التناظر الدوراني

التناظر الدوراني من الرتبة n  ، والذي يُسمى أيضًا التناظر الدوراني n- المضاعف ، أو التناظر الدوراني المنفصل من الرتبة n ، بالنسبة لنقطة معينة (في بعدين) أو محور (في ثلاثة أبعاد)، يعني أن الدوران بزاوية مقدارها${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{n}}}$لا تُغيّر الزوايا ( 180°، 120°، 90°، 72°، 60°، 51 3 / 7 °، إلخ) شكل الجسم. التناظر الأحادي هو انعدام للتناظر (تبدو جميع الأجسام متشابهة بعد دورانها 360°). 

يُرمز للتناظر من الرتبة n بالرمز C_{_n} أو ببساطة n . تُحدد مجموعة التناظر الفعلية بنقطة أو محور التناظر، بالإضافة إلى n . لكل نقطة أو محور تناظر، يكون نوع المجموعة المجردة هو مجموعة دورية من الرتبة n ، Z_{_n} . على الرغم من استخدام الرمز C_{_n} أيضًا للدلالة على المجموعة المجردة، إلا أنه يجب التمييز بين C_{_n} الهندسي والمجرد : توجد مجموعات تناظر أخرى من نفس نوع المجموعة المجردة تختلف هندسيًا، انظر مجموعات التناظر الدورية في الفضاء ثلاثي الأبعاد . 

المجال الأساسي هو قطاع من​${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{n}}.}$⁠

أمثلة بدون تناظر انعكاس إضافي :

• n = 2 ، 180°: الثنائي ؛ الأحرف Z، N، S؛ الخطوط العريضة، وإن لم تكن الألوان، لرمز الين واليانغ ؛ علم الاتحاد (كما هو مقسم على طول قطر العلم ومدور حول نقطة مركز العلم)
• n = 3 ، 120 درجة: ثلاثي ، ثلاثي الأذرع ، حلقات بوروميان ؛ في بعض الأحيانيتم استخدام مصطلح التناظر الثلاثي ؛
• ن = 4 ، 90 درجة: رباعي ، صليب معقوف
• n = 5 ، 72°: خماسي، نجم خماسي ، خماسي منتظم؛ التناظر الخماسي غير ممكن في البلورات الدورية.
• n = 6 ، 60°: سداسي ، نجمة داود (هذه لها تناظر انعكاس إضافي )
• ن = 8 ، 45 درجة: ثماني ، مقرنصات ثمانية الأضلاع ، مولدة بالحاسوب، السقف

C _n هي مجموعة الدوران لمضلع منتظم ذي n ضلع في بعدين وللهرم المنتظم ذي n ضلع في ثلاثة أبعاد.

إذا كان هناك تناظر دوراني على سبيل المثال بالنسبة لزاوية 100 درجة، فإن القاسم المشترك الأكبر لـ 100 درجة و 360 درجة يكون كذلك بالنسبة لزاوية 20 درجة.

إن الجسم ثلاثي الأبعاد النموذجي ذو التناظر الدوراني (وربما أيضًا مع محاور متعامدة) ولكن بدون تناظر انعكاسي هو المروحة .

بالنسبة للتناظر المنفصل ذي محاور التناظر المتعددة التي تمر عبر نفس النقطة، توجد الاحتمالات التالية:

• بالإضافة إلى محور تناظر من الرتبة n ، توجد n محاور تناظر ثنائية عمودية: وهي مجموعات ثنائية السطوح D _{_n} من الرتبة 2 ⁿ (حيث n ≥ 2 ). هذه هي مجموعة الدوران لمنشور منتظم ، أو هرم ثنائي منتظم . على الرغم من استخدام نفس الترميز، ينبغي التمييز بين D_{_n} الهندسي والتجريدي : فهناك مجموعات تناظر أخرى من نفس نوع المجموعة المجردة تختلف هندسيًا، انظر مجموعات التناظر ثنائية السطوح في الفضاء ثلاثي الأبعاد . 
• محاور التناظر الثلاثية 4×3 ومحاور التناظر الثنائي 3×2: مجموعة الدوران T من الرتبة  12 لهرم رباعي منتظم . هذه المجموعة متماثلة مع المجموعة المتناوبة A4 _.
• محاور التناظر 3×4، و 4×3، و6×2: مجموعة الدوران O من الرتبة 24 لمكعب وثماني السطوح منتظم . هذه المجموعة متماثلة مع المجموعة المتناظرة S4 _.  
• محاور 6×5، و10×3، و15×2: مجموعة الدوران _I من الرتبة 60 لمجسم ذي اثني عشر وجهًا _{ومجسم ذي} عشرين وجهًا . هذه المجموعة متماثلة مع المجموعة المتناوبة A5 . تحتوي المجموعة على 10 نسخ من D3 و6 نسخ من D5 (تناظرات دورانية مثل الموشورات والموشورات المضادة).   

في حالة المجسمات الأفلاطونية ، تمر المحاور الثنائية بمنتصفات الأضلاع المتقابلة، وعددها يساوي نصف عدد الأضلاع. أما المحاور الأخرى فتمر بالرؤوس المتقابلة وبمراكز الأوجه المتقابلة، باستثناء حالة رباعي الأوجه، حيث يمر كل محور ثلاثي برأس واحد ومركز وجه واحد.

التناظر الدوراني بالنسبة لأي زاوية هو، في بعدين، تناظر دائري . المجال الأساسي هو نصف خط .

في ثلاثة أبعاد، يمكننا التمييز بين التناظر الأسطواني والتناظر الكروي (أي عدم وجود تغيير عند الدوران حول محور واحد، أو لأي دوران). بمعنى آخر، لا يوجد اعتماد على الزاوية باستخدام الإحداثيات الأسطوانية ، ولا يوجد اعتماد على أي من الزاويتين باستخدام الإحداثيات الكروية . المجال الأساسي هو نصف مستوى يمر بالمحور، ونصف خط شعاعي، على التوالي. يُستخدم مصطلحا "متناظر محوريًا " و "متناظر محوريًا" لوصف جسم يتمتع بتناظر أسطواني، أو تناظر محوري (أي تناظر دوراني حول محور مركزي) مثل حلقة الدونات ( الطوروس ). ومن الأمثلة على التناظر الكروي التقريبي كوكب الأرض (فيما يتعلق بالكثافة والخصائص الفيزيائية والكيميائية الأخرى).

في الفضاء رباعي الأبعاد، يتوافق التناظر الدوراني المستمر أو المتقطع حول مستوى ما مع التناظر الدوراني ثنائي الأبعاد المقابل في كل مستوى عمودي عليه، حول نقطة التقاطع. كما يمكن أن يمتلك الجسم تناظرًا دورانيًا حول مستويين عموديين، على سبيل المثال إذا كان حاصل الضرب الديكارتي لشكلين ثنائيي الأبعاد متناظرين دورانيًا، كما هو الحال في الأسطوانة المزدوجة والموشورات الثنائية المنتظمة المختلفة .

ترتيب داخل خلية بدائية لمراكز دوران ثنائية ورباعية. يُشار إلى نطاق أساسي باللون الأصفر.

ترتيب مراكز الدوران ثنائية وثلاثية وسداسية التناظر داخل الخلية الأولية، منفردة أو مجتمعة (يُعتبر رمز التناظر السداسي مزيجًا من رمز التناظر الثنائي ورمز التناظر الثلاثي)؛ في حالة التناظر الثنائي فقط، قد يختلف شكل متوازي الأضلاع . في حالة p6، يُشار إلى المجال الأساسي باللون الأصفر.

يُعد التناظر الدوراني الثنائي، إلى جانب التناظر الانتقالي الأحادي ، أحد مجموعات فريز . مركز الدوران هو النقطة الثابتة، أو غير المتغيرة، للدوران. ^{[ 3 ]} يوجد مركزان للدوران في كل خلية أولية .

بالإضافة إلى التناظر الانتقالي المزدوج، فإن مجموعات الدوران هي مجموعات ورق الحائط التالية ، مع محاور لكل خلية أولية:

• p2 (2222): 4×2-fold؛ مجموعة دوران لشبكة متوازية الأضلاع ، وشبكة مستطيلة ، وشبكة معينية .
• p3 (333): 3×3-fold؛ ليست مجموعة الدوران لأي شبكة (كل شبكة مقلوبة رأساً على عقب هي نفسها، لكن هذا لا ينطبق على هذا التناظر)؛ إنها على سبيل المثال مجموعة الدوران للتبليط المثلثي المنتظم مع المثلثات متساوية الأضلاع الملونة بالتناوب.
• p4 (442): 2×4-fold، 2×2-fold؛ مجموعة دوران الشبكة المربعة .
• p6 (632): 1×6-fold، 2×3-fold، 3×2-fold؛ مجموعة دوران الشبكة السداسية .
• تشكل مراكز الدوران الثنائية (بما في ذلك مراكز الدوران الرباعية والسداسية المحتملة)، إن وجدت، إزاحة لشبكة تساوي شبكة الإزاحة، مُقاسة بمعامل 1/2. وفي حالة التناظر الإزاحي في بُعد واحد، تنطبق خاصية مماثلة، على الرغم من أن مصطلح "الشبكة" لا ينطبق.
• تشكل مراكز الدوران الثلاثية (بما في ذلك مراكز الدوران السداسية المحتملة)، إن وجدت، شبكة سداسية منتظمة تساوي الشبكة الانتقالية، مع دورانها بزاوية 30 درجة (أو ما يعادلها 90 درجة)، وقياسها بمعامل${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$
• تشكل المراكز الدورانية الرباعية، إن وجدت، شبكة مربعة منتظمة تساوي الشبكة الانتقالية، مع تدويرها بمقدار 45 درجة، وقياسها بمعامل${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$
• تشكل المراكز الدورانية السداسية، إن وجدت، شبكة سداسية منتظمة وهي ترجمة للشبكة الانتقالية.

يؤدي تغيير حجم الشبكة إلى تقسيم عدد النقاط لكل وحدة مساحة على مربع عامل المقياس. وبالتالي، فإن عدد مراكز الدوران ثنائية وثلاثية ورباعية وسداسية التعدد لكل خلية أولية هو 4 و3 و2 و1 على التوالي، مع تضمين التعدد الرباعي كحالة خاصة من التعدد الثنائي، وهكذا.

التناظر الدوراني الثلاثي عند نقطة ما، والتناظر الدوراني الثنائي عند نقطة أخرى (أو العكس في الفضاء ثلاثي الأبعاد بالنسبة للمحاور المتوازية)، يستلزم مجموعة دوران p6، أي تناظر انتقالي مزدوج وتناظر دوراني سداسي عند نقطة ما (أو، في الفضاء ثلاثي الأبعاد، محور موازٍ). مسافة الانتقال للتناظر الناتج عن زوج واحد من مراكز الدوران هذه هي${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$مضروبة في المسافة.

المستوى الإقليدي	المستوى الزائدي
التبليط المثلثي السداسي ، مثال على p6، [6,3] + ، (632) (مع الألوان) و p6m، [6,3]، (*632) (بدون ألوان)؛ الخطوط هي محاور انعكاس إذا تم تجاهل الألوان، ونوع خاص من محاور التناظر إذا تم تضمين الألوان: الانعكاس يعكس الألوان. يمكن تمييز شبكات الخطوط المستطيلة في ثلاثة اتجاهات.	الرتبة 3-7 kisrhombille ، مثال على التناظر [7,3] + (732) و [7,3]، (*732) (بدون ألوان)