المشكلة الرابعة لهيلبرت

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 64 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعدّ المسألة الرابعة لهيلبرت في قائمة مسائل هيلبرت لعام 1900 مسألةً أساسيةً في الهندسة . في إحدى الصيغ المستمدة من الأصل، كان المطلوب هو إيجاد جميع الأشكال الهندسية - حتى التشاكل - التي تمتلك نظامًا بديهيًا للهندسة الكلاسيكية ( الإقليدية ، والزائدية، والقطع الناقص )، مع إضافة بديهيات التطابق التي تتضمن مفهوم حذف الزاوية، و" متباينة المثلث " التي تُعتبر بديهية.

إذا افترضنا بديهية الاستمرارية بالإضافة إلى ذلك، ففي حالة المستوى الإقليدي، نصل إلى المشكلة التي طرحها جان جاستون داربو : "تحديد جميع مسائل حساب التفاضل والتكامل في المستوى التي تكون حلولها جميع الخطوط المستقيمة المستوية." [ 1 ]

توجد عدة تفسيرات للبيان الأصلي لديفيد هيلبرت . ومع ذلك، تم البحث عن حل، وكان عالم الرياضيات الألماني جورج هامل أول من ساهم في حل مسألة هيلبرت الرابعة. [ 2 ]

قدّم عالم الرياضيات السوفيتي أليكسي بوغوريلوف حلاً معترفاً به في عام 1973. [ 3 ] [ 4 ] وفي عام 1976، اقترح عالم الرياضيات الأرمني روبن ف. أمبارتزوميان برهاناً آخر لمسألة هيلبرت الرابعة. [ 5 ]

البيان الأصلي

يناقش هيلبرت وجود الهندسة غير الإقليدية والهندسة غير الأرخميدية

...هندسة تتحقق فيها جميع بديهيات الهندسة الإقليدية العادية، وعلى وجه الخصوص جميع بديهيات التطابق باستثناء بديهية تطابق المثلثات (أو جميعها باستثناء نظرية تساوي زوايا القاعدة في المثلث متساوي الساقين)، والتي يُفترض فيها، بالإضافة إلى ذلك، أن مجموع ضلعين في كل مثلث أكبر من الضلع الثالث، كبديهية خاصة. [ 6 ]

انطلاقًا من فكرة أن "الخط المستقيم" يُعرَّف بأنه أقصر مسار بين نقطتين، يشير إلى أن تطابق المثلثات ضروري لإثبات إقليدس أن الخط المستقيم في المستوى هو أقصر مسافة بين نقطتين. ويلخص ذلك على النحو التالي:

تلعب نظرية الخط المستقيم باعتباره أقصر مسافة بين نقطتين، ونظرية إقليدس المكافئة لها حول أضلاع المثلث، دورًا هامًا ليس فقط في نظرية الأعداد، بل أيضًا في نظرية الأسطح وحساب التفاضل والتكامل. لهذا السبب، ولأنني أعتقد أن البحث المعمق في شروط صحة هذه النظرية سيلقي ضوءًا جديدًا على مفهوم المسافة، فضلًا عن مفاهيم أساسية أخرى، كمفهوم المستوى وإمكانية تعريفه باستخدام مفهوم الخط المستقيم، فإن بناء ومعالجة الأشكال الهندسية الممكنة هنا بشكل منهجي يبدو لي أمرًا مرغوبًا فيه. [ 6 ]

مقاييس مسطحة

مثلثات المنظورأبج{\displaystyle ABC}وأبج{\displaystyle abc}.

تنص نظرية ديزارغ ، نسبةً إلى جيرار ديزارغ ، على أنه إذا وقع مثلثان على مستوى بحيث تتقاطع الخطوط الواصلة بين رؤوسهما المتناظرة في نقطة واحدة، فإن النقاط الثلاث التي تتقاطع عندها امتدادات ثلاثة أزواج من الأضلاع المتناظرة للمثلثين تقع على خط مستقيم واحد. والشرط الضروري لحل مسألة هيلبرت الرابعة هو أن يكون الفضاء المتري الذي يحقق بديهيات هذه المسألة فضاءً ديزارغياً. أي:

  • إذا كان الفضاء ذا بُعد 2، فإن نظرية ديزارج وعكسها يجب أن يكونا صحيحين؛
  • إذا كان الفضاء ذا أبعاد أكبر من 2، فإن أي ثلاث نقاط يجب أن تقع على مستوى واحد.

بالنسبة للفضاءات الديزارجية، أثبت جورج هامل أن كل حل لمسألة هيلبرت الرابعة يمكن تمثيله في فضاء إسقاطي حقيقيRPن{\displaystyle RP^{n}}أو في مجال محدب منRPن{\displaystyle RP^{n}}إذا حدد المرء تطابق القطع المستقيمة من خلال تساوي أطوالها في مقياس خاص تكون فيه خطوط الفضاء الإسقاطي جيوديسية.

تُسمى المقاييس من هذا النوع بالمقاييس المسطحة أو الإسقاطية .

وهكذا، تم اختزال حل مشكلة هيلبرت الرابعة إلى حل مشكلة التحديد البنائي لجميع المقاييس المسطحة الكاملة.

حلّ هامل هذه المسألة بافتراض انتظام عالٍ للمقياس. [ 2 ] مع ذلك، وكما تُظهر أمثلة بسيطة، فإن فئة المقاييس المسطحة المنتظمة أصغر من فئة جميع المقاييس المسطحة. لا تُشير بديهيات الهندسات قيد الدراسة إلا إلى استمرارية المقاييس. لذا، لحلّ مسألة هيلبرت الرابعة حلاً كاملاً، من الضروري تحديد جميع المقاييس المسطحة المستمرة تحديداً بنائياً.

تاريخ ما قبل مشكلة هيلبرت الرابعة

نموذج كايلي-كلاين لهندسة لوباتشيفسكي

قبل عام 1900، كان نموذج كايلي-كلاين لهندسة لوباتشيفسكي في القرص الواحدي معروفًا، والذي بموجبه تُعتبر الخطوط الجيوديسية أوتارًا للقرص، وتُعرَّف المسافة بين النقاط على أنها لوغاريتم النسبة التبادلية لرباعية. بالنسبة للمقاييس الريمانية ثنائية الأبعاد، أثبت يوجينيو بلترامي (1835-1900) أن المقاييس المسطحة هي مقاييس ذات انحناء ثابت. [ 7 ]

بالنسبة للمقاييس الريمانية متعددة الأبعاد، تم إثبات هذا البيان بواسطة إي. كارتان في عام 1930.

في عام 1890، ولحل مسائل نظرية الأعداد، قدم هيرمان مينكوفسكي مفهومًا للفضاء الذي يسمى اليوم فضاء باناخ ذو الأبعاد المحدودة . [ 8 ]

مساحة مينكوفسكي

مساحة مينكوفسكي

يتركF0⊂هـن{\displaystyle F_{0}\subset \mathbb {E} ^{n}}ليكن سطحًا فائقًا محدبًا مضغوطًا في فضاء إقليدي معرفًا بواسطة

F0={y∈هـن:F(y)=1}،{\displaystyle F_{0}=\{y\in E^{n}:F(y)=1\},}

حيث الدالةF=F(y){\displaystyle F=F(y)}يستوفي الشروط التالية:

  1. F(y)⩾0،F(y)=0⇔y=0؛{\displaystyle F(y)\geqslant 0,\qquad F(y)=0\Leftrightarrow y=0;}
  2. F(λy)=λF(y)،λ⩾0؛{\displaystyle F(\lambda y)=\lambda F(y),\qquad \lambda \geqslant 0;}
  3. F(y)∈جك(هـن∖{0})،ك⩾3؛{\displaystyle F(y)\in C^{k}(E^{n}\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3;}
  4. والشكل∂2F2∂yأنا∂yجξأناξج>0{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial y^{i}\,\partial y^{j}}}\xi ^{i}\xi ^{j}>0}مؤكد بشكل قاطع.

يتم تحديد طول المتجه OA بواسطة:

‖ياأ‖م=‖ياأ‖هـ‖يال‖هـ.{\displaystyle \|OA\|_{M}={\frac {\|OA\|_{\mathbb {E} }}{\|OL\|_{\mathbb {E} }}}.}

يُطلق على الفضاء الذي يمتلك هذا المقياس اسم فضاء مينكوفسكي .

السطح الفائقF0{\displaystyle F_{0}}محدب وقد يكون غير منتظم. المقياس المحدد مسطح.

مساحات فينسلر

ليكن M وتيم={(x،y)|x∈م،y∈تيxم}{\displaystyle TM=\{(x,y)|x\in M,y\in T_{x}M\}}ليكن و مشعبًا أملسًا محدود الأبعاد، و حزمة مماسه ، على التوالي.F(x،y):تيم→[0،+∞){\displaystyle F(x,y)\colon TM\rightarrow [0,+\infty )}يُطلق عليه اسم مقياس فينسلر إذا

  1. F(x،y)∈جك(تيم∖{0})،ك⩾3{\displaystyle F(x,y)\in C^{k}(TM\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3}؛
  2. لأي نقطةx∈م{\displaystyle x\in M}تقييدF(x،y){\displaystyle F(x,y)}علىتيxم{\displaystyle T_{x}M}هذا هو المعيار في مينكوفسكي.

(م،F){\displaystyle (M,F)}هل هذا فضاء فينسلر ؟

هندسة هيلبرت

مقياس هيلبرت

يتركيو⊂(هـن+1،‖⋅‖هـ){\displaystyle U\subset (\mathbb {E} ^{n+1},\|\cdot \|_{\mathbb {E} })}ليكن مجموعة محدبة مفتوحة ومحدودة ذات حدود من الفئة C2 وانحناءات طبيعية موجبة. على غرار فضاء لوباتشيفسكي، فإن السطح الفائق∂يو{\displaystyle \partial U}يُطلق عليه اسم المطلق في هندسة هيلبرت. [ 9 ]

تُعرَّف مسافة هيلبرت (انظر الشكل) بواسطة

ديو(ص،q)=12ln⁡‖q-q1‖هـ‖q-ص1‖هـ×‖ص-ص1‖هـ‖ص-q1‖هـ.{\displaystyle d_{U}(p,q)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\|q-q_{1}\|_{E}}{\|q-p_{1}\|_{E}}}\times {\frac {\|p-p_{1}\|_{E}}{\|p-q_{1}\|_{E}}}.}
مقياس هيلبرت-فينسلر

المسافةديو{\displaystyle d_{U}}يؤدي إلى مقياس هيلبرت-فينسلرFيو{\displaystyle F_{U}}على U. لأي x∈يو{\displaystyle x\in U}وy∈تيxيو{\displaystyle y\in T_{x}U}(انظر الشكل)، لدينا

Fيو(x،y)=12‖y‖هـ(1‖x-x+‖هـ+1‖x-x-‖هـ).{\displaystyle F_{U}(x,y)={\frac {1}{2}}\|y\|_{\mathbb {E} }\left({\frac {1}{\|x-x_{+}\|_{\mathbb {E} }}}+{\frac {1}{\|x-x_{-}\|_{\mathbb {E} }}}\right).}

المقياس متناظر ومسطح. في عام 1895، قدم هيلبرت هذا المقياس كتعميم لهندسة لوباتشيفسكي. إذا كان السطح الفائق∂يو{\displaystyle \partial U}إذا كان الشكل بيضاويًا، فعندئذٍ لدينا هندسة لوباتشيفسكي.

مقياس الفانك

في عام 1930، قدم فونك مقياسًا غير متماثل. يتم تعريفه في مجال محدود بسطح محدب مغلق وهو مسطح أيضًا.

مقاييس سيجما

شرط كافٍ للمقاييس المسطحة

كان جورج هامل أول من ساهم في حل مسألة هيلبرت الرابعة. [ 2 ] وقد أثبت العبارة التالية.

نظرية . مقياس فينسلر منتظمF(x،y)=F(x1،...،xن،y1،...،yن){\displaystyle F(x,y)=F(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})}يكون السطح مستوياً إذا وفقط إذا استوفى الشروط التالية:

∂2F2∂xأنا∂yج=∂2F2∂xج∂yأنا،أنا،ج=1،...،ن.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial x^{i}\,\partial y^{j}}}={\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial x^{j}\,\partial y^{i}}},\,i,j=1,\ldots ,n.}

تركيبة كروفتون

لنفترض مجموعة من جميع الخطوط الموجهة على مستوى. يتم تعريف كل خط بواسطة المعاملاتρ{\displaystyle \rho }وφ،{\displaystyle \varphi ,}أينρ{\displaystyle \rho }هي المسافة من نقطة الأصل إلى الخط، وφ{\displaystyle \varphi }هي الزاوية بين الخط والمحور السيني . عندئذٍ، تكون مجموعة جميع الخطوط الموجهة متماثلة شكليًا مع أسطوانة دائرية نصف قطرها 1 ومساحة عنصرهادS=دρدφ{\displaystyle dS=d\rho \,d\varphi }. يتركγ{\displaystyle \gamma }لتكن منحنى قابلاً للتقويم على مستوى. إذن طولγ{\displaystyle \gamma }يكون ل=14∬Ωن(ρ،φ)دصدφ{\displaystyle L={\frac {1}{4}}\iint _{\Omega }n(\rho ,\varphi )\,dp\,d\varphi } أينΩ{\displaystyle \Omega }هي مجموعة من الخطوط التي تتقاطع مع المنحنىγ{\displaystyle \gamma }، ون(ص،φ){\displaystyle n(p,\varphi )}عدد نقاط تقاطع الخط معγ{\displaystyle \gamma }أثبت كروفتون هذا البيان في عام 1870. [ 10 ]

وينطبق بيان مماثل على الفضاء الإسقاطي.

مقياس بلاشكه-بوسمان

في عام 1966، قدم هربرت بوسمان، في محاضرته في المؤتمر الرياضي الدولي في موسكو، فئة جديدة من المقاييس المسطحة. على مجموعة من الخطوط على المستوى الإسقاطيRP2{\displaystyle RP^{2}}لقد قدم مقياسًا غير سالبًا إضافيًا بالكاملσ{\displaystyle \sigma }والتي تستوفي الشروط التالية:

  1. σ(τP)=0{\displaystyle \sigma (\tau P)=0}، أينτP{\displaystyle \tau P}هي مجموعة من الخطوط المستقيمة التي تمر عبر النقطة P ؛
  2. σ(τX)>0{\displaystyle \sigma (\tau X)>0}، أينτX{\displaystyle \tau X}هي مجموعة من الخطوط المستقيمة التي تمر عبر مجموعة X تحتوي على قطعة مستقيمة؛
  3. σ(RPن){\displaystyle \sigma (RP^{n})}محدود.

إذا نظرنا إلىσ{\displaystyle \sigma }مقياس في مجال محدب عشوائيΩ{\displaystyle \Omega }فضاء إسقاطيRP2{\displaystyle RP^{2}}إذاً، يجب استبدال الشرط 3 بما يلي: لأي مجموعة H بحيث تكون H مُحتواة فيΩ{\displaystyle \Omega }ولا يتقاطع إغلاق H مع حدودΩ{\displaystyle \Omega }عدم المساواة

σ(πح)<∞{\displaystyle \sigma (\pi H)<\infty }يحمل. [ 11 ]

باستخدام هذا المقياس،σ{\displaystyle \sigma }-metric onRP2{\displaystyle RP^{2}}يتم تعريفها بواسطة

|x،y|=σ(τ[x،y])،{\displaystyle |x,y|=\sigma \left(\tau [x,y]\right),}

أينτ[x،y]{\displaystyle \tau [x,y]}هي مجموعة الخطوط المستقيمة التي تتقاطع مع القطعة المستقيمة[x،y]{\displaystyle [x,y]}.

تُستنتج متباينة المثلث لهذا المقياس من نظرية باش .

نظرية .σ{\displaystyle \sigma }-metric onRP2{\displaystyle RP^{2}}مسطح، أي أن الخطوط الجيوديسية هي الخطوط المستقيمة للفضاء الإسقاطي.

لكن بوسمان كان بعيدًا كل البعد عن فكرة أنσ{\displaystyle \sigma }تستنفد المقاييس جميع المقاييس المسطحة. كتب: "إن حرية اختيار المقياس مع الجيوديسيات المعطاة كبيرة جدًا بالنسبة للمقاييس غير الريمانية لدرجة أنه قد يُشك في وجود توصيف مقنع لجميع فضاءات ديزارغي" . [ 11 ]

الحالة ثنائية الأبعاد

نظرية بوغوريلوف

تم إثبات النظرية التالية بواسطة بوغوريلوف في عام 1973 [ 3 ] [ 4 ]

نظرية . أي مقياس مسطح كامل متصل ثنائي الأبعاد هوσ{\displaystyle \sigma }-متري.

وهكذا تم حل مشكلة هيلبرت الرابعة للحالة ثنائية الأبعاد بشكل كامل.

نتيجة لذلك، يمكنك لصق نسختين من نفس الشكل المستوي المحدب جنبًا إلى جنب، مع وجود زاوية التواء بينهما، وستحصل على كائن ثلاثي الأبعاد بدون خطوط طي، حيث يمكن تطوير الوجهين .

توضيح لنظرية بوغوريلوف

براهين أمبارتسوميان

في عام 1976، اقترح أمبارتسوميان برهانًا آخر للمسألة الرابعة لهيلبرت. [ 5 ]

يستند برهانه إلى حقيقة أنه في الحالة ثنائية الأبعاد، يمكن استعادة المقياس بأكمله من خلال قيمه على ثنائيات الزوايا، وبالتالي يمكن تعريفه على المثلثات بنفس طريقة تعريف مساحة المثلث على الكرة. وبما أن متباينة المثلث صحيحة، فإنه يترتب على ذلك أن هذا المقياس موجب على المثلثات غير المنحلة، ومحدد على جميع مجموعات بوريل . مع ذلك، لا يمكن تعميم هذا الهيكل إلى أبعاد أعلى بسبب مسألة هيلبرت الثالثة التي حلها ماكس دين .

في الحالة ثنائية الأبعاد، تكون المضلعات ذات الحجم نفسه متطابقة تمامًا. وكما أوضح ديهن، فإن هذا لا ينطبق على الأبعاد الأعلى.

حالة ثلاثية الأبعاد

في الحالة ثلاثية الأبعاد، أثبت بوغوريلوف النظرية التالية.

نظرية. أي مقياس مسطح منتظم كامل ثلاثي الأبعاد هوσ{\displaystyle \sigma }-متري.

لكن في الحالة ثلاثية الأبعادσ{\displaystyle \sigma }يمكن أن تأخذ المقاييس قيمًا موجبة أو سالبة. الشروط اللازمة والكافية للمقياس المنتظم المحدد بواسطة دالة المجموعةσ{\displaystyle \sigma }لكي يكون السطح مستوياً، يجب استيفاء الشروط الثلاثة التالية:

  1. القيمةσ{\displaystyle \sigma }يساوي صفرًا على أي مستوى،
  2. القيمةσ{\displaystyle \sigma }في أي مخروط يكون غير سالب،
  3. القيمةσ{\displaystyle \sigma }تكون النتيجة موجبة إذا كان المخروط يحتوي على نقاط داخلية.

علاوة على ذلك، أظهر بوغوريلوف أن أي مقياس مسطح متصل كامل في الحالة ثلاثية الأبعاد هو نهاية منتظمةσ{\displaystyle \sigma }المقاييس ذات التقارب المنتظم على أي نطاق فرعي مضغوط من نطاق المقياس. وقد أطلق عليها اسم المقاييس المعممة.σ{\displaystyle \sigma }-المقاييس.

وهكذا استطاع بوغوريلوف إثبات العبارة التالية.

نظرية. في الحالة ثلاثية الأبعاد، أي مقياس مسطح كامل ومستمر هوσ{\displaystyle \sigma }-metric بالمعنى العام.

كتب بوسمان في مراجعته لكتاب بوغوريلوف "مسألة هيلبرت الرابعة": "تماشيًا مع روح العصر، اقتصر هيلبرت على n = 2 و3، وكذلك فعل بوغوريلوف. ومع ذلك، لا شك أن لهذا أسبابًا تعليمية، لأنه يخاطب شريحة واسعة من القراء. يكمن الفرق الحقيقي بين n = 2 و n > 2. تنجح طريقة بوغوريلوف مع n > 3، لكنها تتطلب تفاصيل تقنية أكثر". [ 12 ]

حالة متعددة الأبعاد

درس سزابو الحالة متعددة الأبعاد لمسألة هيلبرت الرابعة. [ 13 ] في عام 1986، أثبت، كما كتب، نظرية بوغوريلوف المعممة.

نظرية. كل فضاء ديسارجي ذو البعد n من الفئةجن+2،ن>2{\displaystyle C^{n+2},n>2}، يتم توليدها بواسطة بناء بلاشكه-بوسمان.

أσ{\displaystyle \sigma }- المقياس الذي يُنتج مقياسًا مسطحًا له الخصائص التالية:

  1. الσ{\displaystyle \sigma }-مقياس المستويات الفائقة التي تمر عبر نقطة ثابتة يساوي الصفر؛
  2. الσ{\displaystyle \sigma }-مقياس مجموعة المستويات الفائقة التي تتقاطع مع قطعتين [ x , y ]، [ y , z ]، حيث x و y و z ليست على خط مستقيم واحد، يكون موجبًا.

وقُدِّم مثالٌ على مقياسٍ مسطحٍ لا يُولَّد بواسطة بناء بلاشكه-بوسمان. ووصف سزابو جميع المقاييس المسطحة المتصلة بدلالة الدوال المعممة.

المسألة الرابعة لهيلبرت والأجسام المحدبة

ترتبط مسألة هيلبرت الرابعة ارتباطًا وثيقًا بخصائص الأجسام المحدبة . يُطلق على متعدد السطوح المحدب اسم "زونوتوب" إذا كان مجموع مينكوفسكي للقطاعات. ويُطلق على الجسم المحدب الذي يمثل نهاية للزونوتوبات في مقياس بلاشكه-هاوسدورف اسم " زونويد" . بالنسبة للزونويدات، تُمثل دالة الدعم بـ

أينσ(u){\displaystyle \sigma (u)}هو مقياس بوريل موجب زوجي على الكرةSن-1{\displaystyle S^{n-1}}.

يتم توليد فضاء مينكوفسكي بواسطة بناء بلاشكه-بوسمان إذا وفقط إذا كانت دالة دعم المؤشر على شكل (1)، حيثσ(u){\displaystyle \sigma (u)}يكون زوجيًا وليس بالضرورة أن يكون له مقياس بوريل موجب. [ 14 ] تسمى الأجسام المحصورة بواسطة هذه الأسطح الفائقة بالزونويدات المعممة .

ثماني السطوح|x1|+|x2|+|x3|≤1{\displaystyle |x_{1}|+|x_{2}|+|x_{3}|\leq 1}في الفضاء الإقليديهـ3{\displaystyle E^{3}}ليس شكلاً زونويدياً معمّماً. من البيان أعلاه، يتبين أن المقياس المسطح لفضاء مينكوفسكي ذو المعيار‖x‖=الأعلى{|x1|،|x2|،|x3|}{\displaystyle \|x\|=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|\}}لا يتم توليدها بواسطة بناء بلاشكه-بوسمان.

تعميمات لمسألة هيلبرت الرابعة

تم العثور على تطابق بين مقاييس فينسلر المستوية ذات البعد n والأشكال التبسيطية الخاصة على مشعب غراسمانجي(ن+1،2){\displaystyle G(n+1,2)}بهـن+1{\displaystyle E^{n+1}}[ 15 ]​

تم النظر في حلول دورية لمسألة هيلبرت الرابعة  :

  1. ليكن ( M , g ) مشعبًا ريمانيًا إقليديًا محليًا مضغوطًا. افترض أنج2{\displaystyle C^{2}}يُعطى مقياس فينسلر على M بنفس الجيوديسيات الموجودة في المقياس g . عندئذٍ، يكون مقياس فينسلر مجموع مقياس مينكوفسكي محليًا وشكل تفاضلي مغلق من الدرجة الأولى. [ 16 ]
  2. ليكن ( M , g ) فضاءً ريمانيًا متراصًا ومتناظرًا من الرتبة أكبر من واحد. إذا كان F فضاءً متناظرًاج2{\displaystyle C^{2}}إذا كانت لدينا متريّة فينسلر تتطابق خطوطها الجيوديسية مع خطوط متريّة ريمان g ، فإنّ ( M , g ) فضاء فينسلر متناظر. [ 16 ] لم يُثبت بعدُ نظير هذه النظرية للفضاءات المتناظرة من الرتبة الأولى.

يمكن إيجاد عرض آخر لمشكلة هيلبرت الرابعة في أعمال بايفا. [ 17 ]

مشاكل لم يتم حلها

  1. لم يتم حل مشكلة هيلبرت الرابعة المتعلقة بمقياس فينسلر غير المتماثل حتى الآن.
  2. وصف المقياس علىRPن{\displaystyle RP^{n}}لم يتم تحديد أي المستويات k التي تقلل من مساحة k (بوسيمان). [ 18 ]

مراجع

  1. ^ دربوكس، جاستون (1894). دروس حول النظرية العامة للأسطح . المجلد.  ثالثا. باريس.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  2. 1 2 3 هامل، جورج (1903). "Uber die Geometrien in denen die Geraden die Kürzesten sind" . الرياضيات أنالن . 57 (2): 221-264 . دوى : 10.1007 / BF01444348 .
  3. 1 2 أ. ب. بوجوريلوف، الحل الرابع لمشاكل جيلبرتا ، DAHN CSSR № 208، t.1 (1973)، 46–49. الترجمة الإنجليزية: Pogorelov، AV (1973). “الحل الكامل لمشكلة هيلبرت الرابعة ”. دوكلادي أكاديمي ناوك SSSR . 208 (1): 48 – 52.
  4. 1 2 أ. ب. بوجوريلوف، شيتفيرتايا مشكلة جيلبرتا . Наука، 1974. الترجمة الإنجليزية: AV Pogorelov، مشكلة هيلبرت الرابعة ، سلسلة Scripta في الرياضيات، ونستون وأولاده، 1979.
  5. 1 2 R. V. Ambartzumian، ملاحظة حول المقاييس الزائفة على المستوى، Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete 1976، المجلد 37، العدد 2، الصفحات من 145 إلى 155
  6. 1 2 هيلبرت، ديفيد، “مشكلة الرياضيات” Göttinger Nachrichten ، (1900)، الصفحات من 253 إلى 297، وفي أرشيف دير الرياضيات والفيزياء ، (3) 1 (1901)، 44–63 و213–237. نشر بالترجمة الإنجليزية بواسطة د. مابي وينتون نيوسون، هيلبرت، ديفيد (1902). "مسائل رياضية" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 8 (10): 437-479 . دوى : 10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3 .. [العنوان الكامل لمجلة Göttinger Nachrichten هو Nachrichten von der Königl. جيزيلشافت دير فيس. زو غوتنغن.]
  7. ^ بلترامي ، أوجينيو (1865). "حل المشكلة: قم بتوضيح ونقطة سطح فوق بيانو بطريقة تجعل الخط الجيوديسي يمثل الخط الشفاف" . Annali di Matematica Pura ed Applicata . 7 : 185 – 204. دوى : 10.1007 / BF03198517 . S2CID 123192933 . 
  8. ^ مينكوفسكي ، هيرمان (1953). هندسة دير زحلين . بي جي تيوبنر، لايبزيغ-برلين.
  9. ^ هيلبرت ، ديفيد (1895). "Uber die gerade Lineie als kürzeste Verbindung zweier Punkte" . الرياضيات أنالن . 46 : 91 – 96. دوى : 10.1007 / BF02096204 .
  10. ↑ سانتالو، لويس أ. (1967). "الهندسة التكاملية". في: تشيرن، إس إس (محرر). دراسات في الهندسة والتحليل العالميين . الجمعية الرياضية الأمريكية، واشنطن العاصمة، ص 147-195 . 
  11. 1 2 بوسمان، هربرت (1955). هندسة الجيوديسيات . دار النشر الأكاديمية، نيويورك.
  12. ↑ بوسمان، هربرت (1981). "مراجعة لكتاب: أ. ف. بوغوريلوف، المسألة الرابعة لهيلبرت" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . السلسلة الجديدة. 4 (1): 87-90 . doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14867-9 .
  13. ↑ سزابو، زي (1986). "مسألة هيلبرت الرابعة 1" . التقدم في الرياضيات . 59 (3): 185-301 . doi : 10.1016/0001-8708(86)90056-3 .
  14. ^ ألكسندر رالف (1988). “نظرية Zonoid ومشكلة هيلبرت الرابعة”. Geometriae Dedicata . 28 (2): 199-211 . دوى : 10.1007 / BF00147451 . S2CID 119391326 . 
  15. ↑ ألفاريز بايفا، جيه سي (2005). "الهندسة التبسيطية ومسألة هيلبرت الرابعة" . مجلة الهندسة التفاضلية . 69 (2): 353-378 . doi : 10.4310/jdg/1121449109 .
  16. 1 2 ألفاريز بايفا، جيه سي؛ باربوسا غوميز، جيه. (2018). "حلول دورية لمسألة هيلبرت الرابعة". مجلة الطوبولوجيا والتحليل . arXiv : 1809.02783 . doi : 10.1142/S1793525321500576 . S2CID 240026741 . 
  17. ↑ ألفاريز بايفا، جيه سي (2003). "مسألة هيلبرت الرابعة في بعدين". MASS Selecta : 165– 183.
  18. ↑ بابادوبولوس، أثاناس (2014). "مسألة هيلبرت الرابعة" . في: بابادوبولوس، أثاناس؛ ترويانوف، مارك (محرران). دليل هندسة هيلبرت . محاضرات IRMA في الرياضيات والفيزياء النظرية. المجلد 22. الجمعية الرياضية الأوروبية. الصفحات 391-431 . doi : 10.4171/147-1/15 . ISBN   978-3-03719-147-7.

للمزيد من القراءة