توزيع غاما المعكوس

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، فإن توزيع جاما العكسي هو عائلة من التوزيعات الاحتمالية المستمرة ذات المعلمتين على خط الأعداد الحقيقية الموجبة ، وهو توزيع مقلوب متغير موزع وفقًا لتوزيع جاما .

لعلّ الاستخدام الرئيسي لتوزيع غاما المعكوس يكمن في الإحصاء البايزي ، حيث يظهر هذا التوزيع كتوزيع احتمالي خلفي هامشي للتباين المجهول لتوزيع طبيعي ، في حال استخدام توزيع احتمالي مسبق غير مُعلِم ، وكتوزيع احتمالي مسبق مترافق قابل للتحليل ، في حال اشتراط استخدام توزيع احتمالي مسبق مُعلِم. ^{[ 1 ]} يشيع بين بعض البايزيين النظر في تمثيل بديل للتوزيع الطبيعي بدلالة الدقة ، المُعرَّفة بأنها مقلوب التباين، مما يسمح باستخدام توزيع غاما مباشرةً كتوزيع احتمالي مسبق مترافق. بينما يُفضِّل بايزيون آخرون تمثيل توزيع غاما المعكوس بشكل مختلف، كتوزيع كاي تربيع معكوس مُقاس .

ل${\displaystyle \alpha >0}$و${\displaystyle \beta >0}$،

${\displaystyle \mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,}$

و

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,}$

إنتروبيا المعلومات هي

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}}$

أين ${\displaystyle \psi (\alpha )}$هي دالة ديغاما .

إن انحراف Kullback-Leibler لـ Inverse-Gamma( α _p , β _p ) من Inverse-Gamma( α _q , β _q ) هو نفس انحراف KL لـ Gamma ( α _p , β _p ) من Gamma ( α _q , β _q ) :

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],}$

أين ${\displaystyle \rho ,\pi }$هي دوال كثافة الاحتمال لتوزيعات غاما المعكوسة و ${\displaystyle \rho _{G},\pi _{G}}$هي دوال كثافة الاحتمال لتوزيعات جاما،${\displaystyle Y}$يتم توزيع جاما( α _p , β _p ) .

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}}$

• لو${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}$ثم${\displaystyle kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,}$، ل${\displaystyle k>0}$
• لو${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})}$ثم${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,}$( توزيع مربع كاي العكسي )
• لو${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ثم${\displaystyle X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,}$( توزيع مربع كاي المعكوس المقياس )
• لو${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$ثم${\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,}$( توزيع ليفي )
• لو${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)}$ثم${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,}$( التوزيع الأسي )
• لو${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$( توزيع جاما مع معامل المعدل )${\displaystyle \beta }$) ثم${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$(انظر الاشتقاق في الفقرة التالية لمزيد من التفاصيل)
• لاحظ أنه إذا${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )}$(توزيع جاما مع معامل المقياس)${\displaystyle \theta }$) ثم${\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,1/\theta )}$
• يُعد توزيع غاما المعكوس حالة خاصة من توزيع بيرسون من النوع 5
• يُعد توزيع ويشارت العكسي تعميمًا متعدد المتغيرات لتوزيع جاما العكسي .
• للاطلاع على توزيع مجموع متغيرات جاما المعكوسة المستقلة، انظر ويتكوفسكي (2001).

يترك${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$وتذكر أن دالة كثافة الاحتمال لتوزيع جاما هي

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$،${\displaystyle x>0}$.

لاحظ أن${\displaystyle \beta }$يمثل معامل المعدل من منظور توزيع جاما.

حدد التحويل${\displaystyle Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}}$ثم، ملف PDF الخاص بـ${\displaystyle Y}$يكون

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}y^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}}$

لاحظ أن${\displaystyle {\beta }}$يمثل معامل المقياس من منظور توزيع غاما العكسي. ويمكن إثبات ذلك بسهولة من خلال ملاحظة أن${\displaystyle {\beta }}$يستوفي شروط كونه معامل مقياس .

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(y/\beta$ ;\alpha ,1)}{\beta }}&={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {y}{\beta }}\right)^{-\alpha -1}\exp \left(-{\frac {1}{y/\beta }}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}y^{-\alpha -1}\exp \left(-{\frac {\beta }{y}}\right)\\[6pt]&=f(y;\alpha ,\beta )\end{aligned}}}

• يتبع توزيع وقت الوصول لعملية وينر توزيع ليفي ، وهو حالة خاصة من توزيع جاما العكسي مع${\displaystyle \alpha =0.5}$[ ^{4 ]​}

• توزيع جاما
• توزيع كاي تربيع العكسي
• التوزيع الطبيعي
• توزيع بيرسون

• ويتكوفسكي، ف. (2001). " حساب توزيع توليفة خطية من متغيرات غاما المعكوسة". كيبرنيتيكا . 37 (1): 79-90 . MR 1825758. Zbl 1263.62022 .