نظرية وجود بيانو

المعادلات التفاضلية
نِطَاق
الحقول العلوم الطبيعية هندسة علم الفلك الفيزياء كيمياء علم الأحياء الجيولوجيا الرياضيات التطبيقية ميكانيكا المتصل نظرية الفوضى الأنظمة الديناميكية العلوم الاجتماعية الاقتصاد ديناميكيات السكان قائمة المعادلات التفاضلية المسماة
تصنيف
أنواع عادي جزئي التفاضلية الجبرية التكامل التفاضلي كسري خطي غير خطي حسب نوع المتغير المتغيرات التابعة والمستقلة مستقل مقترن / غير مقترن بالضبط متجانس  / غير متجانس سمات طلب المشغل تدوين
العلاقة مع العمليات الفرق (التناظرية المنفصلة) عشوائي التحليل الجزئي العشوائي تأخير
حل
الوجود والتفرد نظرية بيكارد-ليندلوف نظرية وجود بيانو نظرية الوجود لكاراثيودوري نظرية كوشي-كواليفسكي
المواضيع العامة الظروف الأولية قيم الحدود ديريتشليت نيومان روبن مشكلة كوشي ورونسكيان صورة المرحلة ليابونوف  / الاستقرار المقارب  / الأسي معدل التقارب  الحلول المتسلسلة / المتكاملة التكامل العددي دالة دلتا ديراك
طرق الحل تقتيش طريقة الخصائص أويلر صيغة الاستجابة الأسية الفرق المحدود  ( كرانك-نيكلسون ) عنصر محدود عنصر لانهائي حجم محدود جاليركين بتروف-جاليركين وظيفة جرين عامل التكامل التحويلات التكاملية نظرية الاضطراب رونجي-كوتا فصل المتغيرات معاملات غير محددة تباين المعلمات
الناس
قائمة إسحاق نيوتن جوتفريد لايبنتز جاكوب برنولي ليونارد أويلر جوزيف لويس لاجرانج جوزيف ماريا هوني-رونسكي جوزيف فورييه أوغستين لويس كوشي جورج جرين كارل ديفيد تولمي رونجي مارتن كوتا رودلف ليبشيتز إرنست ليندلوف إميل بيكارد فيليس نيكلسون جون كرانك
ف ت هـ

في الرياضيات ، وتحديدًا في دراسة المعادلات التفاضلية العادية ، مبرهنة وجود بيانو ، أو مبرهنة بيانو أو مبرهنة كوشي-بيانو ، والتي سميت على اسم جوزيبي بيانو وأوغستين لويس كوشي ، هي مبرهنة أساسية تضمن وجود حلول لبعض مشاكل القيمة الأولية .

نشر بيانو النظرية لأول مرة في عام 1886 بإثبات غير صحيح. ^[1] وفي عام 1890 نشر إثباتًا صحيحًا جديدًا باستخدام تقريبات متتالية. ^[2]

ليكن مجموعة مفتوحة من مع دالة متصلة ومعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى صريحة متصلة معرفة على D ، ثم كل مشكلة قيمة أولية لـ f مع لها حل محلي حيث تكون جوارًا لـ في ، بحيث بالنسبة لجميع . ^[3]${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$${\displaystyle y'(x)=f\left(x,y(x)\right)}$ ${\displaystyle y\left(x_{0}\right)=y_{0}}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D}$${\displaystyle z\colon I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle z'(x)=f\left(x,z(x)\right)}$${\displaystyle x\in I}$

لا يلزم أن يكون الحل فريدًا: فالقيمة الأولية الواحدة قد تؤدي إلى ظهور العديد من الحلول المختلفة . ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle z}$

من خلال استبدال بـ , بـ , يمكننا أن نفترض . بما أن هناك مستطيل مفتوح . ${\displaystyle y}$${\displaystyle y-y_{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x-x_{0}}$${\displaystyle x_{0}=y_{0}=0}$${\displaystyle D}$${\displaystyle R=[-x_{1},x_{1}]\times [-y_{1},y_{1}]\subset D}$

نظرًا لأنها مضغوطة ومتصلة، فلدينا ووفقًا لنظرية ستون-فايرشتراس، توجد سلسلة من دوال ليبشيتز تتقارب بشكل موحد إلى في . بدون فقدان العمومية، نفترض لجميع . ${\displaystyle R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \textstyle \sup _{R}|f|\leq C<\infty }$${\displaystyle f_{k}:R\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \textstyle \sup _{R}|f_{k}|\leq 2C}$${\displaystyle k}$

نُعرِّف تكرارات بيكارد على النحو التالي، حيث . و . وهي محددة جيدًا بالاستدلال: كما يلي: ${\displaystyle y_{k,n}:I=[-x_{2},x_{2}]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{2}=\min\{x_{1},y_{1}/(2C)\}}$${\displaystyle y_{k,0}(x)\equiv 0}$${\displaystyle \textstyle y_{k,n+1}(x)=\int _{0}^{x}f_{k}(x',y_{k,n}(x'))\,\mathrm {d} x'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|y_{k,n+1}(x)|&\leq \textstyle \left|\int _{0}^{x}|f_{k}(x',y_{k,n}(x'))|\,\mathrm {d} x'\right|\\&\leq \textstyle |x|\sup _{R}|f_{k}|\\&\leq x_{2}\cdot 2C\leq y_{1},\end{aligned}}}$

${\displaystyle (x',y_{k,n+1}(x'))}$يقع ضمن نطاق . ${\displaystyle f_{k}}$

لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}|y_{k,n+1}(x)-y_{k,n}(x)|&\leq \textstyle \left|\int _{0}^{x}|f_{k}(x',y_{k,n}(x'))-f_{k}(x',y_{k,n-1}(x'))|\,\mathrm {d} x'\right|\\&\leq \textstyle L_{k}\left|\int _{0}^{x}|y_{k,n}(x')-y_{k,n-1}(x')|\,\mathrm {d} x'\right|,\end{aligned}}}$

حيث هو ثابت ليبشيتز لـ . وبالتالي بالنسبة للفرق الأقصى ، لدينا حد ، و ${\displaystyle L_{k}}$${\displaystyle f_{k}}$${\displaystyle \textstyle M_{k,n}(x)=\sup _{x'\in [0,x]}|y_{k,n+1}(x')-y_{k,n}(x')|}$${\displaystyle \textstyle M_{k,n}(x)\leq L_{k}\left|\int _{0}^{x}M_{k,n-1}(x')\,\mathrm {d} x'\right|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{k,0}(x)&\leq \textstyle \left|\int _{0}^{x}|f_{k}(x',0)|\,\mathrm {d} x'\right|\\&\leq |x|\textstyle \sup _{R}|f_{k}|\leq 2C|x|.\end{aligned}}}$

وبالاستقراء، فإن هذا يعني الحد الذي يتجه نحو الصفر بالنسبة لجميع . ${\displaystyle M_{k,n}(x)\leq 2CL_{k}^{n}|x|^{n+1}/(n+1)!}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle x\in I}$

الوظائف مستمرة بشكل متساوي كما لدينا ${\displaystyle y_{k,n}}$${\displaystyle -x_{2}\leq x<x'\leq x_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|y_{k,n+1}(x')-y_{k,n+1}(x)|&\leq \textstyle \int _{x}^{x'}|f_{k}(x'',y_{k,n}(x''))|\,\mathrm {d} x''\\&\textstyle \leq |x'-x|\sup _{R}|f_{k}|\leq 2C|x'-x|,\end{aligned}}}$

لذا، وفقًا لنظرية أرزيلا-أسكولي، فإنهما مدمجان نسبيًا . وعلى وجه الخصوص، لكل منهما متتالية فرعية تتقارب بشكل موحد إلى دالة متصلة . مع الأخذ في الاعتبار الحد في ${\displaystyle k}$${\displaystyle (y_{k,\varphi _{k}(n)})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle y_{k}:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \left|y_{k,\varphi _{k}(n)}(x)-\int _{0}^{x}f_{k}(x',y_{k,\varphi _{k}(n)}(x'))\,\mathrm {d} x'\right|&=|y_{k,\varphi _{k}(n)}(x)-y_{k,\varphi _{k}(n)+1}(x)|\\&\leq M_{k,\varphi _{k}(n)}(x_{2})\end{aligned}}}$

نستنتج أن . الدوال في إغلاق مجموعة مضغوطة نسبيًا، لذا فهي نفسها مضغوطة نسبيًا. وبالتالي، هناك متتالية فرعية تتقارب بشكل موحد إلى دالة متصلة . بأخذ الحد في نستنتج أن ، باستخدام حقيقة أن تكون متصلة بشكل متساوٍ وفقًا لنظرية أرزيلا-أسكولي. وفقًا للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، في . ${\displaystyle \textstyle y_{k}(x)=\int _{0}^{x}f_{k}(x',y_{k}(x'))\,\mathrm {d} x'}$${\displaystyle y_{k}}$${\displaystyle y_{\psi (k)}}$${\displaystyle z:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle \textstyle y_{\psi (k)}(x)=\int _{0}^{x}f_{\psi (k)}(x',y_{\psi (k)}(x'))\,\mathrm {d} x'}$${\displaystyle \textstyle z(x)=\int _{0}^{x}f(x',z(x'))\,\mathrm {d} x'}$${\displaystyle f_{\psi (k)}}$${\displaystyle z'(x)=f(x,z(x))}$${\displaystyle I}$

يمكن مقارنة نظرية بيانو بنتيجة وجود أخرى في نفس السياق، وهي نظرية بيكارد-ليندلوف . تفترض نظرية بيكارد-ليندلوف المزيد وتستنتج المزيد. فهي تتطلب استمرارية ليبشيتز ، بينما تتطلب نظرية بيانو الاستمرارية فقط؛ لكنها تثبت كل من الوجود والتفرد بينما تثبت نظرية بيانو وجود الحلول فقط. لتوضيح ذلك، ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية العادية

${\displaystyle y'=\left\vert y\right\vert ^{\frac {1}{2}}}$على المجال${\displaystyle \left[0,1\right].}$

وفقًا لنظرية بيانو، فإن هذه المعادلة لها حلول، لكن نظرية بيكارد-ليندلوف لا تنطبق لأن الجانب الأيمن ليس متصلاً بليبشيتز في أي جوار يحتوي على 0. وبالتالي يمكننا استنتاج الوجود ولكن ليس التفرد. اتضح أن هذه المعادلة التفاضلية العادية لها نوعان من الحلول عندما تبدأ عند ، أو أو . يمكن أن يحدث الانتقال بين و عند أي . ${\displaystyle y(0)=0}$${\displaystyle y(x)=0}$${\displaystyle y(x)=x^{2}/4}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=(x-C)^{2}/4}$${\displaystyle C}$

نظرية الوجود كاراتيودوري هي تعميم لنظرية الوجود بيانو مع ظروف أضعف من الاستمرارية.

لا يمكن توسيع نظرية وجود بيانو بشكل مباشر إلى فضاء هيلبرت العام : بالنسبة لمجموعة فرعية مفتوحة من ، فإن استمرارية وحدها غير كافية لضمان وجود حلول لمشكلة القيمة الأولية المرتبطة. ^[4]${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} \times {\mathcal {H}}}$${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$

• أوسجود، دبليو إف (1898). "Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung". Monatshefte für Mathematik . 9 : 331-345. دوى :10.1007/BF01707876. S2CID  122312261.
• كودينجتون، إيرل أ.؛ ليفنسون، نورمان (1955). نظرية المعادلات التفاضلية العادية . نيويورك: ماكجرو هيل .
• موري، فرانسيس جيه؛ ميلر، كينيث إس. (1976) [1954]. نظريات الوجود للمعادلات التفاضلية العادية (طبعة أعيد طبعها). نيويورك: كريجر.
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.