العنصر الأولي

في الرياضيات ، وتحديدًا في الجبر المجرد ، يُعرَّف العنصر الأولي في حلقة تبديلية بأنه كائن يحقق خصائص معينة مشابهة للأعداد الأولية في الأعداد الصحيحة وللكثيرات الحدودية غير القابلة للاختزال . يجب الحرص على التمييز بين العناصر الأولية والعناصر غير القابلة للاختزال ، وهو مفهوم واحد في مجالات التحليل إلى عوامل وحيدة، ولكنه ليس كذلك في العموم.

تعريف

يُقال عن العنصر $p$ في الحلقة التبديلية $R أنه$ أولي إذا لم يكن العنصر الصفري أو عنصرًا محايدًا ، ولكل $a و b$ في $R$ ، عندما يقسم $p العنصر$ $ab$ ، فإن $p$ يقسم $a$ أو $p$ يقسم $b$ (أي، $p\mid ab\implies p\mid a\ \lor \ p\mid b$ [ ^{1 ]} وفقًا لهذا التعريف، تنصّ مبرهنة إقليدس على أن الأعداد الأولية هي عناصر أولية في حلقة الأعداد الصحيحة . وبصورة مكافئة، يكون العنصر $p$ أوليًا إذا، وفقط إذا، كان المثالي الرئيسي $(p)$ المُوَلَّد بواسطة $p$ مثاليًا أوليًا غير صفري . ^[²^] (في مجال التكامل، يكون المثالي $(0)$ مثاليًا أوليًا ، لكن $0$ لا يُعتبر عنصرًا أوليًا). ^ملاحظة : المراجع التي تُعرّف أولية العنصر $p\in R$ غالباً ما يقصرون $R$ على أن تكون مجالاً تكاملياً أو مجالاً إقليدياً ، أو قد يضيفون شرطاً إضافياً وهو أن $p$ ليس قاسماً للصفر. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

ينبع الاهتمام بالعناصر الأولية من النظرية الأساسية في الحساب ، التي تنص على أن كل عدد صحيح غير صفري لا يمكن كتابته إلا بطريقة واحدة أساسية، وهي إما 1 أو -1 مضروبًا في حاصل ضرب عددين أوليين موجبين. وقد أدى ذلك إلى دراسة مجالات التحليل الفريدة ، التي تعمم ما تم توضيحه للتو في الأعداد الصحيحة.

إن كون العنصر أوليًا أمر نسبي بالنسبة للحلقة التي يعتبر العنصر موجودًا فيها؛ على سبيل المثال، 2 هو عنصر أولي في $Z$ ولكنه ليس في $Z [i]$ ، حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية ، لأن $2 = (1 + i)(1 - i)$ و 2 لا يقسم أي عامل على اليمين.

التواصل مع المُثُل العليا

يكون المثالي $I$ في الحلقة $R$ (مع الوحدة) أوليًا إذا كانت الحلقة $R / I$ مجالًا تكامليًا . وبصورة مكافئة، يكون $I$ أوليًا إذا كان كلما $ab\in I$ ثم إما $a\in I$ أو $b\in I$ .

يكون المثالي الرئيسي غير الصفري أوليًا إذا وفقط إذا كان مولدًا بواسطة عنصر أولي.

العناصر غير القابلة للاختزال

لا ينبغي الخلط بين العناصر الأولية والعناصر غير القابلة للاختزال . تذكر أن العنصر $a$ في مجال تكاملي $R$ غير قابل للاختزال إذا لم يكن عنصرًا محايدًا، وعندما يكون $a = bc$ ، فإن $b$ أو $c$ إما عنصر محايد. توجد عدة تعريفات غير متكافئة لعدم قابلية الاختزال، متفاوتة القوة، لعناصر الحلقات التبديلية العامة ( انظر المقال الرئيسي ). في المجال التكاملي ، كل عدد أولي غير قابل للاختزال ^{[ 7 ]،} لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام. مع ذلك، في مجالات التحليل الفريد ^{[ 8 ]} ، أو بشكل أعم في مجالات القاسم المشترك الأكبر ، تكون العناصر الأولية والعناصر غير القابلة للاختزال متطابقة.

أمثلة

فيما يلي أمثلة على العناصر الأولية في الحلقات:

الأعداد الصحيحة $\pm2$ ، $\pm3$ ، $\pm5$ ، $\pm7$ ، $\pm11$ ، ... في حلقة الأعداد الصحيحة $Z$
الأعداد المركبة $(1 + i)$ و $19$ و $(2 + 3 i)$ في حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية $Z [i]$
كثيرات الحدود $x 2 - 2$ و $x 2$ + $1$ في $Z [x]$ ، حلقة كثيرات الحدود فوق $Z.$
2 في حلقة القسمة $Z /6 Z$
$العدد x² + (x² + x) عدد أولي$ $ولكنه$ ليس غير قابل للاختزال في الحلقة $Q$ $[$ $x$ $]/($ $x²$ $+$ $x$ $)$ $.$
في الحلقة $Z 2$ لأزواج الأعداد الصحيحة، يكون $(1، 0)$ أوليًا ولكنه ليس غير قابل للاختزال (لدينا $(1، 0) 2 = (1، 0)$ ).
في حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],$ العنصر $3$ غير قابل للاختزال ولكنه ليس أوليًا (لأن 3 يقسم $9=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}})$ و3 لا يقسم أي عامل على اليمين).

مراجع

ملحوظات

↑ كوهن، بول م. (2003). الجبر الأساسي: المجموعات والحلقات والحقول . منشورات سبرينغر لينك. لندن: سبرينغر. ISBN 978-0-85729-428-9.
↑ هانغرفورد 1980 ، النظرية III.3.4(i) ، كما هو موضح في الملاحظة أسفل النظرية والبرهان ، فإن النتيجة صحيحة بشكل عام.
↑ دوميت، ديفيد ستيفن؛ فوت، ريتشارد م. (2004). الجبر المجرد ( الطبعة الثالثة). هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي. ISBN 978-0-471-43334-7.
↑ ريد، مايلز (1995). الجبر التبادلي للمرحلة الجامعية . نصوص طلابية من جمعية لندن الرياضية. كامبريدج؛ نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-45255-7.
↑ هيرستين، إسرائيل ن. (1975). مواضيع في الجبر ( الطبعة الثانية). نيويورك، تشيتشستر، بريسبان [وغيرها]: جون وايلي. ISBN 978-0-471-01090-6.
↑ باتيل، ديليب ب.؛ ستورش، أوفه (2010). مقدمة في الهندسة الجبرية والجبر التبادلي . سلسلة محاضرات المعهد الهندي للعلوم. نيوجيرسي: مطبعة المعهد الهندي للعلوم/وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-4307-58-1.
↑ هانغرفورد 1980 ، النظرية III.3.4(iii)
↑ هانغرفورد 1980 ، ملاحظة بعد التعريف III.3.5

مصادر

القسم الثالث.3 من كتاب هانغرفورد، توماس و. (1980)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 73 (إعادة طبع طبعة 1974)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 978-0-387-90518-1، MR 0600654
جاكوبسون، ناثان (1989)، الجبر الأساسي. الجزء الثاني ( الطبعة الثانية)، نيويورك: دبليو إتش فريمان وشركاه، الصفحات 686+18، رقم ISBN 0-7167-1933-9، MR 1009787
كابلانسكي، إيرفينغ (1970)، الحلقات التبادلية ، بوسطن، ماساتشوستس: ألين وبيكون، الصفحات x+180، MR 0254021

[1] كوهن، بول م. (2003). الجبر الأساسي: المجموعات والحلقات والحقول . منشورات سبرينغر لينك. لندن: سبرينغر. ISBN 978-0-85729-428-9.

[2] هانغرفورد 1980 ، النظرية III.3.4(i) ، كما هو موضح في الملاحظة أسفل النظرية والبرهان ، فإن النتيجة صحيحة بشكل عام.

[3] دوميت، ديفيد ستيفن؛ فوت، ريتشارد م. (2004). الجبر المجرد ( الطبعة الثالثة). هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي. ISBN 978-0-471-43334-7.

[4] ريد، مايلز (1995). الجبر التبادلي للمرحلة الجامعية . نصوص طلابية من جمعية لندن الرياضية. كامبريدج؛ نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-45255-7.

[5] هيرستين، إسرائيل ن. (1975). مواضيع في الجبر ( الطبعة الثانية). نيويورك، تشيتشستر، بريسبان [وغيرها]: جون وايلي. ISBN 978-0-471-01090-6.

[6] باتيل، ديليب ب.؛ ستورش، أوفه (2010). مقدمة في الهندسة الجبرية والجبر التبادلي . سلسلة محاضرات المعهد الهندي للعلوم. نيوجيرسي: مطبعة المعهد الهندي للعلوم/وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-4307-58-1.

[7] هانغرفورد 1980 ، النظرية III.3.4(iii)

[8] هانغرفورد 1980 ، ملاحظة بعد التعريف III.3.5

1 ]

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]،

[ 8 ]