ثابت غروموف-ويتن

في الرياضيات ، وتحديداً في الهندسة التبسيطية والهندسة الجبرية ، فإن ثوابت جروموف-ويتن ( GW ) هي أعداد نسبية ، في حالات معينة، تحسب عدد المنحنيات ( شبه الهولومورفية أو الجبرية ) التي تفي بشروط محددة في فضاء محيط معين ( مشعب تبسيطي أو تنوع إسقاطي أملس ).

يمكن تغليف ثوابت GW كفئة تماثل أو تماثل مشترك في فضاء مناسب، أو كحاصل ضرب الكأس المشوه للتماثل المشترك الكمي . وقد استُخدمت هذه الثوابت لتمييز المشعبات التبسيطية التي كانت سابقًا غير قابلة للتمييز. كما أنها تلعب دورًا حاسمًا في نظرية الأوتار المغلقة من النوع IIA . وقد سُميت هذه الثوابت نسبةً إلى ميخائيل غروموف وإدوارد ويتن .

إنّ التعريف الرياضي الدقيق لثوابت غروموف-ويتن طويل ومعقد، لذا يُتناول بشكل منفصل في مقال الخرائط المستقرة . ويسعى هذا المقال إلى تقديم شرح أكثر وضوحًا لمعنى هذه الثوابت، وكيفية حسابها، وأهميتها.

بصورة غير رسمية، بالنسبة لمساحة محيطة ثابتة${\displaystyle X}$، تحسب ثوابت غروموف-ويتن عدد المنحنيات التي تمر عبر${\displaystyle n}$مجموعة فرعية مختارة (أو أنواع فرعية) من${\displaystyle X}$يتم ذلك باستخدام الأدوات التقنية لعلم التماثل ونظرية التقاطع في فضاءات المعاملات للخرائط المستقرة، والتي يمكن اعتبارها فضاءات تُحدد معلمات المنحنيات في${\displaystyle X}$.

مع ذلك، ولأن هذه الفضاءات المعيارية قد تحتوي على نقاط شاذة ، فإن العدد الناتج ليس دائمًا عددًا طبيعيًا ؛ ولهذا السبب يُوصف أحيانًا بأنه عدد "افتراضي". ويعود ذلك إلى أن النقاط الشاذة قد تُساهم بقيم كسرية في العدد.

يُعد العدد مثالًا كلاسيكيًا على ثابت GW${\displaystyle N_{d}}$درجة-${\displaystyle d}$منحنيات مستوية عقلانية تمر عبر${\displaystyle n=3d-1}$النقاط العامة في المستوى الإسقاطي . (لاحظ أن${\displaystyle 3d-1}$هو في الواقع بُعد فضاء الدرجة-${\displaystyle d}$(المنحنيات المستوية النسبية، لذا نتوقع الحصول على عدد محدود كإجابة.) بدءًا من الحالة الأساسية${\displaystyle N_{1}=1}$- يوجد خط واحد فقط يمر عبر أي نقطتين - يمكن حساب بقية هذه الأرقام باستخدام صيغة تكرارية، تم الحصول عليها من خلال نظرية التقاطع في فضاء المعاملات للخرائط المستقرة${\displaystyle {\overline {M}}_{0,3d}(X,d)}$.

نحصل${\displaystyle N_{1}=1,N_{2}=1,N_{3}=12,N_{4}=620,N_{5}=87304,\ldots }$[ ^{1 ]​}

ضع في اعتبارك ما يلي:

• ${\displaystyle X}$: مشعب تماثلي مغلق ذو بُعد${\displaystyle 2k}$،
• ${\displaystyle A}$ : فئة تماثل ثنائية الأبعاد في${\displaystyle X}$،
• ${\displaystyle g}$ عدد صحيح غير سالب،
• ${\displaystyle n}$ : عدد صحيح غير سالب.

والآن نُعرّف ثوابت غروموف-ويتن المرتبطة بالرباعية:${\displaystyle (X,A,g,n)}$. يترك${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ليكن فضاء معاملات ديلين-مامفورد لمنحنيات من جنس${\displaystyle g}$مع${\displaystyle n}$النقاط المحددة و${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$يرمز إلى فضاء المعاملات للخرائط المستقرة في${\displaystyle X}$من فئة${\displaystyle A}$، بالنسبة لبعض الهياكل المعقدة المختارة${\displaystyle J}$على${\displaystyle X}$متوافق مع شكله التبسيطي. عناصر${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$وهي على الشكل التالي:

${\displaystyle (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)}$،

أين${\displaystyle C}$هو منحنى (ليس بالضرورة مستقرًا) مع${\displaystyle n}$النقاط المحددة${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$و${\displaystyle f:C\to X}$هي شبه هولومورفية . فضاء المعاملات له بُعد حقيقي

${\displaystyle d:=2c_{1}^{X}(A)+(2k-6)(1-g)+2n.}$

يترك

${\displaystyle \mathrm {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

لنرمز إلى استقرار المنحنى.

${\displaystyle Y:={\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times X^{n},}$

والذي له أبعاد حقيقية${\displaystyle 6g-6+2(k+1)n}$توجد خريطة تقييم

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {ev}$ :{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)\to Y\\\mathrm {ev} (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)=\left(\operatorname {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})\right).\end{cases}}}

ترسل خريطة التقييم الفئة الأساسية لـ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$إلى${\displaystyle d}$فئة التماثل العقلاني ذات الأبعاد n في${\displaystyle Y}$، المشار إليه

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}(Y,\mathbb {Q} ).}$

بمعنى ما، فإن فئة التماثل هذه هي ثابت غروموف-ويتن لـ${\displaystyle X}$بالنسبة للبيانات${\displaystyle g}$،${\displaystyle n}$، و${\displaystyle A}$وهو ثابت من فئة التماثل التبسيطي للمشعب التبسيطي${\displaystyle X}$.

لتفسير ثابت غروموف-ويتن هندسيًا، دع${\displaystyle \beta }$كن فئة تماثل في${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$و${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$فئات التماثل في${\displaystyle X}$بحيث يكون مجموع الأبعاد المشتركة لـ${\displaystyle \beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$يساوي${\displaystyle d}$تُؤدي هذه إلى ظهور فئات التماثل في${\displaystyle Y}$باستخدام صيغة كونيث . ليكن

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}(\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}):=GW_{g,n}^{X,A}\cdot \beta \cdot \alpha _{1}\cdots \alpha _{n}\in H_{0}(Y,\mathbb {Q} ),}$

أين${\displaystyle \cdot }$يشير إلى ناتج التقاطع في علم التماثل العقلاني لـ${\displaystyle Y}$هذا عدد نسبي، وهو ثابت غروموف-ويتن للفئات المعطاة. يعطي هذا العدد إحصاءً "افتراضيًا" لعدد المنحنيات شبه الهولومورفية (في الفئة${\displaystyle A}$، من جنس${\displaystyle g}$، مع نطاق في${\displaystyle \beta }$(جزء من فضاء ديلين-مامفورد) الذي${\displaystyle n}$يتم ربط النقاط المحددة بدورات تمثل${\displaystyle \alpha _{i}}$.

هناك العديد من الاختلافات في هذا البناء، حيث يتم استخدام علم التماثل بدلاً من علم التماثل، ويحل التكامل محل التقاطع، كما يتم دمج فئات تشيرن المسحوبة من فضاء ديلين-مامفورد، وما إلى ذلك.

تُعدّ ثوابت غروموف-ويتن صعبة الحساب عمومًا. على الرغم من أنها مُعرّفة لأي بنية شبه معقدة عامة J ، والتي يكون فيها التخطيط الخطي D لـ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}}$بما أن المؤثر شامل ، يجب حسابه فعليًا بالنسبة إلى J محدد ومختار . ومن الأنسب اختيار J بخصائص مميزة، مثل التناظرات غير العامة أو التكاملية. في الواقع، غالبًا ما تُجرى الحسابات على مشعبات كاهلر باستخدام تقنيات الهندسة الجبرية.

مع ذلك، قد يؤدي استخدام J خاص إلى إنشاء فضاء D غير شامل ، وبالتالي فضاء معياري لمنحنيات شبه هولومورفية أكبر من المتوقع. وبشكل عام، يُمكن تصحيح هذا التأثير بتكوين حزمة متجهة من النواة المشتركة لـ D ، تُسمى حزمة العوائق ، ثم تحقيق ثابت GW كتكامل لفئة أويلر لحزمة العوائق. ويتطلب توضيح هذه الفكرة بدقة حججًا تقنية هامة باستخدام هياكل كورانيشي .

تُعدّ تقنية التوطين التقنية الحسابية الرئيسية . وينطبق هذا عندما يكون X توريكيًا ، أي عندما يكون خاضعًا لتأثير توريكي معقد، أو على الأقل توريكيًا محليًا. عندئذٍ، يمكن استخدام نظرية النقطة الثابتة لأتياه-بوت ، لمايكل أتياه وراؤول بوت ، لاختزال، أو توطين، حساب ثابت GW إلى تكامل على موضع النقطة الثابتة للتأثير.

ثمة نهج آخر يتمثل في استخدام عمليات جراحية تماثلية لربط X بفضاء واحد أو أكثر من الفضاءات الأخرى التي يسهل حساب ثوابتها GW. بالطبع، يجب أولاً فهم كيفية سلوك هذه الثوابت تحت تأثير هذه العمليات الجراحية. في مثل هذه التطبيقات، يُستخدم غالبًا ثوابت GW النسبية الأكثر تعقيدًا ، والتي تحسب المنحنيات ذات شروط التماس المحددة على طول فضاء فرعي تماثلي من X ذي بُعد حقيقي ثنائي.

ترتبط ثوابت GW ارتباطًا وثيقًا بعدد من المفاهيم الأخرى في الهندسة، بما في ذلك ثوابت دونالدسون وثوابت سيبرغ -ويتن في الفئة التبسيطية، ونظرية دونالدسون-توماس في الفئة الجبرية. بالنسبة للمتشعبات التبسيطية المدمجة رباعية الأبعاد ، بيّن كليفورد تاوبس أن أحد متغيرات ثوابت GW (انظر ثابت غروموف لتاوبس ) يُكافئ ثوابت سيبرغ-ويتن. أما بالنسبة للمتشعبات الجبرية ثلاثية الأبعاد ، فيُفترض أنها تحتوي على نفس المعلومات التي تحتويها ثوابت دونالدسون-توماس ذات القيم الصحيحة . كما تُؤدي الاعتبارات الفيزيائية إلى ظهور ثوابت غوباكومار-فافا ، والتي تهدف إلى إعطاء قيمة عددية صحيحة ضمنية لنظرية غروموف-ويتن ذات القيم النسبية عادةً. لا يوجد حاليًا تعريف رياضي دقيق لثوابت غوباكومار-فافا، وهذه إحدى المشكلات الرئيسية في هذا المجال.

يمكن تعريف ثوابت غروموف-ويتن للأصناف الإسقاطية الملساء بالكامل ضمن الهندسة الجبرية. وتُجسّد هذه الثوابت الهندسة التعدادية الكلاسيكية للمنحنيات المستوية والمنحنيات النسبية في الفضاءات المتجانسة. مع ذلك، تكمن الميزة الرئيسية لثوابت غروموف-ويتن على التعدادات الكلاسيكية في ثباتها تحت تأثير تشوهات البنية المعقدة للهدف. كما تُتيح هذه الثوابت تشوهات في بنية الضرب في حلقة التماثل لمتشعب تماثلي أو إسقاطي؛ ويمكن تنظيمها لبناء حلقة التماثل الكمومي للمتشعب X ، وهي تشوه للتماثل العادي. وتُعدّ خاصية التجميع للضرب المشوه نتيجةً أساسيةً لطبيعة التشابه الذاتي لفضاء المعاملات للخرائط المستقرة المستخدمة لتعريف الثوابت.

من المعروف أن حلقة التماثل الكمي متماثلة مع تماثل فلور التبسيطي مع ناتج زوج السراويل الخاص بها.

تُعدّ ثوابت GW ذات أهمية في نظرية الأوتار، وهي فرع من الفيزياء يسعى إلى توحيد النسبية العامة وميكانيكا الكم . في هذه النظرية، يتكون كل شيء في الكون، بدءًا من الجسيمات الأولية ، من أوتار دقيقة . عندما يتحرك وتر عبر الزمكان، فإنه يرسم سطحًا يُسمى سطح العالم الخاص بالوتر. لسوء الحظ، فإن فضاء المعاملات لهذه الأسطح المُعَلمة، على الأقل مبدئيًا ، لا نهائي الأبعاد؛ ولا يوجد مقياس مناسب معروف لهذا الفضاء، وبالتالي تفتقر تكاملات المسار في النظرية إلى تعريف دقيق.

يتحسن الوضع في النموذج المغلق المعروف باسم نموذج A. يحتوي هذا النموذج على ستة أبعاد للزمكان، تُشكل فضاءً تماثليًا، ويتضح أن أسطح العالم تُحدد بالضرورة بواسطة منحنيات شبه هولومورفية، ذات فضاءات معيارية محدودة الأبعاد. وبالتالي، فإن ثوابت GW، باعتبارها تكاملات على هذه الفضاءات المعيارية، هي تكاملات مسارية للنظرية. وعلى وجه الخصوص، فإن الطاقة الحرة لنموذج A عند الجنس g هي الدالة المولدة لثوابت GW عند الجنس g .

• مُركب ظل التمام – لنظرية التشوه
• حساب التفاضل والتكامل لشوبرت

• ماكدوف، دوسا، وسالامون، ديتمار (2004). المنحنيات الهولومورفية-J والطوبولوجيا التبسيطية . منشورات ندوة الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-8218-3485-1.نظرة عامة تحليلية على ثوابت غروموف-ويتن والتماثل الكمي للمشعبات التبسيطية، كاملة تقنيًا للغاية
• بيونيكين، سيرجي؛ سالامون، ديتمار؛ وشوارتز، ماتياس (1996). "نظرية فلور-دونالدسون التبسيطية والتماثل الكمي". في توماس، سي بي (محرر). هندسة التماس والهندسة التبسيطية . مطبعة جامعة كامبريدج . ص 171-200 . ISBN  0-521-57086-7.
• هوري، كينتارو (2003). التناظر المرآوي . معهد كلاي للرياضيات. ISBN 978-0-8218-2955-4.

• فضاءات المعاملات للخرائط المستقرة من النوع الأول، والفئات الافتراضية، وتمرين في نظرية التقاطع - أندريا تيريللي
• كوك، يواكيم؛ فاينسينشر، إسرائيل (2007). مدخل إلى علم التماثل الكمي: صيغة كونتسيفيتش للمنحنيات المستوية العقلانية . نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-8176-4456-7.مقدمة رائعة مع التاريخ والتمارين للمفهوم الرسمي لفضاء المعاملات ، وتتناول بشكل موسع حالة الفضاءات الإسقاطية باستخدام الأساسيات في لغة المخططات .
• فاكيل، رافي (2006). "فضاء المعاملات للمنحنيات ونظرية غروموف-ويتن". الثوابت العددية في الهندسة الجبرية ونظرية الأوتار . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  1947. سبرينغر. الصفحات 143-198 . arXiv : math/0602347 . Bibcode : 2006math......2347V . doi : 10.1007/978-3-540-79814-9_4 . ISBN  978-3-540-79813-2.
• ملاحظات حول الخرائط المستقرة وعلم التماثل الكمي