التحول الجامد

في الرياضيات ، التحويل الجامد (ويسمى أيضاً التحويل الإقليدي أو التماثل الإقليدي ) هو تحويل هندسي للفضاء الإقليدي يحافظ على المسافة الإقليدية بين كل زوج من النقاط. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

تشمل التحويلات الصلبة الدوران ، والانتقال ، والانعكاس ، أو أي تسلسل منها. يُستثنى الانعكاس أحيانًا من تعريف التحويل الصلب باشتراط أن يحافظ التحويل أيضًا على اتجاهية الأجسام في الفضاء الإقليدي. (لا يحافظ الانعكاس على الاتجاهية؛ على سبيل المثال، سيحول اليد اليسرى إلى يد يمنى). ولتجنب الالتباس، يُعرف التحويل الذي يحافظ على الاتجاهية بالحركة الصلبة ، أو الحركة الإقليدية ، أو التحويل الصلب الصحيح .

في البعد الثاني، تكون الحركة الصلبة إما انتقالية أو دورانية . في البعد الثالث، يمكن تحليل كل حركة صلبة إلى تركيب دوراني وانتقالي، ولذا تُسمى أحيانًا حركة دورانية انتقالية . في البعد الثالث، جميع الحركات الصلبة هي أيضًا حركات لولبية (وهذه هي نظرية تشالس ).

في الأبعاد التي لا تتجاوز ثلاثة، يمكن تحليل أي تحويل صلب غير مناسب إلى دوران غير مناسب متبوعًا بانتقال، أو إلى سلسلة من الانعكاسات .

أي جسم سيحتفظ بنفس الشكل والحجم بعد تحويل صلب مناسب.

جميع التحويلات الصلبة هي أمثلة على التحويلات الأفينية . تُعرف مجموعة جميع التحويلات الصلبة (الصحيحة وغير الصحيحة) باسم المجموعة الرياضية المعروفة باسم المجموعة الإقليدية ، ويُرمز لها بـ E( n ) للفضاءات الإقليدية ذات البعد n . أما مجموعة الحركات الصلبة فتُعرف باسم المجموعة الإقليدية الخاصة، ويُرمز لها بـ SE( n ) .

في علم الحركة ، تُستخدم الحركات الصلبة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد لتمثيل إزاحات الأجسام الصلبة . ووفقًا لنظرية تشالس ، يمكن التعبير عن كل تحويل صلب كحركة لولبية .

يُعرَّف التحويل الجامد رسميًا بأنه تحويل ينتج عنه، عند تطبيقه على أي متجه v ، متجهًا مُحوَّلًا T ( v ) على الشكل التالي:

حيث R ^T = R ⁻¹ (أي أن R هو تحويل متعامد )، و t هو متجه يعطي إزاحة الأصل.

بالإضافة إلى ذلك، فإن التحويل الصلب المناسب له

وهذا يعني أن R لا ينتج انعكاسًا، وبالتالي فهو يمثل دورانًا (تحويلًا متعامدًا يحافظ على الاتجاه). في الواقع، عندما تنتج مصفوفة التحويل المتعامد انعكاسًا، يكون محددها -1.

يلزم وجود مقياس للمسافة بين النقاط، أو مقياس متري ، للتأكد من أن التحويل صلب. صيغة المسافة الإقليدية لـ R ⁿ هي تعميم لنظرية فيثاغورس . تعطي الصيغة مربع المسافة بين نقطتين X و Y كمجموع مربعي المسافات على طول محاور الإحداثيات، أي $${\displaystyle d\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right)^{2}=\left(X_{1}-Y_{1}\right)^{2}+\left(X_{2}-Y_{2}\right)^{2}+\dots +\left(X_{n}-Y_{n}\right)^{2}=\left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right)\cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right).}$$ حيث X = ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) و Y = ( Y ₁ , Y ₂ , ..., Y _n ) ، وتشير النقطة إلى الضرب القياسي .

باستخدام صيغة المسافة هذه، فإن التحويل الصلب g  : R ⁿ → R ⁿ له الخاصية التالية: $${\displaystyle d(g(\mathbf {X} ),g(\mathbf {Y} ))^{2}=d(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )^{2}.}$$

إن عملية إزاحة الفضاء المتجهي تضيف متجهًا d إلى كل متجه في الفضاء، مما يعني أنها عملية تحويل.

من السهل إثبات أن هذا تحويل صلب من خلال إظهار أن المسافة بين المتجهات المترجمة تساوي المسافة بين المتجهات الأصلية: $${\displaystyle d(\mathbf {v} +\mathbf {d} ,\mathbf {w} +\mathbf {d} )^{2}=(\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )\cdot (\mathbf {v} -\mathbf {w} )=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2}.}$$

التحويل الخطي للفضاء المتجهي، L  : R ⁿ → R ⁿ ، يحافظ على التراكيب الخطية ، $${\displaystyle L(\mathbf {V} )=L(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )=aL(\mathbf {v} )+bL(\mathbf {w} ).}$$ يمكن تمثيل التحويل الخطي L بواسطة مصفوفة، وهذا يعني

حيث [ L ] عبارة عن مصفوفة من الرتبة n × n .

يُعتبر التحويل الخطي تحويلاً صلباً إذا حقق الشرط التالي: $${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2},}$$ إنه $${\displaystyle d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )\cdot ([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )=([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ))\cdot ([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} )).}$$ والآن، باستخدام حقيقة أن الضرب القياسي لمتجهين v و w يمكن كتابته كعملية المصفوفة v ^T w ، حيث يرمز T إلى منقولة المصفوفة، لدينا $$$$$ وبالتالي، يكون التحويل الخطي L صلباً إذا كانت مصفوفته تحقق الشرط $${\displaystyle [L]^{\mathsf {T}}[L]=[I],}$$ حيث [ I ] هي مصفوفة الوحدة. تُسمى المصفوفات التي تحقق هذا الشرط بالمصفوفات المتعامدة. ويتطلب هذا الشرط في الواقع أن تكون أعمدة هذه المصفوفات متجهات وحدة متعامدة.

تشكل المصفوفات التي تحقق هذا الشرط مجموعة رياضية تحت عملية ضرب المصفوفات تسمى المجموعة المتعامدة للمصفوفات n×n ويرمز لها بـ O ( n ) .

احسب محدد شرط المصفوفة المتعامدة للحصول على $${\displaystyle \det \left([L]^{\mathsf {T}}[L]\right)=\det[L]^{2}=\det[I]=1,}$$ وهذا يُبيّن أن مُحدِّد المصفوفة [ L ] قد يكون إما +1 أو -1. المصفوفات المتعامدة ذات المُحدِّد -1 هي انعكاسات، وتلك ذات المُحدِّد +1 هي دورانات. لاحظ أن مجموعة المصفوفات المتعامدة يُمكن اعتبارها مُكوِّنة من مُتشعبين في R ^{n × n} يفصل بينهما مجموعة المصفوفات الشاذة.

تُسمى مجموعة مصفوفات الدوران بالمجموعة المتعامدة الخاصة، ويُرمز لها بـ SO( n ) . وهي مثال على مجموعة لي لأنها تمتلك بنية متعددة الشعب.

• التشوه (الميكانيكا)
• الحركة (الهندسة)
• ديناميكيات الأجسام الصلبة