طريقة تحليل الهوموتوبي

الموسوعة الحرة
المساران المتقطعان الموضحان أعلاه متماثلان بالنسبة لنهايتيهما. يمثل الرسم المتحرك أحد التماثلات الممكنة.

تُعدّ طريقة تحليل التماثل ( HAM ) تقنية شبه تحليلية لحل المعادلات التفاضلية العادية / الجزئية غير الخطية . وتعتمد هذه الطريقة على مفهوم التماثل من علم الطوبولوجيا لتوليد حل متسلسل متقارب للأنظمة غير الخطية. ويتحقق ذلك باستخدام متسلسلة ماكلورين للتماثل لمعالجة اللاخطية في النظام.

طُبقت طريقة التحليل الهرمي (HAM) لأول مرة لحساب النقل الباليستي للإلكترونات الساخنة في هياكل غير متجانسة دون الميكرون عن طريق حل نظام من المعادلات التفاضلية غير الخطية في عام 1988 على يد كلاوس هيلبراند، من جامعة RWTH آخن . نُشر هذا في أطروحته عام 1989، انظر المرجع.طُوِّرت طريقة التحليل التوافقي المتجانس (HAM) لأول مرة عام 1992 على يد لياو شيجون من جامعة شنغهاي جياوتونغ في أطروحته للدكتوراه [ 1 ] ، ثم عُدِّلت [ 2 ] عام 1997 لإدخال مُعامل مساعد غير صفري، يُشار إليه بمعامل التحكم في التقارب ، c₀ ، وذلك لإنشاء تماثل على نظام تفاضلي في شكله العام. [ 3 ] يُعدّ معامل التحكم في التقارب متغيرًا غير فيزيائي يُوفّر طريقة بسيطة للتحقق من تقارب سلسلة الحلول وفرضه. وتُعتبر قدرة طريقة التحليل التوافقي المتجانس على إظهار تقارب حل السلسلة بشكل طبيعي أمرًا غير مألوف في المناهج التحليلية وشبه التحليلية للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية.

صفات

تتميز طريقة التحليل التوافقي المتجانس (HAM) عن غيرها من الطرق التحليلية في أربعة جوانب مهمة. أولًا، هي طريقة لتوسيع المتسلسلة لا تعتمد بشكل مباشر على المعاملات الفيزيائية الصغيرة أو الكبيرة. وبالتالي، فهي قابلة للتطبيق ليس فقط على المسائل غير الخطية الضعيفة، بل أيضًا على المسائل غير الخطية القوية، متجاوزةً بذلك بعض القيود المتأصلة في طرق الاضطراب القياسية . ثانيًا، تُعد HAM طريقة موحدة لطريقة ليابونوف للمعاملات الصغيرة الاصطناعية، وطريقة توسيع دلتا، وطريقة تفكيك أدوميان [ 4 ] ، وطريقة اضطراب التماثل [ 5 ] [ 6 ] . غالبًا ما تسمح عمومية هذه الطريقة بتقارب قوي للحل على نطاقات مكانية ومعاملية أوسع. ثالثًا، توفر HAM مرونة فائقة في التعبير عن الحل وكيفية الحصول عليه بشكل صريح. فهي تمنح حرية كبيرة في اختيار دوال الأساس للحل المطلوب والمؤثر الخطي المساعد المقابل للتماثل. وأخيرًا، على عكس تقنيات التقريب التحليلي الأخرى، توفر طريقة HAM طريقة بسيطة لضمان تقارب سلسلة الحلول.

تتميز طريقة تحليل التماثل بإمكانية دمجها مع تقنيات أخرى مستخدمة في المعادلات التفاضلية غير الخطية، مثل الطرق الطيفية [ 7 ] وتقريبات باديه . كما يمكن دمجها مع طرق حسابية، مثل طريقة العناصر الحدية، لتمكين الطريقة الخطية من حل الأنظمة غير الخطية. وعلى عكس تقنية الاستمرار التماثلي العددية ، تُعد طريقة تحليل التماثل طريقة تقريب تحليلية وليست طريقة حسابية منفصلة. علاوة على ذلك، تستخدم طريقة تحليل التماثل معامل التماثل على المستوى النظري فقط لإثبات إمكانية تقسيم النظام غير الخطي إلى مجموعة لانهائية من الأنظمة الخطية.والتي يتم حلها تحليليًا، بينما تتطلب طرق الاستمرار حل نظام خطي منفصل حيث يتم تغيير معلمة التماثل لحل النظام غير الخطي.

التطبيقات

خلال العشرين عامًا الماضية، طُبقت طريقة التحليل التقريبي المتجانس (HAM) لحل عدد متزايد من المعادلات التفاضلية العادية / الجزئية غير الخطية في مجالات العلوم والمالية والهندسة. [ 8 ] [ 9 ] على سبيل المثال، تم اكتشاف موجات رنينية متعددة في حالة الاستقرار في المياه العميقة والمحدودة [ 10 ] باستخدام معيار رنين الموجة لعدد عشوائي من موجات الجاذبية المتحركة ؛ وقد توافق هذا مع معيار فيليبس لأربع موجات ذات سعة صغيرة. علاوة على ذلك، يسمح نموذج الموجة الموحد المُطبق باستخدام طريقة التحليل التقريبي المتجانس [ 11 ] ليس فقط بالموجات الدورية/المنفردة التقدمية التقليدية السلسة، بل أيضًا بالموجات المنفردة التقدمية ذات القمة المدببة في المياه المحدودة. يُظهر هذا النموذج أن الموجات المنفردة ذات القمة المدببة تُعد حلولًا متسقة مع الحلول السلسة المعروفة. بالإضافة إلى ذلك، تم تطبيق HAM على العديد من المشكلات غير الخطية الأخرى مثل نقل الحرارة غير الخطي ، [ 12 ] الدورة الحدية للأنظمة الديناميكية غير الخطية، [ 13 ] خيار البيع الأمريكي ، [ 14 ] معادلة نافيير-ستوكس الدقيقة ، [ 15 ] تسعير الخيارات في ظل التقلب العشوائي ، [ 16 ] التدفقات الكهروهيدروديناميكية ، [ 17 ] معادلة بواسون-بولتزمان لأجهزة أشباه الموصلات، [ 18 ] وغيرها.

وصف رياضي موجز

تحويل نظائر فنجان القهوة إلى شكل دونات ( حلقة ).

لنفترض معادلة تفاضلية غير خطية عامة

شمال[u(x)]=0{\displaystyle {\mathcal {N}}[u(x)]=0}،

أينشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}هو مؤثر غير خطي. ليكنل{\displaystyle {\mathcal {L}}}لنرمز إلى مؤثر خطي مساعد، و u₀ ( x ) إلى قيمة ابتدائية لـ u ( x )، و c₀ إلى ثابت (يُسمى معامل التحكم في التقارب). باستخدام معامل التضمين q ∈ [0,1] من نظرية التماثل، يمكن بناء عائلة من المعادلات.

(1-q)ل[يو(x;q)-u0(x)]=ج0qشمال[يو(x;q)]،{\displaystyle (1-q){\mathcal {L}}[U(x;q)-u_{0}(x)]=c_{0}\,q\,{\mathcal {N}[U(x;q)],}

تُسمى هذه المعادلة بمعادلة التشوه من الرتبة الصفرية، والتي يتغير حلها باستمرار بالنسبة لمعامل التضمين q ∈ [0,1]. وهي المعادلة الخطية.

ل[يو(x;q)-u0(x)]=0،{\displaystyle {\mathcal {L}}[U(x;q)-u_{0}(x)]=0,}

مع وجود تخمين أولي معروف U ( x ; 0) = u0 ( x ) عندما q = 0، ولكنه مكافئ للمعادلة غير الخطية الأصليةشمال[u(x)]=0{\displaystyle {\mathcal {N}}[u(x)]=0}عندما تكون قيمة q تساوي 1، أي U ( x ; 1) = u ( x ). لذلك، مع ازدياد قيمة q من 0 إلى 1، يتغير حل معادلة التشوه من الرتبة الصفرية U ( x ; q ) ( أو يتشوه) من القيمة الابتدائية المختارة u0 ( x ) إلى حل المعادلة غير الخطية المدروسة u ( x ).

بتوسيع U ( x ; q ) في متسلسلة تايلور حول q = 0، نحصل على متسلسلة ماكلورين الهوموتوبية

يو(x;q)=u0(x)+∑م=1∞uم(x)qم.{\displaystyle U(x;q)=u_{0}(x)+\sum _{m=1}^{\infty }u_{m}(x)\,q^{m}.}

بافتراض أن ما يسمى بمعامل التحكم في التقارب c 0 لمعادلة التشوه من الرتبة الصفرية قد تم اختياره بشكل صحيح بحيث تكون المتسلسلة المذكورة أعلاه متقاربة عند q = 1، فإننا نحصل على حل متسلسلة التماثل.

u(x)=u0(x)+∑م=1∞uم(x).{\displaystyle u(x)=u_{0}(x)+\sum _{m=1}^{\infty }u_{m}(x).}

من معادلة التشوه من الرتبة الصفرية، يمكن اشتقاق المعادلة الحاكمة لـ u m ( x ) مباشرة

ل[uم(x)-χمuم-1(x)]=ج0Rم[u0،u1،...،uم-1]،{\displaystyle {\mathcal {L}}[u_{m}(x)-\chi _{m}u_{m-1}(x)]=c_{0}\,R_{m}[u_{0},u_{1},\ldots ,u_{m-1}],}

تُسمى معادلة التشوه من الرتبة m ، حيثχ1=0{\displaystyle \chi _{1}=0}وχك=1{\displaystyle \chi _{k}=1}عندما يكون k > 1، فإن الطرف الأيمن R m يعتمد فقط على النتائج المعروفة u 0 ، u 1 ، ... ، u m  −  1 ويمكن الحصول عليه بسهولة باستخدام برامج الجبر الحاسوبي . وبهذه الطريقة، تتحول المعادلة غير الخطية الأصلية إلى عدد لا نهائي من المعادلات الخطية، دون افتراض أي معلمات فيزيائية صغيرة أو كبيرة.

بما أن طريقة التحليل التقريبي المتجانس (HAM) تعتمد على التماثل، فإن المرء يتمتع بحرية كبيرة في اختيار التخمين الأولي u 0 ( x )، والمؤثر الخطي المساعدل{\displaystyle {\mathcal {L}}}ومعامل التحكم في التقارب c₀ في معادلة التشوه من الرتبة الصفرية. بالتالي، تتيح طريقة التقريب التحليلي المتجانس (HAM) للرياضي حرية اختيار نوع معادلة التشوه من الرتبة العليا ودوال الأساس لحلها. تُحدد القيمة المثلى لمعامل التحكم في التقارب c₀ من خلال الحد الأدنى لمربع الخطأ المتبقي للمعادلات الحاكمة و/أو الشروط الحدية بعد حل الشكل العام للتخمين الأولي المختار والمؤثر الخطي. لذا، يُعد معامل التحكم في التقارب c₀ طريقة بسيطة لضمان تقارب حل متسلسلة التماثل ، وهو ما يميز طريقة التقريب التحليلي المتجانس (HAM) عن طرق التقريب التحليلي الأخرى. تُقدم هذه الطريقة تعميمًا مفيدًا لمفهوم التماثل.

الجبر الحاسوبي وخوارزمية HAM

طريقة التقريب التحليلي المتجانس (HAM) هي طريقة تقريب تحليلية مصممة لعصر الحوسبة بهدف "الحوسبة باستخدام الدوال بدلًا من الأرقام". وبالاقتران مع نظام جبر حاسوبي مثل Mathematica أو Maple ، يمكن الحصول على تقريبات تحليلية لمسائل شديدة اللاخطية برتبة عالية جدًا باستخدام HAM في غضون ثوانٍ معدودة. واستلهامًا من التطبيقات الناجحة الأخيرة لـ HAM في مختلف المجالات، تم توفير حزمة برمجية لبرنامج Mathematica تعتمد على HAM، تُسمى BVPh، عبر الإنترنت لحل مسائل القيم الحدية اللاخطية.BVPh هي حزمة برمجية لحل المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية للغاية ذات النقاط الشاذة، والحلول المتعددة، وشروط الحدود متعددة النقاط، سواء في فترة محدودة أو غير محدودة، وتدعم أنواعًا معينة من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية. [ 8 ] كما تم تطوير برنامج APOh، وهو برنامج Mathematica آخر قائم على طريقة التحليل المتجانس (HAM)، لحل تقريب تحليلي صريح لحدود الممارسة المثلى لخيار البيع الأمريكي، وهو متاح أيضًا عبر الإنترنت..

تحليل استجابة التردد للمذبذبات غير الخطية

أُفيد مؤخرًا أن طريقة التحليل التقريبي المتجانس (HAM) مفيدة في الحصول على حلول تحليلية لمعادلات استجابة التردد غير الخطية . وتستطيع هذه الحلول رصد سلوكيات غير خطية متنوعة، مثل سلوكيات التصلب والتليين والسلوكيات المختلطة للمذبذب. [ 19 ] [ 20 ] كما تُفيد هذه المعادلات التحليلية في التنبؤ بالفوضى في الأنظمة غير الخطية. [ 21 ]

مراجع

  1. ↑ لياو، إس جيه (1992)، تقنية تحليل التماثل المقترحة لحل المسائل غير الخطية ، أطروحة دكتوراه، جامعة شنغهاي جياو تونغ
  2. ↑ لياو، إس جيه (1999)، "تقريب تحليلي صريح تمامًا لمسائل تدفق بلاسيوس اللزج"، المجلة الدولية للميكانيكا غير الخطية ، 34 (4): 759-778 ، Bibcode : 1999IJNLM..34..759L ، doi : 10.1016/S0020-7462(98)00056-0
  3. ↑ لياو، إس جيه (2003)، ما وراء الاضطراب: مقدمة في طريقة تحليل التماثل ، بوكا راتون: تشابمان آند هول/ سي آر سي برس، رقم ISBN 978-1-58488-407-1
  4. ↑ أدوميان، ج. (1994). حل مسائل الفيزياء الحدودية: طريقة التفكيك . دار نشر كلوير الأكاديمية.
  5. ↑ ليانغ، سونغشين؛ جيفري، ديفيد ج. (2009)، "مقارنة بين طريقة تحليل التماثل وطريقة اضطراب التماثل من خلال معادلة تطورية"، الاتصالات في العلوم غير الخطية والمحاكاة العددية ، 14 (12): 4057-4064 ، Bibcode : 2009CNSNS..14.4057L ، doi : 10.1016/j.cnsns.2009.02.016
  6. ↑ ساجد، م.؛ حياة، ت. (2008)، "مقارنة بين طريقتي HAM وHPM في معادلات التوصيل الحراري والحمل الحراري غير الخطية"، التحليل غير الخطي: تطبيقات العالم الحقيقي ، 9 (5): 2296-2301 ، doi : 10.1016/j.nonrwa.2007.08.007
  7. ↑ موتسا، إس إس؛ سيباندا، ب؛ عواد، إف جي؛ شاتيي، إس (2010)، "طريقة جديدة لتحليل التماثل الطيفي لمسألة جيفري-هاميل المغناطيسية المائية"، الحوسبة والموائع ، 39 (7): 1219-1225 ، doi : 10.1016/j.compfluid.2010.03.004
  8. 1 2 لياو، إس جيه (2012)، طريقة تحليل التماثل في المعادلات التفاضلية غير الخطية ، برلين وبكين: سبرينغر ودار النشر للتعليم العالي، ISBN 978-7-04-032298-9
  9. ↑ فاجرافيلو، ك.؛ فان جوردر (2013)، ظواهر التدفق غير الخطي وتحليل التماثل ، برلين وبكين: سبرينغر ودار النشر للتعليم العالي، ISBN 978-3-642-32102-3
  10. ↑ Xu, DL; Lin, ZL; Liao, SJ; Stiassnie, M. (2012), "حول الموجات التقدمية الرنانة الكاملة في حالة الاستقرار في الماء ذي العمق المحدود"، مجلة ميكانيكا الموائع ، 710 : 379-418 ، Bibcode : 2012JFM...710..379X ، doi : 10.1017/jfm.2012.370 ، S2CID 122094345 
  11. ↑ لياو، إس جيه (2013)، "هل توجد بالفعل موجات مائية منفردة ذات قمة حادة؟"، الاتصالات في العلوم غير الخطية والمحاكاة العددية ، 19 (6): 1792-1821 ، arXiv : 1204.3354 ، Bibcode : 2014CNSNS..19.1792L ، doi : 10.1016/j.cnsns.2013.09.042 ، S2CID 119203215 
  12. ↑ عباسبندي، س. (2006)، "تطبيق طريقة تحليل التماثل على المعادلات غير الخطية الناشئة في انتقال الحرارة"، رسائل الفيزياء أ ، 360 (1): 109-113 ، Bibcode : 2006PhLA..360..109A ، doi : 10.1016/j.physleta.2006.07.065
  13. ↑ تشين، واي إم؛ ليو، جيه كيه (2009)، "حل صالح بشكل موحد للدورة الحدية لمعادلة دافينغ-فان دير بول"، اتصالات بحوث الميكانيكا ، 36 (7): 845-850 ، doi : 10.1016/j.mechrescom.2009.06.001
  14. ↑ تشو، إس بي (2006)، "حل دقيق وصريح لتقييم خيارات البيع الأمريكية"، التمويل الكمي ، 6 (3): 229-242 ، doi : 10.1080/14697680600699811 ، S2CID 121851109 
  15. ↑ توركييلمازوغلو، م. (2009)، "حلول تحليلية بحتة لتدفق الطبقة الحدية القابلة للانضغاط الناتج عن قرص دوار مسامي مع انتقال الحرارة"، فيزياء الموائع ، 21 (10): 106104–106104–12، Bibcode : 2009PhFl...21j6104T ، doi : 10.1063/1.3249752
  16. ↑ بارك، سانغ هيون؛ كيم، جيونغ هون (2011)، "طريقة تحليل التماثل لتسعير الخيارات في ظل التقلب العشوائي"، رسائل الرياضيات التطبيقية ، 24 (10): 1740-1744 ، doi : 10.1016/j.aml.2011.04.034
  17. ↑ ماستروبيراردينو، أ. (2011)، "طريقة تحليل التماثل المطبقة على التدفق الكهروهيدروديناميكي"، مجلة الاتصالات في العلوم غير الخطية والمحاكاة العددية ، 16 (7): 2730-2736 ، رمز Bibcode : 2011CNSNS..16.2730M ، doi : 10.1016/j.cnsns.2010.10.004
  18. ↑ نصار، كريستوفر جيه؛ ريفيلي، جوزيف إف؛ بومان، روبرت جيه (2011)، "تطبيق طريقة تحليل التماثل على معادلة بواسون-بولتزمان لأجهزة أشباه الموصلات"، مجلة الاتصالات في العلوم غير الخطية والمحاكاة العددية ، 16 (6): 2501-2512 ، رمز Bibcode : 2011CNSNS..16.2501N ، doi : 10.1016/j.cnsns.2010.09.015
  19. ↑ تاجادوديانفار، فريد (2017). "الديناميكيات غير الخطية لرنانات MEMS/NEMS: حل تحليلي باستخدام طريقة تحليل التماثل". تقنيات الأنظمة الدقيقة . 23 (6): 1913-1926 . Bibcode : 2017MiTec..23.1913T . doi : 10.1007/s00542-016-2947-7 . S2CID 113216381 . 
  20. ↑ تاجادوديانفر، فريد (مارس 2015). "حول ديناميكيات الرنانات الميكروية/النانوية ثنائية الاستقرار: الحل التحليلي والسلوك غير الخطي". الاتصالات في العلوم غير الخطية والمحاكاة العددية . 20 (3): 1078-1089 . Bibcode : 2015CNSNS..20.1078T . doi : 10.1016/j.cnsns.2014.06.048 .
  21. ↑ تاجادوديانفار، فريد (يناير 2016). "التنبؤ بالفوضى في الرنانات الدقيقة النانوية المقوسة المُشغَّلة كهروستاتيكيًا: منهج تحليلي" . الاتصالات في العلوم غير الخطية والمحاكاة العددية . 30 ( 1-3 ): 182-195 . doi : 10.1016/j.cnsns.2015.06.013 .