نظرية الأوتار الطوبولوجية

لا تكون الأوتار العادية على خلفيات خاصة طوبولوجية أبدًا . لجعل هذه الأوتار طوبولوجية، يلزم تعديل نموذج سيجما عبر إجراء يُسمى " الالتواء الطوبولوجي"، والذي ابتكره إدوارد ويتن عام ١٩٨٨. الملاحظة الأساسية هي أن هذه النظريات تمتلك تناظرين من نوع U(1) يُعرفان بتناظرات R ، ويمكن تعديل تناظر لورنتز بمزج الدورانات وتناظرات R. يمكن استخدام أي من تناظري R، مما يؤدي إلى نظريتين مختلفتين، تُسميان النموذج A والنموذج B. بعد هذا الالتواء، يكون تأثير النظرية دقيقًا وفقًا لنظرية BRST ، وبالتالي لا تمتلك النظرية أي ديناميكية. بدلًا من ذلك، تعتمد جميع المتغيرات القابلة للرصد على طوبولوجيا التكوين. تُعرف هذه النظريات بالنظريات الطوبولوجية .

من الناحية التقليدية، هذا الإجراء ممكن دائماً.

من منظور ميكانيكا الكم، قد تكون تناظرات U(1) شاذة ، مما يجعل الالتواء مستحيلاً. على سبيل المثال، في حالة كاهلر حيث H = 0، يكون الالتواء المؤدي إلى النموذج A ممكنًا دائمًا، بينما يكون الالتواء المؤدي إلى النموذج B ممكنًا فقط عندما تتلاشى فئة تشيرن الأولى للزمكان، مما يعني أن الزمكان من نوع كالابي-ياو . وبشكل أعم، تمتلك نظريات (2,2) بنيتين معقدتين ، ويوجد النموذج B عندما يكون مجموع فئات تشيرن الأولى للحزم المرتبطة مساويًا للصفر، بينما يوجد النموذج A عندما يكون الفرق بين فئتي تشيرن صفرًا. في حالة كاهلر، تكون البنيتان المعقدتان متطابقتين، وبالتالي يكون الفرق بينهما صفرًا دائمًا، ولهذا السبب يوجد النموذج A دائمًا.

لا يوجد قيد على عدد أبعاد الزمكان، باستثناء وجوب أن يكون زوجيًا لأن الزمكان هو فضاء كاهلر مُعمّم. مع ذلك، تتلاشى جميع دوال الارتباط مع أسطح العالم غير الكروية ما لم يكن البُعد المركب للزمكان ثلاثة، ولذا فإن الزمكانات ذات البُعد المركب ثلاثة هي الأكثر أهمية. وهذا يُعدّ أمرًا مُفيدًا لعلم الظواهر ، إذ غالبًا ما تستخدم النماذج الظواهرية نظرية الأوتار الفيزيائية المُضغوطة على فضاء ثلاثي الأبعاد مُركّب. لا تُكافئ نظرية الأوتار الطوبولوجية نظرية الأوتار الفيزيائية، حتى على الفضاء نفسه، لكن بعض الكميات الفائقة التناظر تتفق في النظريتين.

يأتي النموذج الطوبولوجي A بفضاء مستهدف هو فضاء كاهلر معمّم ذو ستة أبعاد حقيقية. في حالة كون الفضاء كاهلر، تصف النظرية كائنين: أوتار أساسية تُحيط بمنحنيين هولومورفيين حقيقيين الأبعاد. تعتمد سعات تشتت هذه الأوتار فقط على شكل كاهلر للفضاء، وليس على البنية المعقدة. كلاسيكيًا، تُحدد دوال الارتباط هذه بواسطة حلقة التماثل . توجد تأثيرات آنتونية في ميكانيكا الكم تُصحح هذه الدوال وتُنتج ثوابت غروموف-ويتن ، التي تقيس حاصل الضرب الكأسي في حلقة تماثل مشوهة تُسمى التماثل الكمي . تُعرف نظرية حقل الأوتار للأوتار المغلقة في النموذج A باسم جاذبية كاهلر ، وقد قدمها مايكل بيرشادسكي وفلاديمير سادوف في كتابهما "نظرية جاذبية كاهلر" .

إضافةً إلى ذلك، توجد أغشية D2 التي تُغلّف فضاءات فرعية لاغرانجية للزمكان. هذه فضاءات فرعية أبعادها نصف أبعاد الزمكان، بحيث يتلاشى سحب شكل كاهلر إلى الفضاء الفرعي. نظرية حجم العالم على مجموعة من N غشاء D2 هي نظرية حقل الأوتار للأوتار المفتوحة لنموذج A، وهي نظرية تشيرن-سيمونز U(N) .

قد تنتهي الأوتار الطوبولوجية الأساسية على أغشية D2. بينما يعتمد تضمين الوتر على شكل كاهلر فقط، فإن تضمين الأغشية يعتمد كليًا على البنية المعقدة. على وجه الخصوص، عندما ينتهي وتر على غشاء، يكون التقاطع دائمًا متعامدًا، لأن حاصل الضرب الخارجي لشكل كاهلر والشكل الهولومورفي الثلاثي يساوي صفرًا. في الوتر الفيزيائي، يُعد هذا ضروريًا لاستقرار التكوين، ولكنه هنا خاصية للدورات اللاغرانجية والهولومورفية على مشعب كاهلر.

قد توجد أيضًا أغشية متساوية الخواص في أبعاد مختلفة غير أنصاف أبعاد الفضاءات الفرعية اللاغرانجية . وقد قدمها أنطون كابوستين وديمتري أورلوف لأول مرة في ملاحظات حول أغشية A، وتناظر المرآة، وفئة فوكايا.

يحتوي نموذج B أيضًا على أوتار أساسية، لكن سعات تشتتها تعتمد كليًا على البنية المعقدة ، وهي مستقلة عن بنية كاهلر. على وجه الخصوص، فهي غير حساسة لتأثيرات الإنستانتون على سطح العالم، وبالتالي يمكن حسابها بدقة في كثير من الأحيان. ثم يربط تناظر المرآة هذه السعات بسعات نموذج A، مما يسمح بحساب ثوابت غروموف-ويتن. تُعرف نظرية حقل الأوتار للأوتار المغلقة في نموذج B بنظرية كودايرا-سبنسر للجاذبية ، وقد طوّرها مايكل بيرشادسكي ، وسيرجيو سيكوتي ، وهيروسي أوغوري ، وكومرون فافا في كتابهم "نظرية كودايرا-سبنسر للجاذبية والنتائج الدقيقة لسعات الأوتار الكمومية" .

يتضمن نموذج B أيضًا أغشية D(-1) وD1 وD3 وD5، التي تُغلف على التوالي فضاءات فرعية هولومورفية من الرتبة 0 و2 و4 و6. الفضاء الفرعي من الرتبة 6 هو مُكوّن مُتصل من الزمكان. تُعرف النظرية على غشاء D5 بنظرية تشيرن-سيمونز الهولومورفية . كثافة لاغرانج هي حاصل الضرب الخارجي لكثافة لاغرانج في نظرية تشيرن-سيمونز العادية مع الشكل الهولومورفي (3,0)، الموجود في حالة كالابي-ياو. يُمكن الحصول على كثافات لاغرانج للنظريات على الأغشية ذات الأبعاد الأقل من نظرية تشيرن-سيمونز الهولومورفية عن طريق اختزال الأبعاد.

إن نظرية إم الطوبولوجية، التي تتميز بزمكان سباعي الأبعاد، ليست نظرية أوتار طوبولوجية، إذ لا تحتوي على أوتار طوبولوجية. ومع ذلك، يُفترض أن نظرية إم الطوبولوجية على حزمة دائرية فوق فضاء سداسي الأبعاد تُكافئ نموذج أ الطوبولوجي على ذلك الفضاء السداسي.

على وجه الخصوص، ترتفع أغشية D2 في نموذج A إلى نقاط تتلاشى عندها حزمة الدائرة، أو بتعبير أدق، إلى أحاديات كالوزا-كلاين . وترتفع الأوتار الأساسية في نموذج A إلى أغشية تُسمى أغشية M2 في نظرية M الطوبولوجية.

إحدى الحالات الخاصة التي حظيت باهتمام كبير هي نظرية M الطوبولوجية على فضاء ذي تماثل G2 _ونموذج A على كالابي-ياو. في هذه الحالة، تُغلف أغشية M2 دورات ثلاثية ترابطية. وبالمعنى الدقيق، لم يُطرح تخمين نظرية M الطوبولوجية إلا في هذا السياق، حيث تُقدم الدوال التي قدمها نايجل هيتشين في كتابيه "هندسة الأشكال الثلاثية في ستة وسبعة أبعاد" و "الأشكال المستقرة والمقاييس الخاصة" نموذجًا محتملاً لفعل فعال منخفض الطاقة.

تُسمى هذه الدوال " دوال هيتشين "، وترتبط السلسلة الطوبولوجية ارتباطًا وثيقًا بأفكار هيتشين حول البنية المعقدة المعممة ، ونظام هيتشين ، وبناء ADHM ، وما إلى ذلك.

تُعدّ نظرية سطح العالم ثنائية الأبعاد نموذج سيجما فائق التناظر N = (2,2) . ويعني التناظر الفائق (2,2) أن مولدات الفرميونات في جبر التناظر الفائق ، والتي تُسمى الشحنات الفائقة، يُمكن تجميعها في سبينور ديراك واحد ، يتألف من سبينوري ماجورانا-ويل لكل كيرالية. هذا النموذج سيجما ملتوي طوبولوجيًا، ما يعني أن مولدات تناظر لورنتز التي تظهر في جبر التناظر الفائق تُدير الزمكان الفيزيائي وتُدير أيضًا اتجاهات الفرميونات في آنٍ واحد عبر تأثير أحد تناظرات R. مجموعة تناظر R لنظرية حقل ثنائية الأبعاد N = (2,2) هي U(1) × U(1)، والالتواءات بعاملين مختلفين تُؤدي إلى النموذجين A وB على التوالي. وقد قدّم إدوارد ويتن البناء الملتوي طوبولوجيًا لنظريات الأوتار الطوبولوجية في بحثه عام 1988. ^{[ 1 ]}

يؤدي هذا التحول الطوبولوجي إلى نظرية طوبولوجية، إذ يمكن كتابة موتر الإجهاد-الطاقة على هيئة مضاد تبادلي لشحنة فائقة وحقل آخر. وبما أن موتر الإجهاد-الطاقة يقيس اعتماد الفعل على موتر القياس ، فإن هذا يعني أن جميع دوال الارتباط للمؤثرات الثابتة تحت تأثير Q مستقلة عن القياس. وبهذا المعنى، تُعتبر النظرية طوبولوجية.

بشكلٍ أعم، أي حد D في الفعل، وهو أي حد يمكن التعبير عنه كتكامل على كامل الفضاء الفائق ، هو مضاد تبادلي للشحنة الفائقة، وبالتالي لا يؤثر على الكميات القابلة للرصد الطوبولوجية. وبشكلٍ أعم، في نموذج B، أي حد يمكن كتابته كتكامل على الفرميون${\displaystyle {\overline {\theta }}^{\pm }}$لا تساهم الإحداثيات، بينما في النموذج A، أي حد هو تكامل على${\displaystyle \theta ^{-}}$أو أكثر${\displaystyle {\overline {\theta }}^{+}}$لا يُساهم. هذا يعني أن متغيرات النموذج A مستقلة عن الجهد الفائق (كما يمكن كتابته كتكامل على فقط${\displaystyle {\overline {\theta }}^{\pm }}$) ولكنها تعتمد بشكل هولومورفي على الجهد الفائق الملتوي ، والعكس صحيح بالنسبة للنموذج B.

ترتبط النظريات المذكورة أعلاه بعدة ثنائيات. يرتبط النموذج A والنموذج B على مشعبين متناظرين بتناظر المرآة ، والذي وُصف بأنه ثنائية T على سطح ثلاثي الأبعاد. يُفترض أن النموذج A والنموذج B على نفس المشعب يرتبطان بثنائية S ، مما يعني وجود عدة أغشية جديدة، تُسمى أغشية NS قياسًا على غشاء NS5 ، والتي تُحيط بنفس الدورات التي تُحيط بها الأغشية الأصلية ولكن في النظرية المعاكسة. كما يرتبط مزيج من النموذج A ومجموع النموذج B ومرافقه بنظرية M الطوبولوجية من خلال نوع من الاختزال البُعدي . هنا، يبدو أن درجات حرية النموذج A والنموذج B غير قابلة للملاحظة في آنٍ واحد، بل تربطها علاقة مشابهة للعلاقة بين الموضع والزخم في ميكانيكا الكم .

توجد أيضًا عدة ثنائيات تربط التكوينات ذات الأغشية D، والتي تُوصف بأوتار مفتوحة، بتلك ذات الأغشية التي استُبدلت بالتدفق، وبالهندسة التي تُوصف بهندسة الأفق القريب للأغشية المفقودة. وتُوصف الأخيرة بأوتار مغلقة.

لعلّ أول هذه الازدواجية هي ازدواجية جوباكومار-فافا ، التي قدمها راجيش جوباكومار وكومرون فافا في بحثهما "حول تناظر نظرية القياس/الهندسة" . تربط هذه الازدواجية مجموعة من N غشاءً سداسي الأبعاد على كرة ثلاثية الأبعاد في نموذج A على سطح مخروطي مشوه ، بنظرية الأوتار المغلقة لنموذج A على سطح مخروطي محلول مع مجال مغناطيسي B يساوي N ضعف ثابت اقتران الأوتار. تُوصف الأوتار المفتوحة في نموذج A بنظرية تشيرن-سيمونز U(N)، بينما تُوصف نظرية الأوتار المغلقة على نموذج A بجاذبية كاهلر.

على الرغم من أن المخروطية تُوصف بأنها محلولة، فإن مساحة الكرة الثنائية المتضخمة تساوي صفرًا، والمجال المغناطيسي فقط، الذي يُعتبر غالبًا الجزء المركب من المساحة، هو الذي لا يتلاشى. في الواقع، بما أن نظرية تشيرن-سيمونز نظرية طوبولوجية، يمكن تقليص حجم الكرة الثلاثية المشوهة إلى الصفر، وبالتالي الوصول إلى نفس الهندسة كما في النظرية الثنائية.

النظير المرآوي لهذه الثنائية هو ثنائية أخرى، تربط الأوتار المفتوحة في نموذج B على غشاء يلف الدورة الثنائية في المخروطية المحلولة بالأوتار المغلقة في نموذج B على المخروطية المشوهة. تُوصف الأوتار المفتوحة في نموذج B باختزالات بُعدية لنظرية تشيرن-سيمونز المتماثلة على الأغشية التي تنتهي عليها، بينما تُوصف الأوتار المغلقة في نموذج B بجاذبية كودايرا-سبنسر.