الهندسة الزائدية

الهندسة الزائدية أقرب إلى الهندسة الإقليدية مما تبدو عليه: الفرق البديهي الوحيد هو مسلمة التوازي . عند حذف مسلمة التوازي من الهندسة الإقليدية، تصبح الهندسة الناتجة هندسة مطلقة . هناك نوعان من الهندسة المطلقة: الإقليدية والزائدية. جميع نظريات الهندسة المطلقة، بما في ذلك القضايا الثماني والعشرون الأولى من الكتاب الأول من كتاب الأصول لإقليدس ، صالحة في كل من الهندسة الإقليدية والزائدية. تُثبت القضيتان 27 و28 من الكتاب الأول من كتاب الأصول لإقليدس وجود خطوط متوازية/غير متقاطعة.

لهذا الاختلاف تبعات عديدة: فالمفاهيم المتكافئة في الهندسة الإقليدية لا تتكافئ في الهندسة الزائدية، مما يستدعي استحداث مفاهيم جديدة. علاوة على ذلك، وبسبب زاوية التوازي ، تتميز الهندسة الزائدية بمقياس مطلق ، أي علاقة بين قياسات المسافة والزاوية.

تتمتع الخطوط المفردة في الهندسة الزائدية بنفس خصائص الخطوط المستقيمة المفردة في الهندسة الإقليدية. فعلى سبيل المثال، تحدد نقطتان خطاً بشكل فريد، ويمكن تمديد القطع المستقيمة إلى ما لا نهاية.

للخطين المتقاطعين نفس خصائص الخطين المتقاطعين في الهندسة الإقليدية. على سبيل المثال، لا يمكن أن يتقاطع خطان مختلفان إلا في نقطة واحدة، ويشكل الخطان المتقاطعان زاويتين متساويتين متقابلتين، والزاويتان المتجاورتان في الخطين المتقاطعين متكاملتان .

عند إضافة خط ثالث، قد تختلف خصائص الخطوط المتقاطعة عن خصائصها في الهندسة الإقليدية. فعلى سبيل المثال، إذا وُجد خطان متقاطعان، فهناك عدد لا نهائي من الخطوط التي لا تتقاطع مع أي منهما.

هذه الخصائص كلها مستقلة عن النموذج المستخدم، حتى لو بدت الخطوط مختلفة جذرياً.

في الهندسة الزائدية، يكون محيط الدائرة التي نصف قطرها r أكبر من${\displaystyle 2\pi r}$.

يترك${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}$، أين${\displaystyle K}$يمثل انحناء غاوس للمستوى. في الهندسة الزائدية،${\displaystyle K}$بما أن القيمة سالبة، فإن الجذر التربيعي هو لعدد موجب.

إذن، محيط دائرة نصف قطرها r يساوي:

${\displaystyle 2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,.}$

ومساحة القرص المغلق هي:

${\displaystyle 4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{2R}}=2\pi R^{2}\left(\cosh {\frac {r}{R}}-1\right)\,.}$

لذلك، في الهندسة الزائدية، تكون نسبة محيط الدائرة إلى نصف قطرها دائمًا أكبر من${\displaystyle 2\pi }$، على الرغم من أنه يمكن جعلها قريبة بشكل تعسفي عن طريق اختيار دائرة صغيرة بما فيه الكفاية.

إذا كان انحناء غاوس للمستوى يساوي -1، فإن انحناء الجيوديسية لدائرة نصف قطرها r هو:${\displaystyle {\frac {1}{\tanh(r)}}}$^{[ 1 ]}

في الهندسة الزائدية، لا يوجد خط مستقيم تقع جميع نقاطه على مسافة متساوية من خط آخر. بدلاً من ذلك، تقع النقاط التي تبعد جميعها نفس المسافة عن خط معين على منحنى يُسمى الدورة الزائدة .

المنحنى الخاص الآخر هو منحنى الدائرة الأفقية ، الذي تكون أنصاف أقطاره العادية ( الخطوط العمودية ) متوازية تمامًا مع بعضها البعض (تتقارب جميعها بشكل مقارب في اتجاه واحد إلى نفس النقطة المثالية ، مركز منحنى الدائرة الأفقية).

يمر بكل زوج من النقاط دائرتان أفقيتان. مراكز هاتين الدائرتين هما النقاط المثالية للمنصف العمودي للقطعة المستقيمة الواصلة بينهما.

بالنظر إلى أي ثلاث نقاط متميزة، فإنها جميعًا تقع إما على خط مستقيم، أو دورة فائقة، أو دورة أفقية ، أو دائرة.

طول القطعة المستقيمة هو أقصر طول بين نقطتين .

طول قوس الدائرة الفائقة التي تربط نقطتين أطول من طول قطعة الخط وأقصر من طول قوس الدائرة الأفقية التي تربط نفس النقطتين.

أطوال أقواس كلا الدائرتين الأفقيتين اللتين تربطان نقطتين متساوية، وهي أطول من طول قوس أي دائرة فائقة تربط النقطتين وأقصر من قوس أي دائرة تربط النقطتين.

إذا كان انحناء غاوس للمستوى هو -1، فإن انحناء الجيوديسية للدورة الأفقية هو 1 وانحناء الدورة الفائقة يقع بين 0 و1. ^{[ 1 ]}

على عكس المثلثات الإقليدية، حيث يكون مجموع زواياها دائمًا مساويًا لـ π راديان (180 درجة، وهي زاوية مستقيمة )، فإن مجموع زوايا المثلث في الفضاء الزائدي يكون دائمًا أقل من π راديان (180 درجة). يُسمى هذا الفرق بالنقص . عمومًا، يكون نقص المضلع الزائدي المحدب مع${\displaystyle n}$الأضلاع هي مجموع زواياها مطروحًا منها${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }}$.

مساحة المثلث الزائدي تُحسب بضرب عيبه بالراديان في R² ^، وهذا ينطبق أيضًا على جميع المضلعات الزائدية المحدبة. ^{[ 2 ]} لذا، فإن مساحة جميع المثلثات الزائدية أقل من أو تساوي R²π . ومساحة المثلث الزائدي المثالي الذي ^تكون فيه جميع زواياه الثلاث تساوي صفرًا تساوي هذه القيمة القصوى.

كما هو الحال في الهندسة الإقليدية ، لكل مثلث زائدي دائرة داخلية . في الفضاء الزائدي، إذا كانت رؤوسه الثلاثة تقع على دائرة أفقية أو دائرة فائقة ، فإن المثلث لا يحتوي على دائرة محيطة به .

كما هو الحال في الهندسة الكروية والبيضاوية ، في الهندسة الزائدية إذا كان المثلثان متشابهين، فلا بد أن يكونا متطابقين.

المضلعات الخاصة في الهندسة الزائدية هي المضلعات المنتظمة ذات العدد اللانهائي من الأضلاع (apeirogon ) والمضلعات الزائفة (pseudogon) .

في الهندسة الإقليدية ، الطريقة الوحيدة لإنشاء مثل هذا المضلع هي جعل أطوال الأضلاع تميل إلى الصفر ويكون المضلع غير قابل للتمييز عن الدائرة، أو جعل الزوايا الداخلية تميل إلى 180 درجة ويقترب المضلع من خط مستقيم.

ومع ذلك، في الهندسة الزائدية، فإن الشكل المنتظم غير المضلع أو الشكل الزائف له أضلاع بأي طول (أي أنه يظل مضلعًا بأضلاع ملحوظة).

ستكون منصفات الأضلاع والزوايا ، تبعًا لطول الضلع والزاوية بين الأضلاع، متوازية أو متباعدة. إذا كانت المنصفات متوازية، فإن الشكل يكون شكلًا لا نهائيًا (أبيروغون) ويمكن رسمه داخل دوائر متحدة المركز ومحيطه .

إذا كانت منصفات الزوايا متباعدة بشكل متوازٍ، فإنها تكون شكلاً زائفاً ويمكن أن تكون محاطة بحلقات فائقة (لأن جميع رؤوسها على نفس المسافة من خط، وهو المحور، كما أن نقاط منتصف أضلاعها متساوية البعد عن نفس المحور).

كما هو الحال في المستوى الإقليدي، من الممكن أيضًا تقسيم المستوى الزائدي إلى فسيفساء باستخدام المضلعات المنتظمة كوجوه .

يوجد عدد لا نهائي من التبليطات المنتظمة القائمة على مثلثات شوارتز ( p, q, r ) حيث 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1، وحيث p و q و r هي رتب تناظر الانعكاس عند ثلاث نقاط من مثلث المجال الأساسي ، ومجموعة التناظر هي مجموعة مثلثات زائدية . كما يوجد عدد لا نهائي من التبليطات المنتظمة التي لا يمكن توليدها من مثلثات شوارتز، بعضها يتطلب، على سبيل المثال، أشكالًا رباعية كمجالات أساسية. ^{[ 3 ]}

بالمقارنة مع الهندسة الإقليدية، فإن الهندسة الزائدية تطرح العديد من الصعوبات لنظام الإحداثيات: مجموع زوايا الشكل الرباعي يكون دائمًا أقل من 360 درجة؛ لا توجد خطوط متساوية البعد، لذلك يجب أن يكون المستطيل المناسب محاطًا بخطين ودائرتين زائدتين؛ نقل قطعة مستقيمة بالتوازي حول شكل رباعي يتسبب في دورانه عند عودته إلى نقطة الأصل؛ إلخ.

مع ذلك، توجد أنظمة إحداثيات مختلفة للهندسة المستوية الزائدية. جميعها تعتمد على اختيار نقطة (الأصل) على خط موجه محدد ( المحور السيني )، وبعد ذلك تتوفر خيارات عديدة.

تُحسب إحداثيات لوباتشيفسكي x و y بإسقاط عمود على المحور x . يُمثل x نقطة بداية العمود، بينما يُمثل y المسافة على طول العمود من نقطة البداية إلى النقطة المعطاة (موجبة من جهة وسالبة من الجهة الأخرى).

يقيس نظام إحداثيات آخر المسافة من النقطة إلى الدائرة الأفقية التي تمر عبر نقطة الأصل المتمركزة حول${\displaystyle (0,+\infty )}$والطول على طول هذه الدورة الأفقية. ^{[ 5 ]}

تستخدم أنظمة الإحداثيات الأخرى نموذج كلاين أو نموذج قرص بوانكاريه الموصوف أدناه، وتأخذ الإحداثيات الإقليدية على أنها زائدية.

يتم إنشاء نظام إحداثيات شبيه بالإحداثيات الديكارتية ( x, y ) على المستوى الزائدي الموجه كما يلي. اختر خطًا في المستوى الزائدي مع اتجاه ونقطة أصل o على هذا الخط. ثم:

• الإحداثي السيني لنقطة ما هو المسافة الموقعة لإسقاطها على الخط (قاعدة القطعة المستقيمة العمودية على الخط من تلك النقطة) إلى نقطة الأصل؛
• الإحداثي y هو المسافة الموقعة من النقطة إلى الخط، مع الإشارة وفقًا لما إذا كانت النقطة على الجانب الموجب أو السالب من الخط الموجه.

المسافة بين نقطتين ممثلتين بـ ( x_i, y_i )، حيث i=1,2 في نظام الإحداثيات هذا هي$${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(\cosh y_{1}\cosh(x_{2}-x_{1})\cosh y_{2}-\sinh y_{1}\sinh y_{2}\right)\,.}$$

يمكن اشتقاق هذه الصيغة من الصيغ المتعلقة بالمثلثات الزائدية .

حقل موتر القياس المقابل هو:${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=\cosh ^{2}y\,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}$.

في نظام الإحداثيات هذا، تأخذ الخطوط المستقيمة أحد هذه الأشكال (( x , y ) هي نقطة على الخط؛ x₀ _، y₀ _، A ، و α هي معلمات) :

موازٍ تمامًا للمحور السيني

${\displaystyle \tanh(y)=\tanh(y_{0})\cosh(x-x_{0})}$

متوازية تقاربياً على الجانب السالب

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(x)}$

متوازية تقاربياً على الجانب الموجب

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(-x)}$

يتقاطعان بشكل عمودي

${\displaystyle x=x_{0}}$

يتقاطعان بزاوية α

${\displaystyle \tanh(y)=\tan(\alpha )\sinh(x-x_{0})}$

عموماً، لا تصح هذه المعادلات إلا في نطاق محدود (من قيم x ). عند حافة هذا النطاق، تتضخم قيمة y إلى ±ما لا نهاية.

في القرن التاسع عشر، خضعت الهندسة الزائدية لدراسة مستفيضة على يد نيكولاي لوباتشيفسكي ، ويانوس بولياي ، وكارل فريدريش غاوس، وفرانز تاورينوس . وخلافًا لمن سبقوهم، الذين سعوا فقط إلى إلغاء مسلمة التوازي من بديهيات الهندسة الإقليدية، أدرك هؤلاء العلماء أنهم اكتشفوا هندسة جديدة. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

كتب غاوس في رسالةٍ إلى فرانز تاورينوس عام ١٨٢٤ أنه قد أنشأها، لكنه لم ينشر عمله. أطلق غاوس عليها اسم " الهندسة غير الإقليدية " ^{[ ١٣ ]،} مما دفع العديد من المؤلفين المعاصرين إلى الاستمرار في اعتبار "الهندسة غير الإقليدية" و"الهندسة الزائدية" مترادفين. نشر تاورينوس نتائج حول حساب المثلثات الزائدية عام ١٨٢٦، وجادل بأن الهندسة الزائدية متسقة ذاتيًا، لكنه ظل يؤمن بالدور الخاص للهندسة الإقليدية. نُشر النظام الكامل للهندسة الزائدية بواسطة لوباتشيفسكي في عامي ١٨٢٩/١٨٣٠، بينما اكتشفه بولياي بشكل مستقل ونشره عام ١٨٣٢.

في عام 1868، قدم يوجينيو بلترامي نماذج للهندسة الزائدية، واستخدم ذلك لإثبات أن الهندسة الزائدية متسقة إذا وفقط إذا كانت الهندسة الإقليدية متسقة.

صاغ فيليكس كلاين مصطلح "الهندسة الزائدية" عام 1871. ^{[ 14 ]} وقد اتبع كلاين مبادرة آرثر كايلي لاستخدام تحويلات الهندسة الإسقاطية لإنتاج التماثلات . تعتمد الفكرة على استخدام القطع المخروطي أو السطح التربيعي لتحديد منطقة، واستخدام النسبة التبادلية لتحديد مقياس . التحويلات الإسقاطية التي تُبقي القطع المخروطي أو السطح التربيعي ثابتًا هي التماثلات. "أظهر كلاين أنه إذا كان المستوى المطلق لكايلي منحنى حقيقيًا، فإن الجزء من المستوى الإسقاطي في داخله يكون متماثلًا مع المستوى الزائدي..." ^{[ 15 ]}

كان لاكتشاف الهندسة الزائدية عواقب فلسفية مهمة. قبل اكتشافها ، نظر العديد من الفلاسفة (مثل هوبز وسبينوزا ) إلى الدقة الفلسفية من منظور "المنهج الهندسي"، في إشارة إلى منهج الاستدلال المستخدم في كتاب الأصول لإقليدس .

خلص كانط في كتابه "نقد العقل الخالص" إلى أن المكان (في الهندسة الإقليدية ) والزمان ليسا من اكتشاف البشر كسمات موضوعية للعالم، بل هما جزء من إطار منهجي لا مفر منه لتنظيم تجاربنا. ^{[ 16 ]}

يُقال إن غاوس لم ينشر شيئًا عن الهندسة الزائدية خوفًا من "غضب البويوتيين " (الذين وصفهم الأثينيون القدماء بالغباء ^{[ 17 ]} )، الأمر الذي كان سيُقوّض مكانته كأمير الرياضيات (باللاتينية: princeps mathematicorum). ^{[ 18 ]} وقد ثار غضب البويوتيين ثم انقضى، مما أعطى دفعة قوية لتحسينات كبيرة في الدقة الرياضية والفلسفة التحليلية والمنطق . وأُثبتت في النهاية اتساق الهندسة الزائدية ، وبذلك أصبحت فرعًا هندسيًا صحيحًا.

لأن الهندسة الإقليدية والزائدية والإهليلجية كلها متسقة، فإن السؤال يطرح نفسه: ما هي الهندسة الحقيقية للفضاء، وإذا كانت زائدية أو إهليلجية، فما هو انحناؤها؟

كان لوباتشيفسكي قد حاول بالفعل قياس انحناء الكون عن طريق قياس اختلاف المنظر لنجم الشعرى اليمانية واعتباره النقطة المثالية لزاوية التوازي . أدرك أن قياساته لم تكن دقيقة بما يكفي لإعطاء إجابة محددة، لكنه توصل إلى استنتاج مفاده أنه إذا كانت هندسة الكون زائدية، فإن طوله المطلق يساوي على الأقل مليون ضعف قطر مدار الأرض .2,000,000 وحدة فلكية  ، 10 فرسخ فلكي ⁾ . ^[ 19 ^] يجادل البعض بأن قياساته كانت معيبة منهجياً. ^{[ 20 ]}

توصل هنري بوانكاريه ، من خلال تجربته الفكرية حول العالم الكروي ، إلى استنتاج مفاده أن التجربة اليومية لا تستبعد بالضرورة وجود أشكال هندسية أخرى.

تُقدّم فرضية الهندسة قائمةً كاملةً تضم ثمانية احتمالات للهندسة الأساسية لفضائنا. تكمن المشكلة في تحديد أيّها ينطبق في أننا، للوصول إلى إجابة قاطعة، نحتاج إلى القدرة على دراسة أشكال ضخمة للغاية - أكبر بكثير من أي شيء على الأرض، أو ربما حتى في مجرتنا. ^{[ 21 ]}

تضع النسبية الخاصة المكان والزمان على قدم المساواة، بحيث يُنظر إلى هندسة الزمكان الموحد بدلاً من النظر إلى المكان والزمان بشكل منفصل. ^{[ 22 ] [ 23 ]} تحل هندسة مينكوفسكي محل هندسة غاليليو (وهي الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد مع الزمن في النسبية الغاليليوية ). ^{[ 24 ]}

في النسبية، بدلاً من الهندسة الإقليدية والقطع الناقص والقطع الزائد، فإن الهندسات المناسبة التي يجب مراعاتها هي فضاء مينكوفسكي ، وفضاء دي سيتر، وفضاء دي سيتر المضاد ، ^{[ 25 ] [ 26 ]} والتي تتوافق مع الصفر، والانحناء الموجب، والانحناء السالب على التوالي.

يدخل علم الهندسة الزائدية في النسبية الخاصة من خلال مفهوم السرعة النسبية ، الذي يُمثل السرعة ، ويُعبر عنه بزاوية زائدية . يُطلق على دراسة هندسة السرعة هذه اسم الهندسة الحركية . يتميز فضاء السرعات النسبية بهندسة زائدية ثلاثية الأبعاد، حيث تُحدد دالة المسافة من السرعات النسبية للنقاط "المجاورة". ^{[ 27 ]}

نموذج بلترامي-كلاين ، المعروف أيضًا باسم نموذج القرص الإسقاطي، ونموذج قرص كلاين، ونموذج كلاين ، سمي على اسم يوجينيو بلترامي وفيليكس كلاين .

بالنسبة للبعدين، يستخدم هذا النموذج الجزء الداخلي من دائرة الوحدة للمستوى الزائدي الكامل ، وأوتار هذه الدائرة هي الخطوط الزائدية.

بالنسبة للأبعاد الأعلى، يستخدم هذا النموذج الجزء الداخلي من كرة الوحدة ، وأوتار هذه الكرة ذات البعد n هي الخطوط الزائدية.

• يتميز هذا النموذج بأن الخطوط مستقيمة، لكن يعيبه أن الزوايا مشوهة (التحويل ليس متطابقًا )، كما أن الدوائر لا يتم تمثيلها كدوائر.
• المسافة في هذا النموذج هي نصف لوغاريتم النسبة المتقاطعة ، والتي قدمها آرثر كايلي في الهندسة الإسقاطية .

يستخدم نموذج قرص بوانكاريه ، المعروف أيضًا باسم نموذج القرص المطابق، الجزء الداخلي من دائرة الوحدة ، ولكن يتم تمثيل الخطوط بأقواس من الدوائر المتعامدة مع دائرة الحدود، بالإضافة إلى أقطار دائرة الحدود.

• يحافظ هذا النموذج على الزوايا، وبالتالي فهو متطابق . لذلك، فإن جميع التحويلات المتساوية القياس ضمن هذا النموذج هي تحويلات موبيوس .
• تظل الدوائر الموجودة بالكامل داخل القرص دوائر على الرغم من أن المركز الإقليدي للدائرة أقرب إلى مركز القرص من المركز الزائدي للدائرة.
• الدوائر الأفقية هي دوائر داخل القرص تكون مماسة لدائرة الحدود، باستثناء نقطة التماس.
• الدورات الفائقة هي أوتار مفتوحة النهاية وأقواس دائرية داخل القرص تنتهي على دائرة الحدود بزوايا غير متعامدة.

يعتبر نموذج بوانكاريه لنصف المستوى نصف المستوى الإقليدي، المحدد بخط B من المستوى، نموذجًا للمستوى الزائدي. ولا يتم تضمين الخط B في النموذج.

يمكن اعتبار المستوى الإقليدي مستوىً بنظام الإحداثيات الديكارتية ، ويتم اعتبار المحور السيني هو الخط B ، ويكون نصف المستوى هو النصف العلوي ( y > 0) من هذا المستوى.

• تكون الخطوط الزائدية إما أنصاف دوائر متعامدة مع B أو أشعة عمودية على B.
• يُعطى طول الفترة على شعاع بواسطة القياس اللوغاريتمي، لذا فهو ثابت تحت التحويل المتجانس.${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y),\quad \lambda >0.}$
• على غرار نموذج قرص بوانكاريه، يحافظ هذا النموذج على الزوايا، وبالتالي فهو متطابق . لذلك، فإن جميع التحويلات المتساوية القياس داخل هذا النموذج هي تحويلات موبيوس للمستوى.
• يُعد نموذج نصف المستوى هو نهاية نموذج قرص بوانكاريه الذي يكون حده مماسًا لـ B عند نفس النقطة بينما يؤول نصف قطر نموذج القرص إلى اللانهاية.

يستخدم نموذج القطع الزائد أو نموذج لورنتز قطعًا زائدًا دورانيًا ثنائي الأبعاد (مكونًا من ورقتين، ولكن باستخدام واحدة) مُضمنًا في فضاء مينكوفسكي ثلاثي الأبعاد . يُنسب هذا النموذج عمومًا إلى بوانكاريه، لكن رينولدز ^{[ 33 ]} يقول إن فيلهلم كيلينغ استخدم هذا النموذج في عام 1885.

• ينطبق هذا النموذج مباشرةً على النسبية الخاصة ، إذ يُعدّ فضاء مينكوفسكي ثلاثي الأبعاد نموذجًا للزمكان ، مع حذف أحد الأبعاد المكانية. ويمكن اعتبار القطع الزائد تمثيلًا للأحداث (المواقع في الزمكان) التي سيصل إليها مراقبون مختلفون يتحركون بالقصور الذاتي ، انطلاقًا من حدث مشترك، خلال زمن خاص ثابت .
• يمكن بعد ذلك تحديد المسافة الزائدية بين نقطتين على القطع الزائد من خلال السرعة النسبية بين المراقبين المتناظرين.
• يتعمم النموذج مباشرة إلى بُعد إضافي: ترتبط الهندسة القطعية ثلاثية الأبعاد بفضاء مينكوفسكي رباعي الأبعاد.

لا يُستخدم نموذج نصف الكرة الأرضية في كثير من الأحيان كنموذج بحد ذاته، ولكنه يعمل كأداة مفيدة لتصور التحولات بين النماذج الأخرى.

يستخدم نموذج نصف الكرة النصف العلوي من كرة الوحدة : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,z>0.}$

الخطوط الزائدية عبارة عن أنصاف دوائر متعامدة مع حدود نصف الكرة الأرضية.

يُعد نموذج نصف الكرة جزءًا من كرة ريمان ، وتعطي الإسقاطات المختلفة نماذج مختلفة للمستوى الزائدي:

• إسقاط مجسم من ${\displaystyle (0,0,-1)}$على متن الطائرة${\displaystyle z=0}$ تُسقط النقاط المقابلة على نموذج قرص بوانكاريه
• إسقاط مجسم من ${\displaystyle (0,0,-1)}$على السطح${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,z>0}$ تُسقط النقاط المقابلة على نموذج القطع الزائد
• إسقاط مجسم من${\displaystyle (-1,0,0)}$على متن الطائرة${\displaystyle x=1}$إسقاط النقاط المقابلة على نموذج نصف المستوى لبوانكاريه
• الإسقاط المتعامد على مستوى${\displaystyle z=C}$تُسقط النقاط المقابلة على نموذج بلترامي-كلاين .
• الإسقاط المركزي من مركز الكرة على المستوى${\displaystyle z=1}$تُسقط النقاط المقابلة على نموذج جانس

تصف جميع النماذج في جوهرها البنية نفسها. ويكمن الاختلاف بينها في أنها تمثل مخططات إحداثيات مختلفة موضوعة على نفس الفضاء المتري ، وهو المستوى الزائدي. وتتمثل السمة المميزة للمستوى الزائدي نفسه في امتلاكه انحناءً غاوسيًا سالبًا ثابتًا ، لا يتأثر بمخطط الإحداثيات المستخدم. وبالمثل، فإن الخطوط الجيوديسية ثابتة أيضًا: أي أن الخطوط الجيوديسية تُطابق خطوطًا جيوديسية أخرى عند تحويل الإحداثيات. ويُعرَّف علم الهندسة الزائدية عمومًا بدلالة الخطوط الجيوديسية وتقاطعاتها على المستوى الزائدي. ^{[ 34 ]}

بمجرد اختيارنا لمخطط إحداثيات (أحد "النماذج")، يمكننا دائمًا تضمينه في فضاء إقليدي ذي بُعد مماثل، لكن هذا التضمين ليس متساوي القياس (لأن انحناء الفضاء الإقليدي يساوي صفرًا). يمكن تمثيل الفضاء الزائدي بعدد لا نهائي من المخططات المختلفة؛ إلا أن التضمينات في الفضاء الإقليدي الناتجة عن هذه المخططات الأربعة المحددة تُظهر بعض الخصائص المثيرة للاهتمام.

بما أن النماذج الأربعة تصف نفس الفضاء المتري، فإنه يمكن تحويل كل منها إلى الآخر.

انظر، على سبيل المثال:

• علاقة نموذج بلترامي-كلاين بنموذج القطع الزائد ،
• علاقة نموذج بلترامي-كلاين بنموذج قرص بوانكاريه ،
• وعلاقة نموذج قرص بوانكاريه بنموذج القطع الزائد .