقياس وحساب تأثيرات مجال جاذبية الأرض (الجهد الجيوديسي ). لا تُعتبر الأرض كروية تمامًا، ويعود ذلك أساسًا إلى دورانها حول محورها القطبي الذي يجعل شكلها مُفلطحًا بعض الشيء. مع ذلك، فإنّ متسلسلة التوافقيات الكروية تُجسّد المجال الفعلي بدقة متزايدة.

لو كان شكل الأرض معروفًا تمامًا، إلى جانب كثافة كتلتها الدقيقة ρ = ρ( x , y , z )، لأمكن حسابها عدديًا (باستخدام دالة المسافة العكسية ) لإيجاد نموذج دقيق لحقل جاذبية الأرض. إلا أن الواقع عكس ذلك تمامًا: فمن خلال رصد مدارات المركبات الفضائية والقمر، يُمكن تحديد حقل جاذبية الأرض بدقة عالية. ويُمكن الحصول على أفضل تقدير لكتلة الأرض بقسمة حاصل ضرب الكتلة GM ، المُحددة من تحليل مدار المركبة الفضائية، على قيمة ثابت الجاذبية G ، المُحددة بدقة نسبية أقل باستخدام طرق فيزيائية أخرى.

من المعادلات التعريفية ( 1 ) و( 2 ) يتضح (بأخذ المشتقات الجزئية للدالة التكاملية) أنه خارج الجسم في الفضاء الفارغ، تكون المعادلات التفاضلية التالية صالحة للمجال الناتج عن الجسم:

${\displaystyle {\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}=0}$

5

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0}$

6

دوال من الشكل${\displaystyle \phi =R(r)\,\Theta (\theta )\,\Phi (\varphi )}$حيث ( r , θ, φ) هي الإحداثيات الكروية التي تحقق المعادلة التفاضلية الجزئية ( 6 ) ( معادلة لابلاس ) تسمى الدوال التوافقية الكروية .

وتتخذ الأشكال التالية:

$\begin{aligned}g(x,y,z)&=\frac{1}{r^{n+1}}}P_{n}^{m}(\sin \theta )\cos m\varphi \,,&0&\leq m\leq n\,,&n&=0,1,2,\dots \\h(x,y,z)&=\frac{1}{r^{n+1}}}P_{n}^{m}(\sin \theta )\sin m\varphi \,,&1&\leq m\leq n\,,&n&=1,2,\dots \end{aligned}}}$

7

حيث يتم استخدام الإحداثيات الكروية ( r ، θ، φ)، معطاة هنا بدلالة الإحداثيات الديكارتية ( x، y، z ) كمرجع:

${\displaystyle {\begin{align}x&=r\cos \theta \cos \varphi \\y&=r\cos \theta \sin \varphi \\z&=r\sin \theta \,,\end{محاذاة}}}$

8

كما أن P ⁰ _n هي كثيرات حدود ليجندر و P ^m _n لـ 1 ≤ m ≤ n هي دوال ليجندر المرتبطة بها .

تُعرض التوافقيات الكروية الأولى مع n = 0، 1، 2، 3 في الجدول أدناه. [لاحظ أن اصطلاح الإشارة يختلف عن ذلك الوارد في الصفحة المتعلقة بمتعددات حدود ليجندر المرتبطة بها، هنا].${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=3x{\sqrt {1-x^{2}}}}$بينما هناك${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=-3x{\sqrt {1-x^{2}}}}$.]

ن	التوافقيات الكروية
0	${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$
1	${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}P_{1}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{2}}}\sin \theta }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}P_{1}^{1}(\sin \theta )\cos \varphi ={\frac {1}{r^{2}}}\cos \theta \cos \varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}P_{1}^{1}(\sin \theta )\sin \varphi ={\frac {1}{r^{2}}}\cos \theta \sin \varphi }$
2	${\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{3}}}{\frac {1}{2}}(3\sin ^{2}\theta -1)}$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{1}(\sin \theta )\cos \varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\sin \theta \cos \theta \ \cos \varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{1}(\sin \theta )\sin \varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\sin \theta \cos \theta \sin \varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{2}(\sin \theta )\cos 2\varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\cos ^{2}\theta \ \cos 2\varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}P_{2}^{2}(\sin \theta )\sin 2\varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\cos ^{2}\theta \sin 2\varphi }$
3	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{4}}}{\frac {1}{2}}\sin \theta \ (5\sin ^{2}\theta -3)}$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{1}(\sin \theta )\cos \varphi ={\frac {1}{r^{4}}}{\frac {3}{2}}\ (5\ \sin ^{2}\theta -1)\cos \theta \cos \varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{1}(\sin \theta )\sin \varphi ={\frac {1}{r^{4}}}{\frac {3}{2}}\ (5\ \sin ^{2}\theta -1)\cos \theta \sin \varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{2}(\sin \theta )\cos 2\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\sin \theta \cos ^{2}\theta \cos 2\varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{2}(\sin \theta )\sin 2\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\sin \theta \cos ^{2}\theta \sin 2\varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{3}(\sin \theta )\cos 3\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\cos ^{3}\theta \cos 3\varphi }$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}}P_{3}^{3}(\sin \theta )\sin 3\varphi ={\frac {1}{r^{4}}}15\cos ^{3}\theta \sin 3\varphi }$

نموذج الجهد الجاذبي للأرض هو مجموع

${\displaystyle u=-{\frac {\mu }{r}}+\sum _{n=2}^{N_{z}}{\frac {J_{n}P_{n}^{0}(\sin \theta )}{r^{n+1}}}+\sum _{n=2}^{N_{t}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\left(C_{n}^{m}\cos m\varphi +S_{n}^{m}\sin m\varphi \right)}{r^{n+1}}}}$

9

أين${\displaystyle \mu =GM}$والإحداثيات ( 8 ) نسبية إلى نظام الإسناد الجيوديسي القياسي الممتد إلى الفضاء مع أصل في مركز القطع الناقص المرجعي ومع المحور z في اتجاه المحور القطبي.

تشير المصطلحات المناطقية إلى مصطلحات من الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{0}(\sin \theta )}{r^{n+1}}}\quad n=0,1,2,\dots }$

وتشير المصطلحات المتسلسلة إلى المصطلحات التي تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\cos m\varphi }{r^{n+1}}}\,,\quad 1\leq m\leq n\quad n=1,2,\dots }$

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\sin m\varphi }{r^{n+1}}}}$

تم حذف الحدود القطاعية والسطحية لـ n  = 1 في المعادلة ( 9 ). تتوافق معاملات n = 1 مع كل من الحد m = 0 والحد m = 1 مع حد ثنائي القطب ذي اتجاه عشوائي في توسيع متعدد الأقطاب. لا تُظهر الجاذبية أي خاصية ثنائية القطب فيزيائيًا، وبالتالي يجب أن يكون التكامل الذي يميز n = 1 مساويًا للصفر.   

ثم يتم إعطاء المعاملات المختلفة J _n ، C _n ^m ، S _n ^m ، القيم التي يتم من خلالها الحصول على أفضل توافق ممكن بين مدارات المركبة الفضائية المحسوبة والمرصودة.

بما أن ^P₀ₙ ( x ) = −P₀ₙ ( _−x ) ، ^فإن _{المعاملات} غير الصفرية Jₙ للأعداد الفردية _n تُشير إلى غياب التناظر "شمال -جنوب" بالنسبة للمستوى الاستوائي لتوزيع كتلة الأرض. أما المعاملات غير الصفرية Cₙₘ و ^Sₙₘ فتُشير _إلى غياب _{التناظر} الدوراني حول المحور القطبي لتوزيع كتلة الأرض، أي إلى "ثلاثية المحاور" للأرض ^.

بالنسبة للقيم الكبيرة لـ n ، تأخذ المعاملات المذكورة أعلاه (المقسومة على r ^{( n +1)} في المعادلة ( 9 )) قيمًا كبيرة جدًا عند استخدام الكيلومترات والثواني كوحدات قياس، على سبيل المثال. في المراجع العلمية، من الشائع إدخال "نصف قطر مرجعي" R قريب من نصف قطر الأرض، والتعامل مع المعاملات عديمة الأبعاد.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {J_{n}}}&=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {C_{n}^{m}}}&=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {S_{n}^{m}}}&=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}\end{aligned}}}$

وكتابة الإمكانية على النحو التالي:

${\displaystyle u=-{\frac {\mu }{r}}\left(1+\sum _{n=2}^{N_{z}}{\frac {{\tilde {J_{n}}}P_{n}^{0}(\sin \theta )}{{({\frac {r}{R}})}^{n}}}+\sum _{n=2}^{N_{t}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )({\tilde {C_{n}^{m}}}\cos m\varphi +{\tilde {S_{n}^{m}}}\sin m\varphi )}{{({\frac {r}{R}})}^{n}}}\right)}$

10

الاشتقاق

اشتقاق مختصر للتوافقيات الكروية المستخدمة لنمذجة مجال جاذبية الأرض.

تُشتق التوافقيات الكروية من خلال البحث عن الدوال التوافقية من الشكل التالي: ${\displaystyle \phi =R(r)\ \Theta (\theta )\ \Phi (\varphi )}$ 16 حيث ( r , θ, φ) هي الإحداثيات الكروية المحددة بالمعادلات ( 8 ). وبإجراء حسابات بسيطة، نحصل على أنه لأي دالة f ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\ =\ {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\cos \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\cos \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\cos ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}$ 17 بإدخال التعبير ( 16 ) في ( 17 ) نحصل على ذلك ${\displaystyle {\frac {r^{2}}{\phi }}\left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}\right)\ ={\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {1}{\Theta \cos \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+{\frac {1}{\Phi \cos ^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}}$ 18 كما هو المصطلح ${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)}$ يعتمد فقط على المتغير${\displaystyle r}$والمجموع ${\displaystyle {\frac {1}{\Theta \cos \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+{\frac {1}{\Phi \cos ^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}}$ يعتمد ذلك فقط على المتغيرين θ و φ. ويُستنتج أن φ توافقي إذا وفقط إذا ${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda }$ 19 و ${\displaystyle {\frac {1}{\Theta \cos \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+{\frac {1}{\Phi \cos ^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-\lambda }$ 20 لبعض الثوابت${\displaystyle \lambda }$. ومن ( 20 ) يتبين أن ${\displaystyle {\frac {1}{\Theta }}\ \cos \theta \ {\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)\ +\lambda \ \cos ^{2}\theta \ +\ {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}\ =\ 0}$ يعتمد الحدان الأولان فقط على المتغير${\displaystyle \theta }$والثالث فقط على المتغير${\displaystyle \varphi }$. من تعريف φ كإحداثي كروي، يتضح أن Φ(φ) يجب أن تكون دورية بفترة 2π، وبالتالي يجب أن يكون لدينا ذلك ${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}$ 21 و ${\displaystyle {\frac {1}{\Theta }}\ \cos \theta \ {\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)\ +\lambda \ \cos ^{2}\theta =m^{2}}$ 22 بالنسبة لعدد صحيح m ما، فإن عائلة حلول المعادلة ( 21 ) هي ${\displaystyle \Phi (\varphi )\ =a\ \cos m\varphi \ +\ b\ \sin m\varphi }$ 23 مع استبدال المتغيرات ${\displaystyle x=\sin \theta }$ تأخذ المعادلة ( 22 ) الشكل التالي ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {d\Theta }{dx}}\right)+\left(\lambda -{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\Theta =0}$ 24 يستنتج من ( 19 ) أنه من أجل الحصول على حل${\displaystyle \phi }$مع ${\displaystyle R(r)={\frac {1}{r^{n+1}}}}$ يجب أن يمتلك المرء ذلك ${\displaystyle \lambda =n(n+1)}$ إذا كان P n ( x ) حلاً للمعادلة التفاضلية ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right)\ {\frac {dP_{n}}{dx}}\right)\ +\ n(n+1)\ P_{n}=0}$ 25 وبالتالي، فإن الجهد المقابل لـ m = 0 ${\displaystyle \phi ={\frac {1}{r^{n+1}}}\ P_{n}(\sin \theta )}$ الدالة المتناظرة دورانيًا حول المحور z هي دالة توافقية لو${\displaystyle P_{n}^{m}(x)}$يمثل حلاً للمعادلة التفاضلية ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right)\ {\frac {dP_{n}^{m}}{dx}}\right)\ +\ \left(n(n+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\ P_{n}^{m}\ =\ 0}$ 26 عندما تكون قيمة m أكبر من أو تساوي 1، يكون لدى المرء القدرة ${\displaystyle \phi ={\frac {1}{r^{n+1}}}\ P_{n}^{m}(\sin \theta )\ (a\ \cos m\varphi \ +\ b\ \sin m\varphi )}$ 27 حيث a و b ثابتان اختياريان، فإن الدالة التوافقية تعتمد على φ، وبالتالي فهي ليست متناظرة دورانيًا حول المحور z. المعادلة التفاضلية ( 25 ) هي معادلة ليجندر التفاضلية التي تُعرَّف لها كثيرات حدود ليجندر ${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(x)&=1\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}n!}}\ {\frac {d^{n}\left(x^{2}-1\right)^{n}}{dx^{n}}}\quad n\geq 1\\\end{aligned}}}$ 28 هذه هي الحلول. يتم اختيار العامل التعسفي 1/(2 n n !) لجعل P n (−1) = −1 و P n (1) = 1 لـ n الفردي و P n (−1) = P n (1) = 1 لـ n الزوجي . أول ست كثيرات حدود ليجندر هي: ${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(x)&=1\\P_{1}(x)&=x\\P_{2}(x)&={\frac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)\\P_{3}(x)&={\frac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)\\P_{4}(x)&={\frac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)\\P_{5}(x)&={\frac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)\\\end{aligned}}}$ 29 حلول المعادلة التفاضلية ( 26 ) هي دوال ليجندر المرتبطة بها ${\displaystyle P_{n}^{m}(x)=\left(1-x^{2}\right)^{\frac {m}{2}}\ {\frac {d^{m}P_{n}}{dx^{m}}}\quad 1\leq m\leq n}$ 30 وبالتالي، فإن المرء يمتلك ذلك ${\displaystyle P_{n}^{m}(\sin \theta )=\cos ^{m}\theta \ {\frac {d^{n}P_{n}}{dx^{n}}}(\sin \theta )}$

الحد المهيمن (بعد الحد −μ/ r ) في ( 9 ) هو معامل J ₂ ، وهو عامل الشكل الديناميكي الثاني الذي يمثل تفلطح الأرض:

${\displaystyle u={\frac {J_{2}\ P_{2}^{0}(\sin \theta )}{r^{3}}}=J_{2}{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {1}{2}}(3\sin ^{2}\theta -1)=J_{2}{\frac {1}{r^{5}}}{\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})}$

بالنسبة لنظام الإحداثيات

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\varphi }}&=-\sin \varphi {\hat {x}}+\cos \varphi {\hat {y}}\\{\hat {\theta }}&=-\sin \theta \,(\cos \varphi {\hat {x}}+\sin \varphi {\hat {y}})+\cos \theta {\hat {z}}\\{\hat {r}}&=\cos \theta \,(\cos \varphi {\hat {x}}+\sin \varphi {\hat {y}})+\sin \theta {\hat {z}}\end{aligned}}}$

11

كما هو موضح في الشكل 1، فإن مكونات القوة الناتجة عن " الحد J ₂ " هي

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\theta }&=-{\frac {1}{r}}\ {\frac {\partial u}{\partial \theta }}=-J_{2}\ {\frac {1}{r^{4}}}3\ \cos \theta \ \sin \theta \\F_{r}&=-{\frac {\partial u}{\partial r}}=J_{2}\ {\frac {1}{r^{4}}}{\frac {3}{2}}\ \left(3\sin ^{2}\theta \ -\ 1\right)\end{aligned}}}$

12

في نظام الإحداثيات المستطيلة ( x, y, z ) مع متجهات الوحدة ( x̂ ŷ ẑ )، تكون مركبات القوة كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}=J_{2}\ {\frac {x}{r^{7}}}\left(6z^{2}-{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\F_{y}&=-{\frac {\partial u}{\partial y}}=J_{2}\ {\frac {y}{r^{7}}}\left(6z^{2}-{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\F_{z}&=-{\frac {\partial u}{\partial z}}=J_{2}\ {\frac {z}{r^{7}}}\left(3z^{2}-{\frac {9}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\end{aligned}}}$

13

مكونات القوة المقابلة للحد " J ₃ "

${\displaystyle u={\frac {J_{3}P_{3}^{0}(\sin \theta )}{r^{4}}}=J_{3}{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(5\sin ^{2}\theta -3\right)=J_{3}{\frac {1}{r^{7}}}{\frac {1}{2}}z\left(5z^{2}-3r^{2}\right)}$

نكون

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\theta }&=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}=-J_{3}{\frac {1}{r^{5}}}{\frac {3}{2}}\cos \theta \left(5\sin ^{2}\theta -1\right)\\F_{r}&=-{\frac {\partial u}{\partial r}}=J_{3}{\frac {1}{r^{5}}}2\sin \theta \left(5\sin ^{2}\theta -3\right)\end{aligned}}}$

14

و

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}=J_{3}{\frac {xz}{r^{9}}}\left(10z^{2}-{\frac {15}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\F_{y}&=-{\frac {\partial u}{\partial y}}=J_{3}{\frac {yz}{r^{9}}}\left(10z^{2}-{\frac {15}{2}}(x^{2}+y^{2})\right)\\F_{z}&=-{\frac {\partial u}{\partial z}}=J_{3}{\frac {1}{r^{9}}}\left(4z^{2}\ \left(z^{2}-3(x^{2}+y^{2})\right)+{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2})^{2}\right)\end{aligned}}}$

15

تختلف القيم العددية الدقيقة للمعاملات (إلى حد ما) بين نماذج الأرض المختلفة، ولكن بالنسبة لأقل المعاملات، فإنها تتفق جميعها تقريبًا بشكل كامل.

بالنسبة لطراز JGM-3 ( انظر أدناه )، فإن القيم هي:

μ = 398600.440 كم ³ ⋅ث ⁻²

ي ₂ = 1.75553 × 10 ¹⁰ كم ⁵ ⋅ث ⁻²

ي ₃ = −2.61913 × 10 ¹¹ كم ⁶ ⋅ث ⁻²

على سبيل المثال، عند نصف قطر 6600  كم (حوالي 200  كم فوق سطح الأرض) _{، تكون قيمة} J₃ _/ ( J₂r ) حوالي 0.002؛ أي أن تصحيح " قوة J₂ " الناتج عن " حد J₃ _" يبلغ حوالي جزأين من الألف. تشير القيمة السالبة لـ _J₃ إلى أنه بالنسبة لكتلة نقطية في مستوى خط استواء الأرض، تميل قوة الجاذبية قليلاً نحو الجنوب بسبب عدم تناظر توزيع الكتلة في اتجاه شمال-جنوب الأرض.

تُحسب مدارات المركبات الفضائية بالتكامل العددي لمعادلة الحركة . ولذلك، يجب حساب قوة الجاذبية، أي تدرج الجهد. وقد صُممت خوارزميات تكرارية فعالة لحساب قوة الجاذبية لأي مدار.${\displaystyle N_{z}}$و${\displaystyle N_{t}}$(الدرجة القصوى للمصطلحات المناطقية والجزئية) وتستخدم هذه الخوارزميات في برامج انتشار المدار القياسية.

كانت نماذج الأرض الأولى المستخدمة عمومًا من قبل وكالة ناسا ووكالة الفضاء الأوروبية ( ESA ) هي "نماذج غودارد للأرض" التي طورها مركز غودارد لرحلات الفضاء (GSFC)، والتي تحمل الرموز "GEM-1" و"GEM-2" و"GEM-3" وما إلى ذلك. لاحقًا، أصبحت "نماذج جاذبية الأرض المشتركة" التي تحمل الرموز "JGM-1" و"JGM-2" و"JGM-3"، والتي طورها مركز غودارد لرحلات الفضاء بالتعاون مع الجامعات والشركات الخاصة، متاحة. عمومًا، قدمت النماذج الأحدث معاملات ذات رتبة أعلى من النماذج السابقة. يستخدم نموذج EGM96 _{المعادلة Nz} = Nt = 360 _، مما ينتج عنه 130317 معاملًا. يتوفر أيضًا نموذج EGM2008.

بالنسبة لقمر صناعي أرضي عادي يتطلب دقة في تحديد/توقع مداره تصل إلى بضعة أمتار، فإن نموذج "JGM-3" المختصر إلى N _z = N _t = 36 (1365 معاملًا) يكون عادةً كافيًا. وستتجاوز الأخطاء الناتجة عن نمذجة مقاومة الهواء، وإلى حد أقل ضغط الإشعاع الشمسي، الأخطاء الناتجة عن نمذجة الجاذبية.

المعاملات عديمة الأبعاد${\displaystyle {\tilde {J_{n}}}=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}}}$،${\displaystyle {\tilde {C_{n}^{m}}}=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$،${\displaystyle {\tilde {S_{n}^{m}}}=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$بالنسبة للمصطلحات الأولى للمناطق والقطاعات (باستخدام${\displaystyle R}$=6378.1363 كم  و​​${\displaystyle \mu }$=398600.4415 كم³  / ^ث² من طراز JGM-3 ^هي

وفقًا لـ JGM-3، فإن J ₂ =0.108 263 5854 × 10 ⁻² × 6378.1363 ² ×398600.4415 كم ⁵ /  ثانية 2 ⁼​1.755 53 × 10 ¹⁰  كم ⁵ /ث ² و J ₃ =−0.253 243 5346 × 10 ⁻⁵ × 6378.1363 ³ ×398600.4415 كم ⁶ /  ثانية 2 ⁼​−2.619 13 × 10 ¹¹  km ⁶ /s ² .

• تمثيل التوافقيات الكروية للجيود

• http://cddis.nasa.gov/lw13/docs/papers/sci_lemoine_1m.pdf مؤرشف بتاريخ 19 يوليو 2011 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine)
• http://geodesy.geology.ohio-state.edu/course/refpapers/Tapley_JGR_JGM3_96.pdf مؤرشف بتاريخ 4 مارس 2016 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine)