النسبة المثالية

في الجبر المجرد ، إذا${\displaystyle I}$و${\displaystyle J}$هي مُثُل حلقة تبديلية${\displaystyle R}$، معاملهم المثالي${\displaystyle (I:J)}$هي المجموعة

${\displaystyle (I:J)=\{r\in R\mid rJ\subseteq I\}}$

ثم${\displaystyle (I:J)}$هو في حد ذاته مثال مثالي في${\displaystyle R}$يُنظر إلى الناتج المثالي على أنه ناتج قسمة لأن${\displaystyle KJ\subseteq I}$إذا وفقط إذا${\displaystyle K\subseteq (I:J)}$يُعدّ ناتج القسمة المثالي مفيدًا لحساب التفكيكات الأولية . كما أنه يظهر في وصف فرق المجموعات في الهندسة الجبرية (انظر أدناه).

${\displaystyle (I:J)}$يُشار إليه أحيانًا باسم " مثال النقطتين" نظرًا للرمز المستخدم. وفي سياق المُثُل الكسرية ، يوجد مفهوم مشابه يُعرف باسم "معكوس المُثُل الكسرية".

يحقق ناتج القسمة المثالي الخصائص التالية:

• ${\displaystyle (I:J)=\mathrm {Ann} _{R}((J+I)/I)}$مثل${\displaystyle R}$- الوحدات ، حيث${\displaystyle \mathrm {آن} _{R}(M)}$يشير إلى مُبيد${\displaystyle M}$كـ${\displaystyle R}$-وحدة.
• ${\displaystyle J\subseteq I\Leftrightarrow (I:J)=R}$(بخاصة،${\displaystyle (I:I)=(R:I)=(I:0)=R}$)
• ${\displaystyle (I:R)=I}$
• ${\displaystyle (I:(JK))=((I:J):K)}$
• ${\displaystyle (I:(J+K))=(I:J)\cap (I:K)}$
• ${\displaystyle ((I\cap J):K)=(I:K)\cap (J:K)}$
• ${\displaystyle (I:(r))={\frac {1}{r}}(I\cap (r))}$(طالما${\displaystyle R}$( مجال تكاملي )

يمكن استخدام الخصائص المذكورة أعلاه لحساب خارج قسمة المُثُل في حلقة متعددة الحدود بمعرفة مولداتها. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle I=(f_{1},f_{2},f_{3})}$و${\displaystyle J=(g_{1},g_{2})}$هي مُثُل في${\displaystyle \mathbb {k} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$، ثم

${\displaystyle (I:J)=(I:(g_{1}))\cap (I:(g_{2}))=\left({\frac {1}{g_{1}}}(I\cap (g_{1}))\right)\cap \left({\frac {1}{g_{2}}}(I\cap (g_{2}))\right)}$

ثم يمكن استخدام نظرية الحذف لحساب تقاطع${\displaystyle I}$مع${\displaystyle (g_{1})}$و${\displaystyle (g_{2})}$:

${\displaystyle I\cap (g_{1})=tI+(1-t)(g_{1})\cap \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}],\quad I\cap (g_{2})=tI+(1-t)(g_{2})\cap \mathbb {k} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$

احسب أساس غروبنر لـ${\displaystyle tI+(1-t)(g_{1})}$فيما يتعلق بالترتيب المعجمي . ثم تولد الدوال الأساسية التي لا تحتوي على .${\displaystyle I\cap (g_{1})}$.

يُقابل ناتج القسمة المثالي فرق المجموعات في الهندسة الجبرية . ^{[ 1 ]} وبشكل أدق،

• لو${\displaystyle W}$هو نوع من الأنواع الخطية (ليس بالضرورة غير قابل للاختزال) و${\displaystyle S}$إذا كانت مجموعة جزئية من الفضاء الأفيني (ليست بالضرورة مجموعة متنوعة)، فإن

${\displaystyle I(S):I(W)=I(S\setminus W)}$

أين${\displaystyle I(\bullet )}$يشير إلى أخذ المثال المرتبط بمجموعة فرعية.

• لو${\displaystyle I}$و${\displaystyle J}$هي مُثُل في${\displaystyle \mathbb {k} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$، مع${\displaystyle \mathbb {k} }$حقل مغلق جبريًا و${\displaystyle I}$جذري إذن

${\displaystyle V(I:J)=\mathrm {cl} (V(I)\setminus V(J))}$

أين${\displaystyle \mathrm {cl} (\bullet )}$يشير إلى إغلاق زاريسكي ، و${\displaystyle V(\bullet )}$يشير إلى اختيار النوع المحدد بواسطة مثال مثالي. إذا${\displaystyle I}$إذا لم يكن الأمر جذريًا، فإن الخاصية نفسها تنطبق إذا قمنا بتشبع المثالي${\displaystyle J}$:

${\displaystyle V(I:J^{\infty })=\mathrm {cl} (V(I)\setminus V(J))}$

أين${\displaystyle (I:J^{\infty })=\cup _{n\geq 1}(I:J^{n})}$.

• في${\displaystyle \mathbb {Z} }$لدينا${\displaystyle ((6):(2))=(3)}$.
• في نظرية الأعداد الجبرية ، يُعدّ خارج قسمة المثاليّات مفيدًا عند دراسة المثاليّات الكسرية . وذلك لأنّ معكوس أيّ مثاليّ كسريّ قابل للعكس هو${\displaystyle I}$مجال تكاملي${\displaystyle R}$يُعطى بواسطة خارج القسمة المثالي${\displaystyle ((1):I)=I^{-1}}$.
• أحد التطبيقات الهندسية للقسمة المثالية هو إزالة عنصر غير قابل للاختزال من مخطط أفيني. على سبيل المثال، ليكن${\displaystyle I=(xyz),J=(xy)}$في${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}$لتكن المُثُل المُقابلة لاتحاد المستويات x و y و z والمستويين x و y في${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{3}}$ثم، الناتج المثالي${\displaystyle (I:J)=(z)}$يمثل المستوى z المثالي في${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{3}}$يوضح هذا كيف يمكن استخدام القسمة المثالية "لحذف" المخططات الفرعية غير القابلة للاختزال.
• من الأمثلة المفيدة في نظرية المخططات أخذُ خارج قسمة المثاليّ لمثالٍ قابلٍ للاختزال. على سبيل المثال، خارج قسمة المثاليّ${\displaystyle ((x^{4}y^{3}):(x^{2}y^{2}))=(x^{2}y)}$، مما يدل على أن الناتج المثالي لمخطط فرعي من مخطط غير مختزل، حيث يكون لكليهما نفس المخطط الفرعي المختزل، يقضي على بعض البنية غير المختزلة.
• يمكننا استخدام المثال السابق لإيجاد تشبع مثالي يتوافق مع مخطط إسقاطي. بالنظر إلى مثالي متجانس${\displaystyle I\subset R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$تشبع​​${\displaystyle I}$يُعرَّف بأنه حاصل القسمة المثالي${\displaystyle (I:{\mathfrak {m}}^{\infty })=\cup _{i\geq 1}(I:{\mathfrak {m}}^{i})}$أين${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{0},\ldots ,x_{n})\subset R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$هي نظرية تنص على أن مجموعة المُثُل المُشبعة لـ${\displaystyle R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$وارد في${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$هي في تقابل ثنائي مع مجموعة المخططات الفرعية الإسقاطية في${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$[ ^{2 ]} هذا يدلنا على ^أن${\displaystyle (x^{4}+y^{4}+z^{4}){\mathfrak {m}}^{k}}$يُعرّف نفس المنحنى الإسقاطي كما${\displaystyle (x^{4}+y^{4}+z^{4})}$في${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$.

• إيني، فيفيانا؛ هيرتسوغ، يورغن (2011). قواعد غروبنر في الجبر التبادلي . دراسات عليا في الرياضيات . المجلد  130. الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 0-8218-7287-7.
• عطية، م. ف.؛ ماكدونالد ، إ. ج. (1994). مقدمة في الجبر التبادلي . أديسون-ويسلي. رقم ISBN 0-201-40751-5.