البعد الاستقرائي

في مجال الطوبولوجيا الرياضية ، يكون البُعد الاستقرائي للفضاء الطوبولوجي X إما بقيمتين: البُعد الاستقرائي الصغير ind( X ) أو البُعد الاستقرائي الكبير Ind( X ). ويستند هذان البُعدان إلى ملاحظة أنه في الفضاء الإقليدي ذي البُعد n ^، Rⁿ ، يكون بُعد حدود الكرات n - 1. لذا ، ينبغي أن يكون من الممكن تعريف بُعد أي فضاء عام استقرائيًا بدلالة أبعاد حدود المجموعات المفتوحة المناسبة في ذلك الفضاء.  

يُعدّ البُعدان الاستقرائيان الصغير والكبير من أكثر ثلاث طرق شيوعًا لوصف مفهوم "البُعد" في الفضاء الطوبولوجي، بطريقة تعتمد فقط على الطوبولوجيا (وليس، على سبيل المثال، على خصائص الفضاء المتري ). أما البُعد الثالث فهو بُعد تغطية ليبيغ . ويُفهم مصطلح "البُعد الطوبولوجي" عادةً على أنه يُشير إلى بُعد تغطية ليبيغ. بالنسبة للفضاءات "الجيدة بما فيه الكفاية"، تتساوى مقاييس البُعد الثلاثة.

نريد أن يكون بُعد النقطة صفرًا، وأن تكون حدود النقطة فارغة، لذلك نبدأ بـ

${\displaystyle \operatorname {ind} (\varnothing )=\operatorname {Ind} (\varnothing )=-1.}$

وبناءً على ذلك، فإن ind( X ) هو أصغر عدد طبيعي n يتمتع بالخاصية التالية: لكل${\displaystyle x\in X}$ولكل مجموعة مفتوحة U تحتوي على x ، توجد مجموعة مفتوحة V تحتوي على x ويكون إغلاقها محصورًا في U ، بحيث يكون لحدود V بُعد استقرائي صغير أقل من n . هنا، تُعتبر حدود V فضاءً طوبولوجيًا باستخدام طوبولوجيا الفضاء الجزئي الموروثة من X. (في حالة الفضاءات الجزئية للفضاء الإقليدي، يمكننا اعتبار المجموعات V كرات صغيرة مركزها x ) . إذا لم يوجد n ، نكتب ind( X ) = ∞.  

يُعرَّف البُعد الاستقرائي الكبير Ind( X ) بأنه أصغر قيمة لـ n بحيث أنه لكل مجموعة جزئية مغلقة F ولكل مجموعة جزئية مفتوحة U تحتوي على F ، توجد مجموعة مفتوحة V تحتوي على F ويكون إغلاقها محصورًا في U ، بحيث يكون لحدود V بُعد استقرائي كبير أقل من n . إذا لم توجد قيمة n كهذه ، نكتب Ind( X )  =  ∞. ^{[ 1 ]}

بالنسبة للمساحات الجميلة والمنظمة، تعطي الأبعاد الاستقرائية الإجابة المتوقعة. لنأخذ على سبيل المثال المجموعة

${\displaystyle X=\{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}\cup \{(0,0,z)\mid 0\leq z<1\}\cup \{(0,0,-1)\}}$

مع طوبولوجيا موروثة من الفضاء الإقليدي R³ ^. وبشكل بديهي، يتكون X من جزء ثنائي الأبعاد متصل بجزء أحادي الأبعاد، بالإضافة إلى نقطة منفصلة صفرية الأبعاد. ويتضح أن كلاً من البعدين الاستقرائيين الكبير والصغير لـ X يساوي 2.

ربما يكون الأمر أقل توقعاً${\displaystyle \operatorname {ind} \mathbb {Q} =\operatorname {Ind} \mathbb {Q} =0.}$هذا صحيح لأنه بالنسبة للأعداد غير النسبية a و b ، فإن المجموعة${\displaystyle \{r\in \mathbb {Q} \mid a<r<b\}}$مفتوح ومغلق في آن واحد${\displaystyle \mathbb {Q} }$وبالتالي فإن حدودها فارغة.

يترك${\displaystyle \dim }$ليكن البعد التغطيةي لليبيغ. لأي فضاء طوبولوجي X ، لدينا

${\displaystyle \dim X=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {Ind} X=0.}$

تنص نظرية أوريسون على أنه عندما يكون X فضاءً طبيعياً ذا قاعدة قابلة للعد ، فإن

${\displaystyle \dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.}$

هذه الفضاءات هي بالضبط الفضاءات القابلة للفصل والقياس (انظر نظرية القياس لأوريسون ).

تنص نظرية نوبلينغ-بونترياغين على أن هذه الفضاءات ذات البعد المحدود تُوصف، حتى التشاكل الموضعي، بأنها فضاءات جزئية من الفضاءات الإقليدية ، مع بنيتها الطوبولوجية المعتادة. وتنص نظرية مينغر-نوبلينغ (1932) على أنه إذا${\displaystyle X}$متري مضغوط قابل للفصل وذو بُعد${\displaystyle n}$ثم يتم تضمينه كفضاء فرعي من الفضاء الإقليدي ذي البعد${\displaystyle 2n+1}$كان جورج نوبلينغ تلميذًا لكارل مينغر . وقد قدم فضاء نوبلينغ ، وهو الفضاء الجزئي لـ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2n+1}}$تتكون من نقاط تحتوي على الأقل${\displaystyle n+1}$كون الإحداثيات أعدادًا غير نسبية ، وهو ما يمتلك خصائص عالمية لتضمين الفضاءات ذات البعد${\displaystyle n}$.)

بافتراض أن X فقط قابلة للقياس، لدينا ( ميروسلاف كاتيتوف )

ind X ≤ Ind X = dim X ;

أو بافتراض أن X متراصة وهاوسدورف ( PS Aleksandrov )

dim X ≤ ind X ≤ Ind X .

قد يكون أي من هذين التباينين ​​صارمًا؛ يوضح مثال فلاديمير ف. فيليبوف أن البعدين الاستقرائيين قد يختلفان.

الفضاء المتري القابل للفصل X يحقق المتباينة${\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq n}$إذا وفقط إذا كان لكل فضاء جزئي مغلق${\displaystyle A}$من الفضاء${\displaystyle X}$وكل عملية رسم خرائط مستمرة${\displaystyle f:A\to S^{n}}$يوجد امتداد متصل${\displaystyle {\bar {f}}:X\to S^{n}}$.

• كريلي، توني، 2005، "بول أوريسون وكارل مينجر: أوراق بحثية حول نظرية الأبعاد" في غراتان-غينيس، آي .، محرر، كتابات بارزة في الرياضيات الغربية . إلسيفير: 844-55.
• ر. إنجيلكينج، نظرية الأبعاد. محدود ولانهائي ، هيلديرمان فيرلاغ (1995)، ISBN 3-88538-010-2.
• في فيدورشوك، أساسيات نظرية البعد ، تظهر في موسوعة العلوم الرياضية، المجلد 17، الطوبولوجيا العامة الأولى ، (1993) AV Arkhangel'skii و LS Pontryagin (Eds.)، Springer-Verlag، Berlin ISBN 3-540-18178-4.
• VV Filippov, On the dictive dimension of the product of bicompacta , Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250-254.
• AR Pears، نظرية الأبعاد للفضاءات العامة ، مطبعة جامعة كامبريدج (1975).