المنطق من الرتبة العليا

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في الرياضيات والمنطق ، يُعرف المنطق ذو الرتبة العليا (يُختصر بـ HOL ) بأنه شكل من أشكال المنطق يتميز عن المنطق ذي الرتبة الأولى بوجود مُكمِّمات إضافية ، وأحيانًا بدلالات أقوى . تتميز المنطق ذو الرتبة العليا بدلالاتها القياسية بقدرة تعبيرية أكبر، لكن خصائصه المتعلقة بنظرية النماذج أقل انتظامًا من خصائص المنطق ذي الرتبة الأولى.

يُستخدم مصطلح "المنطق من الرتبة العليا" عادةً للدلالة على منطق المسند البسيط من الرتبة العليا . هنا، تشير كلمة "بسيط" إلى أن نظرية الأنواع الأساسية هي نظرية الأنواع البسيطة ، والتي تُسمى أيضًا نظرية الأنواع البسيطة . اقترح ليون تشويستيك وفرانك ب. رامزي هذا المفهوم كتبسيط لنظرية الأنواع المتفرعة المحددة في كتاب "مبادئ الرياضيات" لألفريد نورث وايتهيد وبرتراند راسل . يُقصد بالأنواع البسيطة أحيانًا استبعاد الأنواع متعددة الأشكال والأنواع التابعة . [ 1 ]

نطاق التحديد الكمي

المنطق من الدرجة الأولى يحدد فقط المتغيرات التي تتراوح بين الأفراد؛ والمنطق من الدرجة الثانية يحدد أيضًا على المجموعات؛ والمنطق من الدرجة الثالثة يحدد أيضًا على مجموعات من المجموعات، وهكذا.

المنطق من الدرجة العليا هو اتحاد المنطق من الدرجة الأولى والثانية والثالثة ... وحتى الدرجة n ؛ أي أن المنطق من الدرجة العليا يسمح بالتكميم على المجموعات المتداخلة بشكل تعسفي.

علم الدلالة

هناك دلالتان محتملتان للمنطق من الدرجة العليا.

في الدلالات القياسية أو الكاملة ، تشمل الكميات المُحددة للكائنات من النوع الأعلى جميع الكائنات الممكنة من ذلك النوع. على سبيل المثال، تشمل الكمية المُحددة لمجموعات الأفراد مجموعة القوى الكاملة لمجموعة الأفراد. وبالتالي، في الدلالات القياسية، يكفي تحديد مجموعة الأفراد لتحديد جميع الكميات. يُعد منطق الرتبة العليا (HOL) ذو الدلالات القياسية أكثر تعبيرًا من منطق الرتبة الأولى. على سبيل المثال، يسمح منطق الرتبة العليا بوضع بديهيات فئوية للأعداد الطبيعية ، وللأعداد الحقيقية ، وهو أمر مستحيل في منطق الرتبة الأولى. مع ذلك، وبحسب نتيجة لكورت غودل ، لا يسمح منطق الرتبة العليا ذو الدلالات القياسية بحساب برهان فعال وسليم وكامل . [ 2 ] كما أن خصائص نظرية النماذج لمنطق الرتبة العليا ذو الدلالات القياسية أكثر تعقيدًا من خصائص منطق الرتبة الأولى. على سبيل المثال، يكون عدد لوفنهايم في منطق الرتبة الثانية أكبر من أول عدد أصلي قابل للقياس ، إن وُجد. [ 3 ] على النقيض من ذلك، فإن عدد لوفنهايم لمنطق الرتبة الأولى هو ℵ 0 ، وهو أصغر عدد أصلي لانهائي.

في دلالات هينكين ، يُدرج نطاق منفصل في كل تفسير لكل نوع من أنواع الرتب العليا. فعلى سبيل المثال، قد تقتصر نطاقات الكميات على مجموعات الأفراد على مجموعة فرعية فقط من مجموعة القوى لمجموعة الأفراد. يُكافئ منطق الرتب العليا بهذه الدلالات منطق الرتب الأولى متعدد الأنواع ، بدلاً من أن يكون أقوى من منطق الرتب الأولى. وعلى وجه الخصوص، يتمتع منطق الرتب العليا بدلالات هينكين بجميع خصائص نظرية النماذج لمنطق الرتب الأولى، ولديه نظام إثبات كامل وسليم وفعال موروث من منطق الرتب الأولى.

ملكيات

تشمل منطق الرتب العليا فروع نظرية الأنواع البسيطة لتشرش [ 4 ] والأشكال المختلفة لنظرية الأنواع الحدسية . وقد بيّن جيرار هويه أن التوحيد غير قابل للتقرير في نمط نظرية الأنواع لمنطق الرتبة الثالثة [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]، أي أنه لا يمكن وجود خوارزمية لتحديد ما إذا كانت معادلة عشوائية بين حدود من الرتبة الثانية (ناهيك عن حدود من رتب أعلى) لها حل.

حتى مفهوم معين للتماثل ، يمكن تعريف عملية مجموعة القوى في منطق الرتبة الثانية. وباستخدام هذه الملاحظة، أثبت جاكو هينتيكا في عام 1955 أن منطق الرتبة الثانية يمكنه محاكاة منطق الرتب العليا بمعنى أنه لكل صيغة من صيغ منطق الرتب العليا، يمكن إيجاد صيغة مكافئة لها في منطق الرتبة الثانية. [ 9 ]

يُفترض في بعض السياقات أن مصطلح "المنطق من الرتبة العليا" يشير إلى المنطق الكلاسيكي من الرتبة العليا. ومع ذلك، فقد دُرِسَ المنطق الموجه من الرتبة العليا أيضًا. ووفقًا لعدد من علماء المنطق، فإن برهان غودل الأنطولوجي يُدرس على أفضل وجه (من منظور تقني) في هذا السياق. [ 10 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ جاكوبس، 1999، الفصل 5
  2. ↑ شابيرو 1991، ص 87.
  3. ^ مناحيم ماجيدور وجوكو فانانين . " حول أرقام لوينهايم-سكوليم-تارسكي لامتدادات منطق الدرجة الأولى "، التقرير رقم 15 (2009/2010) لمعهد ميتاغ-ليفلر.
  4. ↑ ألونزو تشيرش ، صياغة النظرية البسيطة للأنواع ، مجلة المنطق الرمزي 5(2):56 – 68 (1940)
  5. ↑ هويه، جيرار ب. (1973). "عدم قابلية الحسم في التوحيد في منطق الرتبة الثالثة". المعلومات والتحكم . 22 (3): 257-267 . doi : 10.1016/s0019-9958(73)90301-x .
  6. ^ هيوت ، جيرار (سبتمبر 1976). قرار المعادلات في اللغات الذهبية 1،2،...ω (دكتوراه) (بالفرنسية). جامعة باريس السابعة.
  7. ↑ وارن د. غولدفراب (1981). "عدم قابلية حسم مسألة التوحيد من الدرجة الثانية" (ملف PDF) . علوم الحاسوب النظرية . 13 (2): 225-230 . doi : 10.1016/0304-3975(81)90040-2 .
  8. ↑ هويه، جيرار (2002). "توحيد الرتبة العليا بعد 30 عامًا" (ملف PDF) . في: كارينيو، ف.؛ مونيوز، س.؛ طاهر، س. (محررون). وقائع المؤتمر الدولي الخامس عشر TPHOL . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 2410. سبرينغر. الصفحات 3-12 .  
  9. ↑ مدخل على HOL
  10. ↑ فيتينغ، ملفين (2002). الأنماط، واللوحات، وإله غودل . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 139. ISBN  978-1-4020-0604-3إن حجة غودل حجة مشروطة، وهي على الأقل من الدرجة الثانية، إذ يتضمن تعريفه لله تحديدًا كميًا صريحًا للصفات. [...] [AG96] بيّن أنه يمكن اعتبار جزء من الحجة ليس من الدرجة الثانية، بل من الدرجة الثالثة.

مراجع

  • أندروز، بيتر ب. (2002). مقدمة في المنطق الرياضي ونظرية الأنواع: إلى الحقيقة من خلال البرهان ، الطبعة الثانية، دار نشر كلوير الأكاديمية، رقم ISBN 1-4020-0763-9
  • ستيوارت شابيرو ، 1991، "الأسس بدون التأسيسية: حجة لصالح منطق الرتبة الثانية". مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 0-19-825029-0
  • ستيوارت شابيرو ، 2001، "المنطق الكلاسيكي 2: منطق الرتبة العليا"، في لو غوبل (محرر)، دليل بلاكويل للمنطق الفلسفي . بلاكويل، ISBN 0-631-20693-0
  • لامبيك، ج. وسكوت، ب. ج.، 1986. مقدمة في المنطق الفئوي من الرتبة العليا ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-35653-9
  • جاكوبس، بارت (1999). المنطق الفئوي ونظرية الأنواع . دراسات في المنطق وأسس الرياضيات 141. نورث هولاند، إلسيفير. ISBN 0-444-50170-3.
  • بنزمولر، كريستوف؛ ميلر، ديل (2014). "أتمتة منطق الرتبة العليا". في: غاباي، دوف م.؛ سيكمان، يورغ هـ.؛ وودز، جون (محررون). دليل تاريخ المنطق، المجلد 9: المنطق الحسابي . إلسيفير. ISBN 978-0-08-093067-1.