حساب هيلبرت للغايات

في المستوى الزائدي ، يمكن تعريف النقطة المثالية أو النهاية بأنها فئة تكافؤ من الأشعة المتوازية الحدية . ويمكن بعد ذلك تمثيل مجموعة النهايات طوبولوجيًا بطريقة طبيعية، لتشكل دائرة. هذا الاستخدام لكلمة " نهاية" ليس معياريًا؛ فالمفهوم الذي تشير إليه يختلف تحديدًا عن مفهوم النهاية الطوبولوجية (انظر النهاية (الطوبولوجيا) والنهاية (نظرية المخططات) ).

في نموذج قرص بوانكاريه أو نموذج كلاين للهندسة الزائدية، يتقاطع كل شعاع مع دائرة الحدود (وتُسمى أيضًا دائرة اللانهاية أو خط اللانهاية ) في نقطة واحدة ، ويمكن تحديد نهايتي الشعاع بهاتين النقطتين. مع ذلك، لا تُعتبر نقاط دائرة الحدود نقاطًا على المستوى الزائدي نفسه. لكل خط زائدي نهايتان مختلفتان تمامًا، وكل نهايتين مختلفتين تُشكلان نهاية خط واحد. ولأغراض حساب هيلبرت، يُفضل الإشارة إلى الخط بالزوج المرتب ( أ ، ب ) لنهايتيه. 

تحدد حسابات هيلبرت ثلاث نهايات مميزة بشكل اعتباطي، وتسميها 0 و1 و∞. المجموعة H التي يُعرّف عليها هيلبرت بنية حقل هي مجموعة جميع النهايات باستثناء ∞، بينما H' تشير إلى مجموعة جميع النهايات بما في ذلك  ∞.

يُعرّف هيلبرت جمع النهايات باستخدام الانعكاسات الزائدية . لكل نهاية x في H ، يتم تعريف نفيها − x عن طريق إنشاء الانعكاس الزائدي للخط ( x ,∞) حول الخط (0,∞)، واختيار − x لتكون نهاية الخط المنعكس.

إن تركيب أي ثلاثة انعكاسات زائدية تشترك محاور تناظرها في نهاية مشتركة هو في حد ذاته انعكاس آخر، عبر خط آخر له نفس النهاية. وبناءً على "نظرية الانعكاسات الثلاثة"، وبمعرفة أي نهايتين x و y في H ، يُعرّف هيلبرت المجموع x  + y بأنه النهاية غير اللانهائية لمحور تناظر تركيب الانعكاسات الثلاثة عبر الخطوط ( x , ∞)، (0, ∞)، و( y , ∞). 

ويترتب على خصائص الانعكاسات أن هذه العمليات لها الخصائص المطلوبة لعمليات النفي والجمع في جبر الحقول: فهي تشكل عمليات العكس والجمع لمجموعة أبيلية جمعية .

تُعرَّف عملية الضرب في حساب النهايات (للعناصر غير الصفرية x و y من H ) بالنظر إلى الخطوط (1، -1)، ( x ، -x )، و( y ، -y ). ونظرًا لأن -1، -x ، و- y تُعرَّف بالانعكاس حول الخط (0، ∞)، فإن كلًا من الخطوط الثلاثة (1، -1)، ( x ، -x )، و( y ، -y ) يكون عموديًا على (0، ∞).

انطلاقًا من هذه الخطوط الثلاثة، يمكن تحديد خط رابع، وهو محور تناظر تركيب الانعكاسات المارة بالنقاط ( x , -x )، (1, -1)، و( y , -y ) . هذا الخط عمودي أيضًا على النقطة (0, ∞)، وبالتالي يأخذ الشكل ( z , -z ) حيث z نقطة طرفية . بدلاً من ذلك، يمكن إيجاد نقطة تقاطع هذا الخط مع الخط (0, ∞) بجمع أطوال القطع المستقيمة من نقطة التقاطع مع (1, -1) إلى نقاط تقاطعها مع النقطتين الأخريين. بالنسبة لأحد الخيارين الممكنين لـ z ، يقع عدد زوجي من العناصر الأربعة 1، x ، y ، و z على نفس جانب الخط (0, ∞). يُعرَّف المجموع x  + y بأنه هذا الخيار لـ z .  

بما أنه يمكن تعريف هذه العملية بجمع أطوال القطع المستقيمة، فإنها تُحقق شرط عملية الضرب على حقل، أي أنها تُشكل زمرة تبديلية على العناصر غير الصفرية للحقل، وعنصرها المحايد هو واحد. العملية العكسية لهذه الزمرة هي انعكاس أحد طرفيها حول الخط (1، -1). ويمكن أيضًا إثبات أن عملية الضرب هذه تُحقق خاصية التوزيع مع عملية الجمع للحقل.