تماثل الفئات

في نظرية الفئات ، تكون الفئتان C و D متماثلتين إذا وُجدت دالتان F  : C → D و G  : D → C معكوستان لبعضهما البعض، أي FG = 1 _D (دالة التطابق على D ) و GF = 1 _C. ^{[ 1 ]} هذا يعني أن كلاً من عناصر ومورفيزمات C و D متناظرة تناظرًا تامًا . تشترك الفئتان المتماثلتان في جميع الخصائص المُعرَّفة حصريًا في نظرية الفئات؛ عمليًا، هما متطابقتان ولا تختلفان إلا في ترميز عناصرهما ومورفيزماتهما .

يُعدّ تماثل الفئات شرطًا قويًا ونادرًا ما يتحقق عمليًا. والأهم من ذلك بكثير هو مفهوم تكافؤ الفئات ؛ وبصورة عامة، لا نشترط لتكافؤ الفئات أن${\displaystyle FG}$أن يكون مساوياً لـ${\displaystyle 1_{D}}$، ولكنها متماثلة الشكل بشكل طبيعي فقط مع${\displaystyle 1_{D}}$وكذلك ذلك${\displaystyle GF}$أن تكون متماثلة الشكل بشكل طبيعي مع${\displaystyle 1_{C}}$.

وكما هو الحال بالنسبة لأي مفهوم للتماثل ، لدينا الخصائص العامة التالية المشابهة شكليًا لعلاقة التكافؤ :

• أي فئة C متماثلة مع نفسها
• إذا كانت المجموعة C متماثلة مع المجموعة D ، فإن المجموعة D متماثلة مع المجموعة C.
• إذا كانت C متماثلة مع D و D متماثلة مع E ، فإن C متماثلة مع E.

ينتج عن الدالة F  : C → D تماثل بين الفئات إذا وفقط إذا كانت تقابلية على الكائنات ومجموعات التشكلات . [ ^{1 ] قد} يكون هذا المعيار ملائمًا لأنه يتجنب إنشاء الدالة العكسية G.

• لنفترض زمرة منتهية G ، وحقلًا k، وجبر الزمر kG . فئة تمثيلات الزمر الخطية k لـ G متماثلة مع فئة الوحدات اليسارية على kG . يمكن وصف هذا التماثل كما يلي: بالنظر إلى تمثيل زمرة ρ : G → GL( V )، حيث V فضاء متجهي على k ، وGL( V ) زمرة تشاكلاته الخطية k ، وρ تشاكل زمر ، نحول V إلى وحدة يسارية kG بتعريف $${\displaystyle \left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)}$$لكل v في V ولكل عنصر Σ a _g g في kG .
  على النقيض، إذا كان لدينا وحدة نمطية يسارية من نوع kG ، فإن M فضاء متجهي من نوع k ، والضرب بعنصر g من G ينتج عنه تشاكل خطي من نوع k لـ M (لأن g قابل للعكس في kG )، وهو ما يصف تشاكلًا زمريًا G → GL( M ). (لا يزال هناك عدة أمور يجب التحقق منها: كلا هذين التعيينين دالتان، أي يمكن تطبيقهما على الدوال بين تمثيلات الزمر أو وحدات kG ، وهما معكوسان لبعضهما البعض، سواء على الكائنات أو على التشاكلات). انظر أيضًا نظرية تمثيل الزمر المنتهية §  التمثيلات والوحدات النمطية وجبر الالتفاف .
• يمكن اعتبار كل حلقة فئة ما قبل الجمع ذات عنصر واحد. فئة الدوال لجميع الدوال الجمعية من هذه الفئة إلى فئة الزمر الأبيلية متماثلة مع فئة الوحدات اليسارية فوق الحلقة.
• يظهر تماثل آخر بين الفئات في نظرية الجبر البولياني : الجبر البولياني متماثل مع فئة الحلقات البوليانية . بفرض وجود جبر بولياني B ، نحول B إلى حلقة بوليانية باستخدام الفرق المتناظر كعملية جمع وعملية التقاطع.${\displaystyle \land }$كعملية الضرب. وعلى العكس، إذا كانت لدينا حلقة منطقية R ، فإننا نُعرّف عملية الربط بواسطة${\displaystyle \lor }$b = a + b + ab ، وعملية الالتقاء هي عملية ضرب. مرة أخرى، يمكن توسيع كلا هذين التعيينين ليشمل التشكلات لإنتاج دوال، وهي معكوسة لبعضها البعض.
• إذا كانت C فئةً تحتوي على كائن ابتدائي s، فإن فئة الشرائح ( s ↓ C ) متماثلة مع C. وبالمثل ، إذا كان t كائنًا نهائيًا في C ، فإن فئة الدوال ( C ↓ t ) متماثلة مع C. كذلك، إذا كانت 1 فئةً تحتوي على كائن واحد وتشاكل هويته فقط (في الواقع، 1 هي الفئة النهائية )، و C أي فئة، فإن فئة الدوال C ¹ ، مع دوال الكائنات c : 1 → C ، التي تختار كائنًا c ∈ Ob( C )، والأسهم التحويلات الطبيعية f : c → d بين هذه الدوال، التي تختار تشاكلًا f : c → d في C ، متماثلة أيضًا مع C.