النظرية المثالية

في الرياضيات ، تُعرف نظرية المُثُل بأنها نظرية المُثُل في الحلقات التبديلية . وبينما يوجد مفهوم المُثُل أيضًا في الحلقات غير التبديلية ، إلا أن هناك نظرية أكثر جوهرية خاصة بالحلقات التبديلية فقط (ولذلك، لا تتناول هذه المقالة إلا المُثُل في الحلقات التبديلية).

في جميع المقالات، تشير كلمة "حلقات" إلى الحلقات التبديلية. انظر أيضًا مقالة "المثالي (نظرية الحلقات)" للاطلاع على العمليات الأساسية مثل جمع أو ضرب المثاليّات.

تتصرف المُثُل في جبر مُوَلَّد نهائيًا على حقل (أي خارج قسمة حلقة متعددة الحدود على حقل) بشكل أفضل نوعًا ما من تلك الموجودة في حلقة تبديلية عامة. أولًا، على عكس الحالة العامة، إذا${\displaystyle A}$إذا كانت جبرًا مولدًا منتهيًا على حقل، فإن جذر مثالي في${\displaystyle A}$هو تقاطع جميع المُثُل العليا التي تحتوي على المُثُل العليا (لأن${\displaystyle A}$( حلقة جاكوبسون ). يمكن اعتبار هذا امتدادًا لنظرية هيلبرت Nullstellensatz ، التي تتعلق بالحالة عندما${\displaystyle A}$هي حلقة متعددة الحدود.

إذا كان I مثالياً في حلقة A ، فإنه يحدد الطوبولوجيا على A حيث تكون المجموعة الجزئية U من A مفتوحة إذا، لكل x في U ،

${\displaystyle x+I^{n}\subset U.}$

لبعض الأعداد الصحيحة${\displaystyle n>0}$تُسمى هذه الطوبولوجيا بالطوبولوجيا I -adic. وتُسمى أيضًا بالطوبولوجيا a -adic إذا${\displaystyle I=aA}$يتم توليدها بواسطة عنصر${\displaystyle a}$.

على سبيل المثال، خذ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$، حلقة الأعداد الصحيحة و${\displaystyle I=pA}$مثالي مُوَلَّد بواسطة عدد أولي p . لكل عدد صحيح${\displaystyle x}$، يُعرِّف${\displaystyle |x|_{p}=p^{-n}}$متى${\displaystyle x=p^{n}y}$،${\displaystyle y}$برايم إلى${\displaystyle p}$ثم، من الواضح،

${\displaystyle x+p^{n}A=B(x,p^{-(n-1)})}$

أين${\displaystyle B(x,r)=\{z\in \mathbb {Z} \mid |zx|_{p}<r\}}$يرمز إلى كرة مفتوحة نصف قطرها${\displaystyle r}$مع المركز${\displaystyle x}$ومن ثم، فإن${\displaystyle p}$الطوبولوجيا -adic على${\displaystyle \mathbb {Z} }$وهو نفسه طوبولوجيا الفضاء المتري المعطاة بواسطة${\displaystyle d(x,y)=|xy|_{p}}$. كفضاء متري،${\displaystyle \mathbb {Z} }$يمكن إكمالها . الفضاء المتري الكامل الناتج له بنية حلقة تمتد من بنية الحلقة لـ${\displaystyle \mathbb {Z} }$يُشار إلى هذه الحلقة بـ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$وتسمى حلقة الأعداد الصحيحة p -adic .

في مجال ديديكيند A (على سبيل المثال، حلقة من الأعداد الصحيحة في حقل عددي أو حلقة إحداثيات لمنحنى أفيني أملس) مع حقل الكسور${\displaystyle K}$مثالي${\displaystyle I}$قابل للعكس بمعنى: يوجد مثالي كسري${\displaystyle I^{-1}}$(أي، وحدة فرعية من النوع A من${\displaystyle K}$) بحيث${\displaystyle I\,I^{-1}=A}$حيث يمثل الناتج على اليسار ناتج ضرب وحدات فرعية من K. بعبارة أخرى، تُشكل المُثُل الكسرية زمرة تحت عملية الضرب. ويكون ناتج قسمة زمرة المُثُل الكسرية على الزمرة الفرعية للمُثُل الرئيسية هو زمرة فئات المُثُل في A.

في حلقة عامة، قد لا يكون المثالي قابلاً للعكس (في الواقع، تعريف المثالي الكسري غير واضح أصلاً). مع ذلك، على مجال تكاملي نوثري ، لا يزال من الممكن تطوير نظرية تعمم الوضع في مجالات ديديكيند. على سبيل المثال، يقدم الفصل السابع من كتاب بورباكي " الجبر التبادلي" نظرية من هذا القبيل.

إن مجموعة الفئات المثالية لـ A ، عندما يمكن تعريفها، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمجموعة بيكارد لطيف A ( غالبًا ما يكون الاثنان متطابقين؛ على سبيل المثال، بالنسبة لمجالات ديديكيند).

في نظرية الأعداد الجبرية ، وخاصة في نظرية حقل الفئات ، من الأنسب استخدام تعميم لمجموعة الفئات المثالية يسمى مجموعة الفئات المثالية .

توجد عدة عمليات على المُثُل العليا تؤدي أدوار الإغلاق. أبسطها جذر المُثُل العليا . ومنها أيضًا الإغلاق التكاملي للمُثُل العليا . بالنظر إلى تحليل أولي غير زائد${\displaystyle I=\cap Q_{i}}$، تقاطع${\displaystyle Q_{i}}$الجذور التي تكون جذورها ضئيلة (لا تحتوي على أي من جذور الأنواع الأخرى)${\displaystyle Q_{j}}$يتم تحديد ( 's) بشكل فريد بواسطة${\displaystyle I}$ويُطلق على هذا التقاطع حينها اسم الجزء غير المختلط من${\displaystyle I}$وهي أيضاً عملية إغلاق.

بالنظر إلى المُثُل العليا${\displaystyle I,J}$في حلقة${\displaystyle A}$، المثالي

${\displaystyle (I:J^{\infty })=\{f\in A\mid fJ^{n}\subset I,n\gg 0\}=\bigcup _{n>0}\operatorname {Ann} _{A}((J^{n}+I)/I)}$

يُطلق عليه اسم تشبع${\displaystyle I}$بالنسبة إلى${\displaystyle J}$وهي عملية إغلاق (هذا المفهوم يرتبط ارتباطًا وثيقًا بدراسة التماثل المحلي).

انظر أيضًا الإغلاق المحكم .

يمكن أحيانًا استخدام علم التماثل المحلي للحصول على معلومات حول المثالي. يفترض هذا القسم معرفة مسبقة بنظرية الحزم ونظرية المخططات.

يترك${\displaystyle M}$كن وحدة فوق حلقة${\displaystyle R}$و${\displaystyle I}$مثالٌ يُحتذى به. ثم${\displaystyle M}$يحدد الحزمة${\displaystyle {\widetilde {M}}}$على${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (R)-V(I)}$(تقييد الحزمة المرتبطة بـ M على Y ). عند فك التعريف، يتبين ما يلي:

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\Gamma (Y,{\widetilde {M}})=\varinjlim \operatorname {Hom} (I^{n},M)}$.

هنا،${\displaystyle \Gamma _{I}(M)}$يُطلق عليه اسم التحويل المثالي لـ${\displaystyle M}$بالنسبة إلى${\displaystyle I}$.

• نظام المعايير

• أتيياه، مايكل فرانسيس ؛ ماكدونالد، آي جي (1969)، مقدمة في الجبر التبادلي ، دار ويستفيو للنشر، رقم ISBN 978-0-201-40751-8
• أيزنبد، ديفيد ، الجبر التبادلي مع نظرة نحو الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، 150، سبرينغر-فيرلاغ، 1995، ISBN 0-387-94268-8.
• هونيك، كريج؛ سوانسون، إيرينا (2006)، الإغلاق التكاملي للمثاليّات والحلقات والوحدات ، سلسلة محاضرات جمعية لندن الرياضية، المجلد  336، كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-68860-4، MR 2266432 ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 15-11-2019 ، تم استرجاعه بتاريخ 15-11-2019