وظيفة الارتفاع

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة

دالة الارتفاع هي دالة تُحدد مدى تعقيد الكائنات الرياضية. في الهندسة الديوفانتية ، تُحدد دوال الارتفاع حجم حلول المعادلات الديوفانتية ، وهي عادةً دوال من مجموعة نقاط على أصناف جبرية (أو مجموعة من الأصناف الجبرية) إلى الأعداد الحقيقية . [ 1 ]

على سبيل المثال، يتم تعريف الارتفاع الكلاسيكي أو الساذج على الأعداد النسبية عادةً على أنه الحد الأقصى للبسط والمقام للإحداثيات (على سبيل المثال 7 للإحداثيات (3/7، 1/2) )، ولكن على مقياس لوغاريتمي .

دلالة

تُمكّن دوال الارتفاع علماء الرياضيات من عدّ أشياء، مثل النقاط النسبية ، التي تكون في الأصل لانهائية. فعلى سبيل المثال، تكون مجموعة الأعداد النسبية ذات الارتفاع البسيط (أكبر قيمة للبسط والمقام عند التعبير عنهما في أبسط صورة ) أسفل أي ثابت مُعطى محدودة، على الرغم من أن مجموعة الأعداد النسبية لانهائية. [ 2 ] وبهذا المعنى، يُمكن استخدام دوال الارتفاع لإثبات نتائج تقاربية، مثل نظرية بيكر في نظرية الأعداد المتسامية، التي أثبتها آلان بيكر ( 1966 ، 1967أ ، 1967ب ) . 

في حالات أخرى، يمكن لدوال الارتفاع أن تميز بعض الأجسام بناءً على تعقيدها. على سبيل المثال، تُبين نظرية الفضاء الجزئي التي أثبتها فولفغانغ م. شميدت ( 1972 ) أن النقاط ذات الارتفاع الصغير (أي التعقيد الصغير) في الفضاء الإسقاطي تقع في عدد محدود من المستويات الفائقة ، وهي تُعمم نظرية سيجل حول النقاط الصحيحة وحل معادلة الوحدة S. [ 3 ] 

كانت دوال الارتفاع أساسيةً لإثبات نظرية مورديل-ويل ونظرية فالتينغز، وذلك على يد ويل ( 1929 ) وفالتينغز ( 1983 ) على التوالي. وتوجد العديد من المسائل العالقة غير المحلولة حول ارتفاعات النقاط النسبية على المتنوعات الجبرية، مثل حدسية مانين وحدسية فويتا ، والتي لها آثار بعيدة المدى على مسائل التقريب الديوفانتي ، والمعادلات الديوفانتية ، والهندسة الحسابية ، والمنطق الرياضي . [ 4 ] [ 5 ]  

تاريخ

اقترح جيامباتيستا بينيديتي (حوالي 1563) شكلاً مبكراً لوظيفة الارتفاع، حيث جادل بأن توافق الفاصل الموسيقي يمكن قياسه من خلال حاصل ضرب بسطه ومقامه (في شكله المختزل)؛ انظر جيامباتيستا بينيديتي §  الموسيقى .

طُوِّرت الارتفاعات في الهندسة الديوفانتية مبدئيًا على يد أندريه ويل ودوغلاس نورثكوت بدءًا من عشرينيات القرن العشرين. [ 6 ] ومن الابتكارات التي ظهرت في ستينيات القرن العشرين ارتفاع نيرون-تيت، وإدراك أن الارتفاعات مرتبطة بالتمثيلات الإسقاطية بنفس الطريقة التي ترتبط بها حزم الخطوط الواسعة في أجزاء أخرى من الهندسة الجبرية . وفي سبعينيات القرن العشرين، طوّر سورين أراكيلوف ارتفاعات أراكيلوف في نظرية أراكيلوف . [ 7 ] وفي عام 1983، طوّر فالتينغز نظريته حول ارتفاعات فالتينغز في برهانه لنظرية فالتينغز. [ 8 ]

دوال الارتفاع في الهندسة الديوفانتية

طول ساذج

يُعرَّف الارتفاع الكلاسيكي أو البسيط بدلالة القيمة المطلقة العادية على الإحداثيات المتجانسة . وهو عادةً مقياس لوغاريتمي، وبالتالي يمكن اعتباره متناسبًا مع "التعقيد الجبري" أو عدد البتات اللازمة لتخزين نقطة. [ 2 ] ويُعرَّف عادةً بأنه لوغاريتم القيمة المطلقة القصوى لمتجه الأعداد الصحيحة الأولية فيما بينها، الناتج عن ضربها في المقام المشترك الأصغر . ويمكن استخدام هذا لتعريف الارتفاع على نقطة في الفضاء الإسقاطي على Q ، أو لكثير الحدود، باعتباره متجهًا من المعاملات، أو لعدد جبري، انطلاقًا من ارتفاع كثير الحدود الأدنى له. [ 9 ]

الارتفاع البسيط للعدد النسبي x = p / q (في أبسط صورة) هو

  • الارتفاع المضاعفح(ص/q)=الأعلى{|ص|،|q|}{\displaystyle H(p/q)=\max\{|p|,|q|\}}
  • الارتفاع اللوغاريتمي:ح(ص/q)=سجل⁡ح(ص/q){\displaystyle h(p/q)=\log H(p/q)}[ 10 ]

لذلك، فإن الارتفاعات الضربية واللوغاريتمية البسيطة لـ 4/10 هي 5 و log(5) على سبيل المثال.

يتم تعريف الارتفاع الساذج H لمنحنى إهليلجي E المعطى بواسطة y 2 = x 3 + Ax + B على أنه H(E) = log max(4 | A | 3 , 27 | B | 2 ) .

ارتفاع نيرون-تيت

ارتفاع نيرون -تيت ، أو الارتفاع الكنسي ، هو شكل تربيعي على زمرة مورديل-ويل للنقاط العقلانية لمتنوعة أبيلية معرفة على حقل شامل . سُمّي بهذا الاسم نسبةً إلى أندريه نيرون ، الذي عرّفه لأول مرة على أنه مجموع الارتفاعات المحلية، [ 11 ] وجون تيت ، الذي عرّفه بشكل شامل في عمل غير منشور. [ 12 ]

ارتفاع ويل

ليكن X منوعًا إسقاطيًا على حقل عددي K. وليكن L حزمة خطية على X. يُعرَّف ارتفاع ويل على X بالنسبة إلى L كما يلي.

أولاً، لنفترض أن L واسعة جدًا . اختيار أساس الفضاءΓ(X،ل){\displaystyle \Gamma (X,L)}يُعرّف القسم العالمي تشاكلاً ϕ من X إلى الفضاء الإسقاطي، ولكل نقطة p على X ، يُعرّف حل(ص):=ح(ϕ(ص)){\displaystyle h_{L}(p):=h(\phi (p))}حيث h هو الارتفاع البسيط في الفضاء الإسقاطي. [ 13 ] [ 14 ] بالنسبة لقيم ثابتة لـ X و L ، فإن اختيار أساس مختلف للمقاطع العالمية يُغيرحل{\displaystyle h_{L}}، ولكن فقط بواسطة دالة محدودة لـ p . وبالتاليحل{\displaystyle h_{L}}يتم تعريفها جيدًا حتى إضافة دالة تكون O(1) .

بشكل عام، يمكن كتابة L على أنها الفرق بين حزمتين خطيتين واسعتين جدًا L1 و L2 على X وتعريفهاحل:=حل1-حل2،{\displaystyle h_{L}:=h_{L_{1}}-h_{L_{2}},} وهو أمر محدد جيدًا حتى O(1) . [ 13 ] [ 14 ]

طول أراكيلوف

يُعد ارتفاع أراكيلوف على فضاء إسقاطي فوق حقل الأعداد الجبرية دالة ارتفاع شاملة ذات مساهمات محلية ناتجة عن مقاييس فوبيني-ستودي على الحقول الأرخميدية والمقياس المعتاد على الحقول غير الأرخميدية . [ 15 ] [ 16 ] وهو ارتفاع ويل المعتاد مزود بمقياس مختلف. [ 17 ]

ارتفاع الحواجز

يُعدّ ارتفاع فالتينغز لمتنوعة أبيلية مُعرّفة على حقل عددي مقياسًا لتعقيدها الحسابي. ويُعرّف بدلالة ارتفاع حزمة خطية مترية . وقد قدّمه فالتينغز ( 1983 ) في برهانه على حدسية مورديل . 

دوال الارتفاع في الجبر

ارتفاع كثير الحدود

لكثير الحدود P من الدرجة n المعطى بواسطة

P=أ0+أ1x+أ2x2+⋯+أنxن،{\displaystyle P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}

يُعرَّف الارتفاع H ( P ) بأنه الحد الأقصى لمقادير معاملاته: [ 18 ]

ح(P)=الأعلىأنا|أأنا|.{\displaystyle H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|.}

ويمكن تعريف الطول L ( P ) بالمثل على أنه مجموع مقادير المعاملات:

ل(P)=∑أنا=0ن|أأنا|.{\displaystyle L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.}

العلاقة بمقياس ماهلر

يُعد مقياس ماهلر M ( P ) للمجموعة P مقياسًا لتعقيدها أيضًا . [ 19 ] وترتبط الدوال الثلاث H ( P ) و L ( P ) و M ( P ) بالمتباينات التالية :

(ن⌊ن/2⌋)-1ح(P)≤م(P)≤ح(P)ن+1؛{\displaystyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1}};}
ل(ص)≤2نم(ص)≤2نل(ص)؛{\displaystyle L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);}
ح(ص)≤ل(ص)≤(ن+1)ح(ص){\displaystyle H(p)\leq L(p)\leq (n+1)H(p)}

أين(ن⌊ن/2⌋){\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}}هو معامل ذات الحدين .

دوال الارتفاع في الأشكال التلقائية

أحد الشروط في تعريف الشكل التلقائي على المجموعة الخطية العامة لمجموعة جبرية أديلية هو النمو المعتدل ، وهو شرط تقاربي على نمو دالة الارتفاع على المجموعة الخطية العامة التي تُعتبر منوعًا أفينيًا . [ 20 ]

وظائف أخرى للارتفاع

ارتفاع العدد النسبي غير القابل للاختزال x = p / q ، حيث q > 0 هو|ص|+q{\displaystyle |p|+q}(تُستخدم هذه الدالة لإنشاء تقابل بينشمال{\displaystyle \mathbb {N} }وسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }). [ 21 ]

انظر أيضاً

مراجع

مصادر