معادلة تفاضلية جزئية زائدية

في الرياضيات ، معادلة تفاضلية جزئية زائدية من الرتبة${\displaystyle n}$هي معادلة تفاضلية جزئية (PDE) والتي، بشكل عام، لها مسألة قيمة ابتدائية محددة جيدًا للأولى${\displaystyle n-1}$المشتقات. وبشكل أدق، يمكن حل مسألة كوشي محليًا لأي بيانات أولية على طول أي سطح فائق غير مميز . العديد من معادلات الميكانيكا هي معادلات زائدية، ولذا فإن دراسة المعادلات الزائدية تحظى باهتمام معاصر كبير. المعادلة الزائدية النموذجية هي معادلة الموجة . في بُعد مكاني واحد، تكون هذه المعادلة $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$ تتمتع المعادلة بالخاصية التالية: إذا كانت u ومشتقتها الزمنية الأولى بيانات أولية محددة بشكل تعسفي على الخط t = 0 (مع خصائص سلاسة كافية)، فإنه يوجد حل لجميع الأوقات t .

حلول المعادلات الزائدية "موجية". إذا طرأ اضطراب على البيانات الأولية لمعادلة تفاضلية زائدية، فلن تشعر كل نقطة في الفضاء بهذا الاضطراب في آن واحد. بالنسبة لإحداثي زمني ثابت، تنتشر الاضطرابات بسرعة محدودة ، وتنتقل وفقًا لخصائص المعادلة. هذه الخاصية تميز المعادلات الزائدية نوعيًا عن المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية والمكافئة . أما اضطراب البيانات الأولية (أو الحدودية) لمعادلة إهليلجية أو مكافئة، فيشعر به جميع النقاط في المجال تقريبًا في آن واحد.

على الرغم من أن تعريف القطع الزائد هو تعريف نوعي في جوهره، إلا أن هناك معايير دقيقة تعتمد على نوع المعادلة التفاضلية قيد الدراسة. توجد نظرية متطورة للمؤثرات التفاضلية الخطية ، وضعها لارس غاردينغ ، في سياق التحليل الميكرولوكالي . تُعتبر المعادلات التفاضلية غير الخطية قطع زائد إذا كانت عمليات تبسيطها الخطية قطع زائد بالمعنى الذي وضعه غاردينغ. وهناك نظرية مختلفة نوعًا ما لأنظمة المعادلات من الرتبة الأولى الناتجة عن أنظمة قوانين الحفظ .

تكون المعادلة التفاضلية الجزئية زائدية عند نقطة${\displaystyle P}$بشرط أن تكون مسألة كوشي قابلة للحل بشكل فريد في جوار من${\displaystyle P}$لأي بيانات أولية معطاة على سطح فائق غير مميز يمر عبر${\displaystyle P}$[ ^{1 ] هنا تتكون البيانات الأولية المحددة من جميع المشتقات (} العرضية) للدالة على السطح حتى أقل بواحد من رتبة المعادلة التفاضلية.

عن طريق تغيير خطي للمتغيرات، يمكن تحويل أي معادلة من الشكل $${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(حدود المشتقات من الرتبة الأدنى)}}=0}$$ مع التمييز$${\displaystyle B^{2}-AC>0}$$ يمكن تحويلها إلى معادلة الموجة ، باستثناء الحدود ذات الرتبة الأدنى التي لا تُعدّ أساسية للفهم النوعي للمعادلة. ^{[ 2 ] : 400} هذا التعريف مماثل لتعريف القطع الزائد المستوي .

معادلة الموجة أحادية البعد : $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$$ يُعدّ هذا مثالًا على معادلة زائدية. وتندرج معادلات الموجة ثنائية وثلاثية الأبعاد أيضًا ضمن فئة المعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية. ويمكن تحويل هذا النوع من المعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية من الرتبة الثانية إلى نظام زائدي من المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى. ^{[ 2 ] : 402}

فيما يلي نظام من المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الأولى لـ${\displaystyle s}$الدوال غير المعروفة${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$،${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$، أين${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$:

$${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f}}^{j}({\vec {u}})=0,}$$

*

أين${\displaystyle {\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s})}$هي في الأصل دوال قابلة للتفاضل بشكل مستمر ، وغير خطية بشكل عام.

ثم، لكل${\displaystyle {\vec {f}}^{j}}$حدد${\displaystyle s\times s}$مصفوفة جاكوبيان$${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.}$$

يكون النظام ( * ) زائديًا إذا كان لكل${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} }$المصفوفة${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$ لها قيم ذاتية حقيقية فقط وهي قابلة للتقطير .

إذا كانت المصفوفة${\displaystyle A}$إذا كان للمصفوفة s قيم ذاتية حقيقية مميزة ، فإنها قابلة للتقطير. في هذه الحالة، يُطلق على النظام ( * ) اسم النظام الزائدي تمامًا .

إذا كانت المصفوفة${\displaystyle A}$إذا كان النظام متناظرًا، فإنه قابل للتقطير وقيمه الذاتية حقيقية. في هذه الحالة، يُسمى النظام ( * ) نظامًا زائديًا متناظرًا .

النظام الزائدي وقوانين الحفظ

ثمة علاقة بين النظام الزائدي وقانون الحفظ . لنفترض نظامًا زائديًا يتكون من معادلة تفاضلية جزئية واحدة لدالة مجهولة واحدة.${\displaystyle u=u({\vec {x}},t)}$إذن، يكون للنظام ( * ) الشكل التالي:

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.}$$

***

هنا،${\displaystyle u}$يمكن تفسيرها على أنها كمية تتحرك وفقًا للتدفق المحدد بواسطة${\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})}$للتأكد من أن الكمية${\displaystyle u}$إذا تم الحفاظ على القيمة، فقم بإجراء التكامل ( ** ) على نطاق$أوميغا$$${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.}$$

لو${\displaystyle u}$و${\displaystyle {\vec {f}}}$إذا كانت الدوال سلسة بدرجة كافية، فيمكننا استخدام نظرية التباعد وتغيير ترتيب التكامل و${\displaystyle \partial /\partial t}$للحصول على قانون للحفاظ على الكمية${\displaystyle u}$في الشكل العام $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,}$$ وهذا يعني أن معدل التغير الزمني لـ${\displaystyle u}$في المجال$أوميغا$يساوي صافي تدفق${\displaystyle u}$عبر حدودها${\displaystyle \partial \Omega }$وبما أن هذه معادلة، فإنه يمكن استنتاج أن${\displaystyle u}$يتم الحفاظ عليه داخل$أوميغا$.

• معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية
• عامل القطع الناقص
• معادلة تفاضلية جزئية مكافئة

• إيه دي بوليانين، دليل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية للمهندسين والعلماء ، تشابمان آند هول/سي آر سي برس، بوكا راتون، 2002. رقم ISBN 1-58488-299-9

• "المعادلة التفاضلية الجزئية الزائدية، الطرق العددية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• المعادلات القطعية الخطية في EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.
• المعادلات الزائدية غير الخطية في EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.