نموذج الصندوق الرمادي

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في الرياضيات والإحصاء والنمذجة الحاسوبية ، يجمع نموذج الصندوق الرمادي [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] بين بنية نظرية جزئية وبيانات لإكمال النموذج. قد تختلف البنية النظرية من معلومات حول سلاسة النتائج إلى نماذج لا تحتاج إلا إلى قيم المعلمات من البيانات أو المراجع الموجودة. [ 5 ] وبالتالي ، فإن جميع النماذج تقريبًا هي نماذج صندوق رمادي، على عكس نماذج الصندوق الأسود التي لا تفترض أي شكل للنموذج، أو نماذج الصندوق الأبيض النظرية البحتة. تفترض بعض النماذج شكلًا خاصًا مثل الانحدار الخطي [ 6 ] [ 7 ] أو الشبكة العصبية . [ 8 ] [ 9 ] لهذه النماذج أساليب تحليل خاصة. على وجه الخصوص، تُعد تقنيات الانحدار الخطي [ 10 ] أكثر كفاءة من معظم التقنيات غير الخطية. [ 11 ] [ 12 ] يمكن أن يكون النموذج حتميًا أو عشوائيًا (أي يحتوي على مكونات عشوائية) اعتمادًا على استخدامه المخطط له.

نموذج الشكل

تتمثل الحالة العامة في نموذج غير خطي ذي بنية نظرية جزئية وبعض الأجزاء المجهولة المستمدة من البيانات. أما النماذج ذات البنى النظرية المختلفة، فيجب تقييمها بشكل فردي، [ 1 ] [ 13 ] [ 14 ] وربما باستخدام خوارزميات التلدين المحاكي أو الخوارزميات الجينية .

ضمن بنية نموذجية محددة، قد يلزم إيجاد المعاملات [ 14 ] [ 15 ] أو علاقات المعاملات المتغيرة [ 5 ] [ 16 ] . بالنسبة لبنية معينة، يُفترض بشكل تعسفي أن البيانات تتكون من مجموعات من متجهات التغذية f ، ومتجهات الناتج p ، ومتجهات حالة التشغيل c . [ 5 ] عادةً ما تحتوي c على قيم مستخرجة من f ، بالإضافة إلى قيم أخرى. في كثير من الحالات، يمكن تحويل النموذج إلى دالة بالشكل التالي: [ 5 ] [ 17 ] [ 18 ]

m(f,p,q)

حيث تمثل الدالة المتجهة m الأخطاء بين البيانات p وتوقعات النموذج. أما المتجه q فيمثل بعض المعاملات المتغيرة التي تمثل الأجزاء المجهولة في النموذج.

تتغير المعاملات q بتغير ظروف التشغيل c بطريقة سيتم تحديدها لاحقًا. [ 5 ] [ 17 ] يمكن تحديد هذه العلاقة على النحو التالي: q = Ac، حيث A مصفوفة معاملات مجهولة، و c، كما في الانحدار الخطي [ 6 ] [ 7 ] ، يتضمن حدًا ثابتًا ، وربما قيمًا مُحوَّلة لظروف التشغيل الأصلية للحصول على علاقات غير خطية [ 19 ] [ 20 ] بين ظروف التشغيل الأصلية و q . بعد ذلك، يتم اختيار الحدود غير الصفرية في A وتحديد قيمها. يصبح إكمال النموذج مسألة تحسين لتحديد القيم غير الصفرية في A التي تُقلل من حدود الخطأ m(f,p,Ac) على البيانات. [ 1 ] [ 16 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]

إكمال النموذج

بعد اختيار مجموعة من القيم غير الصفرية، يمكن تحديد المعاملات المتبقية في المصفوفة A عن طريق تقليل قيمة m ( f , p , Ac ) على البيانات بالنسبة لهذه القيم ، وذلك عادةً باستخدام طريقة المربعات الصغرى غير الخطية . ويمكن اختيار الحدود غير الصفرية باستخدام أساليب التحسين مثل التلدين المحاكي والخوارزميات التطورية . كما توفر طريقة المربعات الصغرى غير الخطية تقديرات دقة [ 11 ] [ 15 ] لعناصر المصفوفة A ، والتي يمكن استخدامها لتحديد ما إذا كانت تختلف اختلافًا جوهريًا عن الصفر، مما يوفر طريقة لاختيار الحدود . [ 24 ] [ 25 ]

في بعض الأحيان، يُمكن حساب قيم q لكل مجموعة بيانات، إما مباشرةً أو باستخدام طريقة المربعات الصغرى غير الخطية . بعد ذلك، يُمكن استخدام الانحدار الخطي الأكثر كفاءة للتنبؤ بقيمة q باستخدام c، وبالتالي تحديد القيم غير الصفرية في A وتقديرها. بمجرد تحديد هذه القيم، يُمكن استخدام طريقة المربعات الصغرى غير الخطية على النموذج الأصلي m(f,p,Ac) لتحسين هذه القيم. [ 16 ] [ 21 ] [ 22 ]

ثمة طريقة ثالثة هي عكس النموذج ، [ 5 ] [ 17 ] [ 18 ] ، والتي تحوّل الدالة غير الخطية m ( f , p , Ac ) إلى صيغة خطية تقريبية بدلالة عناصر المصفوفة A ، والتي يمكن فحصها باستخدام اختيار فعال للحدود [ 24 ] [ 25 ] وتقييم الانحدار الخطي. [ 10 ] في الحالة البسيطة لقيمة q واحدة ( q = aTc ) وتقدير q* لـ q ، فإن وضع dq = aTc − q * يعطي    

m(f,p,a T c) = m(f,p,q* + d q) ≈ ​​m(f,pq*) + d q m'(f,p,q*) = m(f,pq*) + (a T c − q*) m'(f,p,q*)

وبذلك، يصبح المتغير T الآن في وضع خطي مع معرفة جميع المتغيرات الأخرى، وبالتالي يمكن تحليله باستخدام تقنيات الانحدار الخطي . ويمكن توسيع نطاق هذه الطريقة بشكل مباشر في حالة وجود أكثر من متغير واحد. [ 5 ] [ 18 ] [ 17 ] بعد التحقق من تحسن النموذج، يمكن تكرار هذه العملية حتى الوصول إلى التقارب. يتميز هذا النهج بأنه لا يتطلب تحديد المتغيرات q من مجموعة بيانات فردية، كما أن الانحدار الخطي يعتمد على حدود الخطأ الأصلية. [ 5 ]

التحقق من صحة النموذج

عند توفر بيانات كافية، يُنصح بتقسيم البيانات إلى مجموعة بناء نموذج منفصلة ومجموعة أو مجموعتين للتقييم . ويمكن تكرار هذه العملية باستخدام عدة اختيارات من مجموعة البناء، ثم حساب متوسط ​​النماذج الناتجة أو استخدامها لتقييم فروق التنبؤ.

لا يُعدّ اختبار إحصائي مثل اختبار مربع كاي على البواقي مفيدًا بشكل خاص. [ 26 ] يتطلب اختبار مربع كاي معرفة الانحرافات المعيارية، وهي معلومات نادرة التوفر، كما أن الاختبارات الفاشلة لا تُشير إلى كيفية تحسين النموذج. [ 11 ] توجد مجموعة من الطرق لمقارنة النماذج المتداخلة وغير المتداخلة، بما في ذلك مقارنة تنبؤات النموذج مع البيانات المتكررة.

ستُظهر محاولة التنبؤ بالبواقي m(, ) باستخدام الانحدار الخطي في ظل ظروف التشغيل c ما إذا كان من الممكن التنبؤ بالبواقي. [ 21 ] [ 22 ] أما البواقي التي لا يمكن التنبؤ بها، فلا تُقدم سوى احتمال ضئيل لتحسين النموذج باستخدام ظروف التشغيل الحالية. [ 5 ] في حين أن الحدود التي تتنبأ بالبواقي تُعد حدودًا واعدة لإدراجها في النموذج لتحسين أدائه. [ 21 ]

يمكن استخدام تقنية عكس النموذج المذكورة أعلاه كطريقة لتحديد إمكانية تحسين النموذج. في هذه الحالة، لا يُعد اختيار الحدود غير الصفرية بالغ الأهمية، ويمكن إجراء التنبؤ الخطي باستخدام المتجهات الذاتية المهمة لمصفوفة الانحدار . يجب استبدال القيم في المصفوفة A، التي تم تحديدها بهذه الطريقة، في النموذج غير الخطي لتقييم التحسينات في أخطاء النموذج. يشير عدم وجود تحسن ملحوظ إلى أن البيانات المتاحة غير قادرة على تحسين شكل النموذج الحالي باستخدام المعلمات المحددة. [ 5 ] يمكن إدخال معلمات إضافية في النموذج لجعل هذا الاختبار أكثر شمولاً.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 بوهلين، تورستن ب. (7 سبتمبر 2006). تحديد العمليات العملية باستخدام الصندوق الرمادي: النظرية والتطبيقات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-1-84628-403-8.
  2. ↑ "تقدير نموذج الصندوق الرمادي" . ماث ووركس 2. 2012.
  3. ↑ كرول، أندرياس (2000). نماذج الصندوق الرمادي: المفاهيم والتطبيق. في: آفاق جديدة في الذكاء الحسابي وتطبيقاته، المجلد 57 من سلسلة آفاق في الذكاء الاصطناعي وتطبيقاته، الصفحات 42-51. دار نشر IOS، أمستردام.
  4. ↑ سولبرغ، ب.، وجاكوبسن، إي دبليو، 2008. نمذجة الصندوق الرمادي - الفروع والتجارب ، وقائع المؤتمر العالمي السابع عشر، الاتحاد الدولي للتحكم الآلي، سيول. الصفحات 11415-11420
  5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Whiten, B., 2013. إكمال النموذج والتحقق من صحته باستخدام عكس نماذج الصندوق الرمادي ، ANZIAM J.,54 (CTAC 2012) ص C187–C199.
  6. 1 2 دريبر، نورمان ر.؛ سميث، هاري (25 أغسطس 2014). تحليل الانحدار التطبيقي . جون وايلي وأولاده. ص 657–. ISBN  978-1-118-62568-2.
  7. 1 2 وايزبرغ، سانفورد (25 نوفمبر 2013). الانحدار الخطي التطبيقي . وايلي. ISBN 978-1-118-59485-8.
  8. ↑ هيتون، ج.، 2012. مقدمة في رياضيات الشبكات العصبية، شركة هيتون للأبحاث (تشيسترفيلد، ميزوري)، رقم ISBN 978-1475190878
  9. ↑ ستيرجيو، سي.؛ سيجانوس، د. (2013). "الشبكات العصبية" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16-12-2009 . تم الاسترجاع بتاريخ 03-07-2013 .
  10. 1 2 لوسون، تشارلز ل.؛ ج. هانسون، ريتشارد (1 ديسمبر 1995). حل مسائل المربعات الصغرى . سيام. ISBN 978-0-89871-356-5.
  11. 1 2 3 Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). وصفات عددية ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN  978-0-521-88068-8.
  12. ↑ جيلمان، أندرو؛ كارلين، جون ب.؛ ستيرن، هال س.؛ دونسون، ديفيد ب.؛ فيهتاري، آكي؛ روبين، دونالد ب. (1 نوفمبر 2013). تحليل البيانات البايزي، الطبعة الثالثة . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4398-4095-5.
  13. ↑ ماث ووركس، 2013. نماذج الصندوق الرمادي المدعومة
  14. 1 2 هاوث، ج. (2008)، نمذجة الصندوق الرمادي للأنظمة غير الخطية (PDF) (أطروحة، جامعة كايزرسلاوترن للتكنولوجيا ).
  15. 1 2 ناش، جي سي ووكر-سميث، إم. 1987. تقدير المعلمات غير الخطية، مارسيل ديكر، إنك. (نيويورك).
  16. 1 2 3 وايتن، دبليو جيه، 1971. تقنيات بناء النماذج المطبقة على عمليات معالجة المعادن، ندوة حول أنظمة التحكم الآلي في مصانع معالجة المعادن، (المعهد الأسترالي للتعدين والمعادن، فرع جنوب كوينزلاند، بريسبان)، 129-148.
  17. 1 2 3 4 وايتن، دبليو جيه، 1994. تحديد علاقات المعلمات ضمن النماذج غير الخطية، نشرة سيجنوم، 29(3-4)، 2-5. 10.1145/192527.192535.
  18. 1 2 3 Whiten, B., 2014. تحديد شكل المعادلات التفاضلية العادية باستخدام عكس النموذج ، ANZIAM J. 55 (EMAC2013) ص. C329–C347.
  19. ↑ متعدد الحدود
  20. ↑ سبلاين (رياضيات)
  21. 1 2 3 4 كوجوفيتش، ت.، ووايتن، و. ج.، 1994. تقييم جودة نماذج المحاكاة، ابتكارات في معالجة المعادن، (جامعة لوريتيان، سودبري) ص 437-446. ISBN 088667025X
  22. 1 2 3 كوجوفيتش، ت.، 1989. تطوير وتطبيق النموذج - أداة بناء نماذج آلية لمعالجة المعادن، أطروحة دكتوراه، جامعة كوينزلاند.
  23. ↑ Xiao, J., 1998. Extensions of model building techniques and their applications in mineral processing, PhD thesis, The University of Queensland.
  24. 1 2 لينهارت، هـ.؛ زوكيني، و. (1986). اختيار النموذج . وايلي. ISBN 978-0-471-83722-0.
  25. 1 2 ميلر، آلان (15 أبريل 2002). اختيار المجموعة الفرعية في الانحدار . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4200-3593-3.
  26. ↑ ديمينغ، ويليام إدواردز (2000). الخروج من الأزمة، ص 272. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ISBN 978-0-262-54115-2.