التحويل المتناهي الصغر

في الرياضيات ، التحويل المتناهي الصغر هو شكل نهائي للتحويل الصغير . على سبيل المثال، يمكننا الحديث عن دوران متناهي الصغر لجسم صلب في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يُعبَّر عن هذا عادةً بمصفوفة A متناظرة معكوسة من الرتبة 3×3 . هذه المصفوفة ليست مصفوفة الدوران الفعلي في الفضاء، ولكنها تمثل التحويل بالنسبة للقيم الحقيقية الصغيرة للمعامل ε.

${\displaystyle T=I+\varepsilon A}$

وهي دوران صغير، يصل إلى كميات من رتبة ε ² .

وضع سوفوس لي أول نظرية شاملة للتحويلات المتناهية الصغر . وقد شكلت هذه النظرية جوهر عمله، الذي تناول ما يُعرف الآن بزمر لي وجبر لي المصاحب لها ، بالإضافة إلى تحديد دورها في الهندسة، ولا سيما نظرية المعادلات التفاضلية . إن خصائص جبر لي المجرد هي نفسها خصائص التحويلات المتناهية الصغر، تمامًا كما تجسد بديهيات نظرية الزمر التناظر . وقد صاغ هيرمان فايل مصطلح "جبر لي" عام 1934 ، للإشارة إلى ما كان يُعرف حتى ذلك الحين بجبر التحويلات المتناهية الصغر لزمرة لي.

على سبيل المثال، في حالة الدورانات المتناهية الصغر، يكون هيكل جبر لي هو ذلك الناتج عن الضرب الاتجاهي ، بمجرد تحديد مصفوفة متناظرة معكوسة بمتجه ثلاثي الأبعاد . وهذا يعني اختيار متجه محوري للدوران؛ وتُعدّ متطابقة جاكوبي المُحدِّدة خاصية معروفة للضرب الاتجاهي.

أقدم مثال على التحويل المتناهي الصغر الذي ربما تم التعرف عليه على هذا النحو كان في نظرية أويلر حول الدوال المتجانسة . حيث تنص على أن الدالة F ذات n متغير x₁ , ..., xₙ المتجانسة من الدرجة r ، تحقق ما _{يلي :}

${\displaystyle \Theta F=rF\,}$

مع

${\displaystyle \Theta =\sum _{i}x_{i}{\partial \over \partial x_{i}},}$

عامل ثيتا . أي، من الخاصية

${\displaystyle F(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{r}F(x_{1},\dots ,x_{n})\,}$

من الممكن الاشتقاق بالنسبة إلى λ ثم جعل λ مساويًا لـ 1. يصبح هذا شرطًا ضروريًا لخاصية التجانس لدالة سلسة F ؛ وهو شرط كافٍ أيضًا (باستخدام توزيعات شوارتز، يمكن تبسيط التحليل الرياضي هنا). هذا الإعداد نموذجي، حيث توجد مجموعة من المقاييس ذات مُعامل واحد ؛ وتُشفّر المعلومات في تحويل متناهي الصغر يُمثل مُؤثرًا تفاضليًا من الرتبة الأولى .

معادلة المؤثر

${\displaystyle e^{tD}f(x)=f(x+t)\,}$

أين

${\displaystyle D={d \over dx}}$

هي نسخة مؤثرة من نظرية تايلور ، وبالتالي فهي صالحة فقط في ظل شروط تتعلق بكون f دالة تحليلية . بالتركيز على الجزء المؤثر، تُظهر أن D تحويل متناهي الصغر، يُولّد إزاحات للخط الحقيقي عبر الدالة الأسية . في نظرية لي، يُعمّم هذا المفهوم بشكل كبير. يمكن بناء أي زمرة لي متصلة باستخدام مولداتها المتناهية الصغر (أساس لجبر لي للزمرة)؛ مع معلومات صريحة، وإن لم تكن مفيدة دائمًا، مُعطاة في صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف .

• "جبر لي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• سوفوس لي (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen ، الترجمة الإنجليزية بواسطة DH Delphenich، §8، رابط من الفيزياء الكلاسيكية الجديدة.