المثالية الكسرية

البنية الجبرية → نظرية الحلقة نظرية الحلقة
المفاهيم الأساسية خواتم • حلقات فرعية • مثالي • Quotient ring • Fractional ideal • Total ring of fractions • Product of rings • Free product of associative algebras • Tensor product of algebras Ring homomorphisms • Kernel • Inner automorphism • Frobenius endomorphism Algebraic structures • Module • Associative algebra • Graded ring • Involutive ring • Category of rings • Initial ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Terminal ring ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} /1\mathbb {Z} }$ Related structures • Field • Finite field • Non-associative ring • Lie ring • Jordan ring • Semiring • Semifield
Commutative algebra Commutative rings • Integral domain • Integrally closed domain • GCD domain • Unique factorization domain • Principal ideal domain • Euclidean domain • Field • Finite field • Polynomial ring • Formal power series ring Algebraic number theory • Algebraic number field • Integers modulo n • Ring of integers • p-adic integers ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p-adic numbers ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • Prüfer p-ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$
Noncommutative algebra Noncommutative rings • Division ring • Semiprimitive ring • Simple ring • Commutator Noncommutative algebraic geometry Free algebra Clifford algebra • Geometric algebra Operator algebra
v t e

في الرياضيات ، وخاصة الجبر التبادلي ، يتم تقديم مفهوم المثل الكسري في سياق المجالات التكاملية وهو مثمر بشكل خاص في دراسة مجالات ديديكيند . بمعنى ما، فإن المثل الكسري للمجال التكاملي يشبه المثل حيث يُسمح بالمقامات . في السياقات التي تتم فيها مناقشة المثل الكسري والمثل الحلقية العادية ، يُطلق على الأخيرة أحيانًا المثل التكاملية من أجل الوضوح.

ليكن مجالًا متكاملًا وليكن مجال كسوره . ${\displaystyle R}$${\displaystyle K=\operatorname {Frac} R}$

إن المثالي الكسري لـ هو وحدة فرعية من حيث وجود عنصر غير صفري بحيث . يمكن اعتبار العنصر بمثابة مسح للمقامات في ، ومن هنا جاء اسم المثالي الكسري. ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle K}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle rI\subseteq R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle I}$

المثل الكسري الأساسي هو تلك الوحدات الفرعية - من التي تم إنشاؤها بواسطة عنصر واحد غير صفري من . المثل الكسري موجود في إذا وفقط إذا كان مثاليًا (كاملًا) لـ . ${\displaystyle R}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

يُطلق على المثالي الكسري اسم القابل للعكس إذا كان هناك مثالي كسري آخر مثل: ${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle IJ=R}$

أين

${\displaystyle IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}}$

هو نتاج المثلين الكسرين.

في هذه الحالة، يتم تحديد المثالي الكسري بشكل فريد ويساوي حاصل المثالي المعمم${\displaystyle J}$

${\displaystyle (R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

تشكل مجموعة المثل العليا الكسرية القابلة للعكس مجموعة أبيلية بالنسبة للحاصل أعلاه، حيث تكون الهوية هي المثل العليا الوحدوية نفسها. تسمى هذه المجموعة مجموعة المثل العليا الكسرية لـ . تشكل المثل العليا الكسرية الرئيسية مجموعة فرعية . يكون المثل الأعلى الكسري (غير الصفري) قابلاً للعكس إذا وفقط إذا كان إسقاطيًا كوحدة نمطية . من الناحية الهندسية، يعني هذا أنه يمكن تفسير المثل الأعلى الكسري القابل للعكس على أنه حزمة متجهات من الرتبة 1 على المخطط التآلفي . ${\displaystyle (1)=R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(R)}$

كل وحدة فرعية R تم إنشاؤها بشكل محدود من K هي مثالية كسرية وإذا كانت نوثرية فهذه هي كل المثالية الكسرية لـ . ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

في مجالات ديدكيند ، يكون الوضع أبسط كثيرًا. على وجه الخصوص، كل مثال كسري غير صفري قابل للعكس. في الواقع، تميز هذه الخاصية مجالات ديدكيند:

المجال التكاملي هو مجال ديديكيند إذا وفقط إذا كان كل مثال كسري غير صفري قابلاً للعكس.

مجموعة المثل الكسرية على مجال ديديكيند يشار إليها بـ . ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{Div}}(R)}$

إن مجموعتها الحاصلة من المثل العليا الكسرية على المجموعة الفرعية من المثل العليا الكسرية الرئيسية هي متغير مهم لمجال ديديكيند يسمى مجموعة الفئة المثالية .

بالنسبة للحالة الخاصة لحقول الأعداد (مثل ، حيث = exp(2π i/n) ) توجد حلقة مرتبطة تسمى حلقة الأعداد الصحيحة لـ . على سبيل المثال، بالنسبة للحقول الخالية من المربعات والمتطابقة مع . الخاصية الأساسية لهذه الحلقات هي أنها مجالات ديدكيند. وبالتالي يمكن وصف نظرية المثل الكسرية لحلقات الأعداد الصحيحة لحقول الأعداد. في الواقع، نظرية حقل الفئة هي دراسة مثل هذه المجموعات من حلقات الفئة. ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$${\displaystyle \zeta _{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}=\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}\,]}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2,3{\text{ }}({\text{mod }}4)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

بالنسبة لحلقة الأعداد الصحيحة ^{[1] ص 2} من حقل رقمي، تشكل مجموعة المثل العليا الكسرية مجموعة يشار إليها والمجموعة الفرعية للمثل العليا الكسرية الرئيسية يشار إليها . مجموعة الفئة المثالية هي مجموعة المثل العليا الكسرية modulo المثل العليا الكسرية الرئيسية، لذا ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{K}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}:={\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}}$

ورقم فئتها هو ترتيب المجموعة، . في بعض النواحي، رقم الفئة هو مقياس لمدى "بعد" حلقة الأعداد الصحيحة عن كونها مجال تحليل فريد (UFD). وذلك لأن if وفقط if هو مجال تحليل فريد. ${\displaystyle h_{K}}$${\displaystyle h_{K}=|{\mathcal {C}}_{K}|}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle h_{K}=1}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

هناك تسلسل دقيق

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {C}}_{K}\to 0}$

مرتبط بكل حقل رقم.

تنص إحدى نظريات البنية المهمة للمثل العليا الكسرية لحقل الأعداد على أن كل مثلية كسرية تتحلل بشكل فريد حتى الترتيب على النحو التالي: ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=({\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{n})({\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{m})^{-1}}$

للمبادئ الأساسية

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i},{\mathfrak {q}}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$.

في طيف . على سبيل المثال ،${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

${\displaystyle {\frac {2}{5}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}}$العوامل مثل${\displaystyle (1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1}}$

أيضًا، نظرًا لأن المثل العليا الكسرية على حقل رقمي يتم إنشاؤها جميعًا بشكل نهائي، فيمكننا مسح المقامات عن طريق الضرب في بعض للحصول على المثل الأعلى . وبالتالي ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle J}$

${\displaystyle I={\frac {1}{\alpha }}J}$

هناك نظرية هيكلية مفيدة أخرى وهي أن المثاليات الكسرية التكاملية تتولد من ما يصل إلى عنصرين. نطلق على المثاليات الكسرية مجموعة جزئية من المثاليات الكسرية التكاملية . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

• ${\displaystyle {\frac {5}{4}}\mathbb {Z} }$هو مثال جزئي على${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• للحصول على الانقسامات المثالية في${\displaystyle K=\mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle (5)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} [i]}$${\displaystyle (2-i)(2+i)}$
• لأن لدينا التحليل إلى عوامل . وذلك لأنه إذا ضربناه، نحصل على ${\displaystyle K=\mathbb {Q} _{\zeta _{3}}}$${\displaystyle (3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}}$

بما أن يرضي ، فإن تحليلنا للعوامل يصبح منطقيًا.${\displaystyle \zeta _{3}}$${\displaystyle \zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1}$

• لأنه يمكننا مضاعفة المثل الكسرية${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$

${\displaystyle I=(2,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}-{\frac {1}{2}})}$و${\displaystyle J=(4,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}})}$

للحصول على المثاليه

${\displaystyle IJ=({\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}}).}$

دعونا نشير إلى تقاطع جميع المثل الكسرية الرئيسية التي تحتوي على مثل كسري غير صفري . ${\displaystyle {\tilde {I}}}$${\displaystyle I}$

على نحو مكافئ،

${\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I)),}$

حيث كما هو مذكور أعلاه

${\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

إذا ، يُسمى I قاسمًا . ^[2] بعبارة أخرى، فإن المثل القاسم هو تقاطع غير صفري لمجموعة غير فارغة من المثل الأساسية الكسرية. ${\displaystyle {\tilde {I}}=I}$

إذا كان I قابلاً للقسمة و J هو مثالي كسري غير صفري، فإن ( I  : J ) قابل للقسمة.

ليكن R مجال كرول محلي (على سبيل المثال، مجال محلي مغلق تكامليًا نوثريًا ). عندئذٍ تكون R حلقة تقييم منفصلة إذا وفقط إذا كان المثل الأعلى لـ R قسميًا. ^[3]

يُطلق على المجال التكاملي الذي يلبي شروط السلسلة الصاعدة على المثل القسمية اسم مجال موري . ^[4]

• حزمة تقسيمية
• نظرية ديديكيند-كومر

• باروتشي، فالنتينا (2000)، "مجالات موري"، في جلاز، سارة ؛ شابمان، سكوت ت. (المحررون)، نظرية الحلقات التبادلية غير النوثرية ، الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد 520، دوردرخت: كلوير أكادم للنشر، ص 57-73، رقم ISBN 978-0-7923-6492-4السيد 1858157 ​
• شتاين، ويليام، مقدمة حسابية لنظرية الأعداد الجبرية (PDF)
• الفصل التاسع من كتاب Atiyah, Michael Francis ؛ Macdonald, IG (1994)، مقدمة في الجبر التبادلي ، Westview Press، ISBN 978-0-201-40751-8
• الفصل السابع.1 من بورباكي، نيكولا (1998)، الجبر التبادلي (الطبعة الثانية)، سبرينغر فيرلاغ ، ISBN 3-540-64239-0
• الفصل الحادي عشر من كتاب ماتسومورا، هيديوكي (1989)، نظرية الحلقة التبادلية ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد 8 (الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-36764-6السيد 1011461 ​